2022-2023学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 第届冬季奥林匹克运动会，将于年月日年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组线段为边单位：，能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 如图，是和的公共边，下列条件中不能判定≌的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

4. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，判断的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(    )

A.  的三条中线的交点 B.  三边的垂直平分线的交点
C.  三条角平分线的交点 D.  三条高所在直线的交点

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7. 已知点与点关于轴对称，则的值为______．
8. 一个正多边形的一个外角为，则它的内角和为________．
9. 如图，在建筑工地上，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是______ ．

10. 如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件          ，使和全等．
     
11. 如图，在中，，平分，若，，则______．

12. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点、，作直线交点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，此时射线恰好经过点，则______度．

13. 如图，已知是等边三角形，点是上任意一点，，分别与两边垂直，等边三角形的高为，则的值为______．

14. 如图，在中，，，，是的平分线．若、分别是和上的动点，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    一个多边形的内角和比外角和的倍少，求：
    这个多边形的边数．
    该多边形共有多少条对角线
16. 本小题分
    用一条长为细绳围成一个等腰三角形．
    如果腰长是底边的倍，那么各边的长是多少？
    能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？
17. 本小题分
    如图，在中，已知是的角平分线，是的高，，，求和的度数．
     

18. 本小题分
    如图，点，在的边上，，，那么与相等吗？为什么？

19. 本小题分
    如图，的三个顶点坐标分别是，，．
    直接写出点，，关于轴对称的点，，的坐标：______，______，______
    在图中作出关于轴对称的图象．
    在轴上求作一点，使得的值最小，请画出作图痕迹，不写作法．

20. 本小题分
    如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点，，垂足为点，交于点．
    求证：平分．
    若，，求的度数．

21. 本小题分
    如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．
     

若，求的度数；   

求证：   

22. 本小题分
    教材中有如下一段文字：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出，固定住长木棍，转动短木棍，得到如图中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．
    思考：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形______填“一定全等”或“不一定全等”
    小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法______填“正确”或“不正确”
    请帮助小明完成证明过程：
    如图，和中，，，
    ，，，作于，
    于，，
    在和中，
    ______，
    ______，
    ______，
    ≌，，
    在和中，
    ______，
    ______，
    ≌，
    ，在和中，，
    ≌当和是锐角三角形时，证明方法类似．

23. 本小题分
    如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
    若，则的度数是______度；
    若，的周长是．
    求的长度；
    若点为直线上一点，请直接写出周长的最小值．

24. 本小题分
    问题发现：如图，如果和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接则与的数量关系为______；的度数为______度．
    拓展探究：如图，如果和均为等腰三角形，，点、、在同一直线上，连接，判断线段与的位置关系，并说明理由．
     
25. 本小题分
    在“延时课堂”数学实践活动中，同学们了解到，工人师傅常用角尺作一个已知角的角平分线．作法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与、重合，过角尺刻度的顶点的射线就是的角平分线．
    联系三角形全等的条件，通过证明≌，可知，即平分则这两个三角形全等的依据是______；
    在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线．如图所示，≌，将全等三角形的一组对应边、分别放在的两边、上，同时使这组对应边所对的顶点、分别落在、上，此时和的交点设为点，则射线即为的角平分线．你认为他们的作法正确吗？并说明理由．
     
26. 本小题分
    如图，在等边中，，点从点出发沿边向点以每秒个单位的速度移动，点从点出发沿边向点以每秒个单位的速度移动．点、两点同时出发，它们移动的时间为秒．
    用含的代数式表示：______，______；
    当点到达点时，与有何位置关系？请说明理由；
    在点、的运动过程中，是否能构成等边三角形？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由；
    若、两点分别从、两点同时出发，并且都按逆时针方向沿的三边运动，请问经过几秒点与点第一次相遇？并说明相遇的位置．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：在选项中，，不符合三角形的三边关系，故A不能；
在选项中，，符合三角形的三边关系，故B能；
在选项中，，不符合三角形的三边关系，故C不能；
在选项中，，不符合三角形的三边关系，故D不能；
故选：．
根据三角形两边之和大于第三边进行判断即可．
本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、在和中，，
≌；
B、在和中，，
≌；
C、在和中，，
≌；
D、在和中，，，，无法证出≌．
故选：．
根据全等三角形的判定定理求解即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹可知：的垂直平分线交于点，
，
，，
的周长为．
故选：．
根据垂直平分线的性质得出，进而根据求出即可．
此题主要考查了作图复杂作图，垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，根据垂直平分线的性质得出是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，，，
，
故选：．
因为三角板的度数为，，所以根据三角形内角和定理即可求解．
本题利用三角板度数的常识和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
直接根据角平分线的性质即可得出结论．
【解答】
解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 三条角平分线的交点．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
．
故答案为：．
根据关于轴对称的点，纵坐标互为相反数，横坐标相同，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形内角与外角，多边形内角和定理为，且为整数；多边形的外角和等于度，先利用多边形的外角和等于度计算出多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式计算．
【解答】
解：这个正多边形的边数为，
所以这个正多边形的内角和为．

故答案为．

9.【答案】三角形的稳定性 

【解析】解：加上后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
用木条固定长方形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】
解：和中，
，
，
，
添加，
在和中
≌，
故答案为：答案不唯一．  

11.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
中，．
故答案为．
由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形在利用两锐角互余可求得答案．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得的度数是正确解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由作图可得，是线段的垂直平分线，是的平分线，
，，
，
，
，且，
，
即，
．
故答案为：．
由作图可得是线段的垂直平分线，是的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．
本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

是等边三角形，
，
，，等边三角形的高为，
又，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质可得，根据，可得的值．
本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，是的平分线，
垂直平分，
．
过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示．
，
．
故答案为：．
由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．
本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出的最小值为是解题的关键．
 

15.【答案】解：设这个多边形的边数为．
根据题意得：，
解得：，
所以这个多边形的边数为；
根据多边形的对角线公式为可得：
，
所以该多边形共有条对角线． 

【解析】本题主要考查的是多边形的内角与外角、多边形的对角线，掌握相关知识是解题的关键．
任意多边形的外角和均为，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可；
多边形的对角线公式为：．
 

16.【答案】解：设底边长为，
腰长是底边的倍，
腰长为，
，解得，，
，
各边长为：，，．

能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，．
理由：
当为底时，腰长；
当为腰时，底边，
，
不能构成三角形，故舍去；
综上，能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，． 

【解析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
设底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
题中没有指明所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
 

17.【答案】解：在中，，，
，
是角平分线，
，
又，
，
是的高线，
，
． 

【解析】本题考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于．
在中，可得，由角平分线可得，由高线可得，即可求和的度数．
 

18.【答案】解：，理由如下：
方法一：如图，过点作于 ．

，
；
，
，
，
．
方法二：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】方法一：根据等腰三角形的性质即可证明；方法二：可以利用证明≌，即可得结论．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】，  ，  ， 

【解析】解：如图所示：

，，．
故答案为：，；，；，；
如图所示：
如图所示．
根据关于轴的对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数求解即可；
分别作出点、、关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于即可．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
 

20.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
平分；

解：，，
，
平分，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质得出，从而得出，最后根据等腰三角形的性质即可得出平分；
根据，，得出，再根据角平分线的性质得出，从而得出，最后根据即可得出答案．
此题考查了多边形的内角与外角以及平行线的性质，熟记平行线的性质以及三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
，
，，
，
，
．
证明：平分，
，
，
，
，
．

 

【解析】利用等腰三角形的性质求出，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明，即可解决问题．
只要证明即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】不一定全等  正确           

【解析】解：观察图象可知，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故答案为：不一定全等；

结论：小明的说法正确．
理由：如图，和中，，，
，，，
作于点，于点．
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌．
故答案为：正确，，，；，．
结合图形判断即可；
作于点于点构造全等三角形，创造条件，即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，具体的关键性学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

23.【答案】解：；
是的垂直平分线，
，
的周长．
，的周长是，
；
周长的最小值为． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；当点与点重合时，周长的值最小，于是得到结论．
【解答】
解：，
，
．
的垂直平分线交于点，
，
，
故答案为：；
见答案；
当点与重合时，周长的值最小，理由：
，，
点与点重合时，，此时最小，
周长的最小值．  

24.【答案】解：相等，；
，
和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，即． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
由条件和均为等边三角形，易证≌，从而得到对应边相等，即，，由点，，在同一直线上，可求出，从而可以求出的度数；
首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出，，进而判断出的度数为．
【解答】
和均为等边三角形，
，，，
．
在和中，
，
≌，
，，
为等边三角形，
，
点，，在同一直线上，
，
，
，
故答案为：相等，；
见答案．  

25.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，
故答案为：；

正确．
理由：如图中，≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
同法可证，≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
．
利用证明三角形全等即可；
证明≌，推出，同法可证，≌，推出，，再证明≌，推出，证明≌，可得．
本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】   

【解析】解：，，，
，
故答案为：，；

结论：，理由如下：
当点到达点时，，即，此时，，
，
是等边三角形，
；

是等边三角形，
，
当时，是等边三角形，
，
，
即，当时，是等边三角形；

点的速度大于点的速度，
当点比点多运动个单位时，两点第一次相遇，
即，
，
，
点、在点处相遇，
即经过秒点与点第一次在点处相遇．
根据路程速度时间，解决问题即可；
利用等边三角形的三线合一的性质证明即可；
根据，构建方程求解即可；
根据，构建方程求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，路程，速度，时间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．