2020-2021学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期末数学试卷（word解析版）

这是一份2020-2021学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期末数学试卷（word解析版），共22页。试卷主要包含了单项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列计算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x5 B．（﹣x2）3＝x5 C．x2+x3＝x5 D．x6÷x2＝x3
2．（2分）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+2）（2+x） B．（）（b﹣）
C．（﹣m+n）（m﹣n） D．（x2﹣y）（x+y2）
3．（2分）把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
4．（2分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
5．（2分）如图，已知∠BOP＝∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，PC＝4cm，则PD的长为（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
6．（2分）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（　　）

A．180° B．210° C．360° D．270°
二.填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的直径为0.00000078m，这个数据用科学记数法表示为　 　．
8．（3分）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b＝　 　．
9．（3分）若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式，则a的值是　 　．
10．（3分）计算1÷•（m2﹣1）的结果是　 　．
11．（3分）若分式的值为零，则x的值为　 　．
12．（3分）一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，则这个多边形的边数为　 　．
13．（3分）如图，BC∥EF，AC∥DF，若使△ABC≌△DEF，则需添加一个条件是　 　．

14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE＝BP，CP＝CF，则∠EPF＝　 　度．

三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：（2a+b）（a﹣b）﹣（8a3b﹣4a2b2）÷4ab．
16．（5分）分解因式：﹣x3y+4x2y2﹣4xy3．
17．（5分）解方程：﹣3＝．
18．（5分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
三.解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．

20．（7分）如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．

21．（7分）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝　 　，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　 　．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　．（其中，n为正整数，且n≥2）
22．（7分）如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD．
（1）求证：BD＝CE；
（2）BD、CE有何位置关系？请证明你的结论．

五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）等边△ABC中，F为边BC边上的点，作∠CBE＝∠CAF，延长AF与BE交于点D，截取BE＝AD，连接CE．
（1）求证：CE＝CD；
（2）求证：DC平分∠ADE；
（3）试判断△CDE的形状，并说明理由．

24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题：
观察下列等式：＝1，＝，＝﹣．
将以上三个等式相加得：

＝1
＝1
＝．
（1）猜想并写出：＝　 　；
（2）直接写出下列各式的结果：
①＝　 　；
②＝　 　；
（3）探究并计算：．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）求证：△OBC≌△ABD．
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？


2020-2021学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列计算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x5 B．（﹣x2）3＝x5 C．x2+x3＝x5 D．x6÷x2＝x3
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐个判断即可．
【解答】解：A．x2•x3＝x5，故本选项符合题意；
B．（﹣x2）3＝﹣x6，故本选项不符合题意；
C．x2和x3不能合并，故本选项不符合题意；
D．x6÷x2＝x4，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
2．（2分）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+2）（2+x） B．（）（b﹣）
C．（﹣m+n）（m﹣n） D．（x2﹣y）（x+y2）
【分析】利用平方差公式判断即可．
【解答】解：A、原式＝（x+2）2＝x2+4x+4，不符合题意；
B、原式＝b2﹣a2，符合题意；
C、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，不符合题意；
D、原式＝x3+x2y2﹣xy﹣y3，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
3．（2分）把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
【分析】根据提公因式法的分解方法分解即可．
【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是关键．
4．（2分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（2分）如图，已知∠BOP＝∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，PC＝4cm，则PD的长为（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线的小足球场PD＝PE，求出∠AOB＝30°，根据平行线的性质求出∠BCP＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可．
【解答】解：过P作PE⊥OB于E，

∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝∠BOP+∠AOP＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP＝∠AOB＝30°，
∵PE⊥OB，
∴∠PEC＝90°，
∵PC＝4cm，
∴PE＝PC＝2cm，
∵PE⊥OB，PD⊥OA，∠BOP＝∠AOP，
∴PD＝PE＝2cm，
故选：C．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
6．（2分）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（　　）

A．180° B．210° C．360° D．270°
【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．
【解答】解：∠α＝∠1+∠D，
∠β＝∠4+∠F，
∴∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F
＝∠2+∠D+∠3+∠F
＝∠2+∠3+30°+90°
＝210°，
故选：B．

【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
二.填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的直径为0.00000078m，这个数据用科学记数法表示为　7.8×10﹣7m　．
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【解答】解：0.000 000 78＝7.8×10﹣7m．
故答案为：7.8×10﹣7m．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数．
8．（3分）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b＝　﹣5　．
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【解答】解：∵点P（a，3）与点Q（﹣2，b）关于x轴对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，难度适中．
9．（3分）若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式，则a的值是　±1　．
【分析】这里首末两项是x和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x的系数和积的2倍，故﹣a＝±1，求解即可
【解答】解：中间一项为加上或减去x的系数和积的2倍，
故a＝±1，
解得a＝±1，
故答案为：±1．
【点评】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．
10．（3分）计算1÷•（m2﹣1）的结果是　﹣m2+2m﹣1　．
【分析】从左向右计算即可，把除法转化为乘法，并把m2﹣1因式分解，再进行约分计算．
【解答】解：原式＝1××（m+1）（m﹣1）＝﹣m2+2m﹣1．
故答案是﹣m2+2m﹣1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是注意因式分解、乘除法的转化．
11．（3分）若分式的值为零，则x的值为　1　．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：，
则|x|﹣1＝0，即x＝±1，
且x+1≠0，即x≠﹣1．
故x＝1．
故若分式的值为零，则x的值为1．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
12．（3分）一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，则这个多边形的边数为　14　．
【分析】依据多边形的内角和公式列方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n．
根据题意得：（n﹣2）×180°+360°＝2520°．
解得：n＝14．
故这个多边形的边数为14．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，依据题意列出方程是解题的关键．
13．（3分）如图，BC∥EF，AC∥DF，若使△ABC≌△DEF，则需添加一个条件是　AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF或AD＝BE（只需添加一个即可）　．

【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A＝∠EDF，∠ABC＝∠E，故添加AB＝DE、BC＝EF或AC＝DF根据ASA、AAS即可解题．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠E，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
同理，BC＝EF或AC＝DF也可证△ABC≌△DEF．
故答案为：AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF或AD＝BE（只需添加一个即可）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE＝BP，CP＝CF，则∠EPF＝　50　度．

【分析】根据在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，利用三角形内角和定理求出∠B＝∠C＝50°，再利用BE＝BP，求出∠EPB，然后即可求得∠EPF，同理，可求出∠FPC，即可解题．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵BE＝BP，
∴∠BEP＝∠EPB＝65°，
同理，∠FPC＝65°，
∠EPF＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：（2a+b）（a﹣b）﹣（8a3b﹣4a2b2）÷4ab．
【分析】直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式＝2a2﹣2ab+ab﹣b2﹣（8a3b÷4ab﹣4a2b2÷4ab）
＝2a2﹣ab﹣b2﹣（2a2﹣ab）
＝2a2﹣ab﹣b2﹣2a2+ab
＝﹣b2．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．（5分）分解因式：﹣x3y+4x2y2﹣4xy3．
【分析】直接提取公因式xy，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝﹣xy（x2﹣4xy+4y2）
＝﹣xy（x﹣2y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
17．（5分）解方程：﹣3＝．
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘x﹣2，得1﹣3（x﹣2）＝﹣（x﹣1），即1﹣3x+6＝﹣x+1，
整理得：﹣2x＝﹣6，
解得：x＝3，
检验，当x＝3时，x﹣2≠0，
则原方程的解为x＝3．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
18．（5分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝a（a﹣2），
当a＝﹣1时，
原式＝﹣1×（﹣3）＝3．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三.解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．

【分析】（1）要关于y轴对称，即从各顶点向y轴引垂线，并延长，且线段相等，然后找出各顶点的坐标．
（2）各顶点向右平移6个单位找对应点即可．
（3）从图中可以看出关于直线x＝3轴对称．
【解答】解：（1）A1（0，4），B1（2，2），C1（1，1）；

（2）A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x＝3轴对称．

【点评】本题侧重于数学知识的综合应用，做这类题的关键是掌握平移，轴对称，及坐标系的有关知识，触类旁通．
20．（7分）如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．

【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出BE+AE的长，再根据△ABE的周长为16cm，即可求出AB的长．
【解答】解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴BE+AE＝CE+AE＝AC＝9cm，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB＝16﹣（BE+AE）＝16﹣9＝7cm．
【点评】本题比较简单，应用的知识点为：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
21．（7分）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝　a2﹣b2　，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　a4﹣b4　．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　an﹣bn　．（其中，n为正整数，且n≥2）
【分析】（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果．
【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；

（2）由（1）的规律可得：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）．
故答案为：an﹣bn．
【点评】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
22．（7分）如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD．
（1）求证：BD＝CE；
（2）BD、CE有何位置关系？请证明你的结论．

【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE；
（2）BD⊥CE，理由如下：
由（1）△BAD≌△CAE可知：∠ADB＝∠E，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
∴∠ADB+∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△BAD≌△CAE解答．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）等边△ABC中，F为边BC边上的点，作∠CBE＝∠CAF，延长AF与BE交于点D，截取BE＝AD，连接CE．
（1）求证：CE＝CD；
（2）求证：DC平分∠ADE；
（3）试判断△CDE的形状，并说明理由．

【分析】（1）证明△ADC≌△BEC，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据ADC≌△BEC，可证得∠ADC＝∠E，CE＝CD，然后根据等边对等角即可证得；
（3）根据△ADC≌△BEC，证得∠ACD＝∠BCE，得到∠DCE＝∠ACB＝60°，然后根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，即可证得．
【解答】解：（1）在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴CE＝CD；
（2）∵△ADC≌△BEC，
∴∠ADC＝∠E，CE＝CD，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∴∠ADC＝∠CDE，
∴DC平分∠ADE；
（3）△DCE为等边三角形．
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE．
∴∠DCE＝∠ACB＝60°，
又∵CE＝CD，
∴△DCE为等边三角形．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定方法，正确证得∠DCE＝∠ACB＝60°，是关键．
24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题：
观察下列等式：＝1，＝，＝﹣．
将以上三个等式相加得：

＝1
＝1
＝．
（1）猜想并写出：＝　　；
（2）直接写出下列各式的结果：
①＝　　；
②＝　　；
（3）探究并计算：．
【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出相应的猜想；
（2）①根据题目中的例子，可以求得所求式子的值；
②根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（3）根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
＝，
故答案为：；
（2）①
＝1﹣+…+
＝1﹣
＝，
故答案为：；
②
＝＝1﹣+…+
＝1﹣
＝
＝，
故答案为：；
（3）
＝×（+…+）
＝×（）
＝×
＝．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
【分析】（1）可设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解；
（2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．
【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有
+30＝，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
1.5x＝60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；
（2）＝160，
160﹣30＝130（元），
130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）
＝4680+1920﹣640
＝5960（元）
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）求证：△OBC≌△ABD．
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？

【分析】（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BA，BC＝BD，则∠OBC＝∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）由△AOB是等边三角形知∠BOA＝∠OAB＝60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD＝∠BOC＝60°，根据∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD可得结论；
（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC＝120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，求得AC＝AE＝2，据此得到OC＝1+2＝3，即可得出点C的位置．
【解答】解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠ABC，
在△OBC和△ABD中，
∵，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；

（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；

（3）∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，
∴AE＝2，
∴AC＝AE＝2，
∴OC＝1+2＝3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
【点评】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．