吉林省松原市乾安县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份吉林省松原市乾安县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

吉林省松原市乾安县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各式是最简二次根式的是（    ）
A． B． C． D．
2．下列运算，结果正确的是（   ）
A． B．
C． D．
3．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们踩伤草坪，仅仅少走了（   ）

A． B． C． D．
4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（   ）

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
5．在下列四个选项中，能判定四边形是平行四边形的是（    ）

A．， B．，
C．， D．，
6．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（    ）

A．1 B． C． D．2

二、填空题
7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．计算： ．
9．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为 cm．

10．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ．

11．在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离（A，B之间有水池，无法直接测量）．智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得，，则A，B之间的距离为 ．
    
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，-2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是 ．

13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足条件 时，四边形AEDF是菱形．（填写一个你认为恰当的条件即可）


三、单选题
14．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（    ）

A． B．
C． D．

四、解答题
15．计算：．
16．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求证：．

17．四边形是正方形，E为上一点，连接，过B作于E，且，求正方形的周长．

18．如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点．求证：．

19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．

(1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为 　 　．
20．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：
（1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离；
（2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．
21．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE．
（1）求证：F为BC中点；
（2）若OB⊥AC，OF＝2，求平行四边形ABCD的周长．

22．小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
23．如图，在矩形中，作对角线的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的边长，求菱形的边长．
24．阅读下列解题过程
例：若代数式的值是，求的取值范围．
解：原式=
当时，原式，解得 (舍去)；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得 (舍去)．
所以，的取值范围是
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
当时，化简：
若等式成立，则的取值范围是
若，求的取值．
25．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点A匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒．过点作于点，连接DE，EF．

(1)求的长；
(2)求证：；
(3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
26．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
　　 　　
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．

参考答案：
1．B
【详解】A中的、C中的的被开方数都含能开得尽方的因数，D中的被开方数是小数，所以A、C、D都不是最简二次根式，只有B中的是最简二次根式．
2．D
【分析】根据同类二次根式的概念，二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】A、与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；
B、3与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序是解题的关键．
3．A
【分析】根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：∵，
∴AB=（m），
6+8-10=4（m）,
∴他们踩伤草坪，仅仅少走了4m；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．
4．C
【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.
【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选：C．

【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.
5．D
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．，，一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B．通过，不能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C．，，一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D．由，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定条件：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6．D
【分析】由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到，进而得到，然后在中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠EFD=∠FEB=60°，
由折叠前后对应角相等可知：，
∴，
∴，
设AE=x，则，
∴AB=AE+BE=3x=3，
∴x=1，
∴BE=2x=2，
故选：D．
【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．
7．
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
8．
【分析】首先化简二次根式，进而合并求出即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
9．8
【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可．
【详解】解： 菱形中，对角线，相交于点，AC=4cm，
，，AO=OC=AC=2cm
cm，
cm，
cm，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键．
10．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】(1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(3)定理2∶两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(4）定理3∶对角线互相平分的四边形是平行四边形．
(5)定理4∶一组对边平行且相等的四边形是．
【详解】两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
11．
【分析】连接得到两个直角三角形，先利用勾股定理求出线段的长，再利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：连接
  
在中，，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
在中，，
由勾股定理得．
故答案为：．
【点睛】此题考查勾股定理实际应用，连接，将四边形转化为两个直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．
12．5
【分析】由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB＝AC＝5，即可求解．
【详解】解：连接AC，

∵点A（4，﹣2），点C（1，2），
∴AC＝，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB＝AC＝5，
∴点B的横坐标为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
13．答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或AD平分∠BAC或BD＝CD等
【分析】根据菱形的判定方法,找到最合适的即可解题,答案不唯一见解析.
【详解】解：若AB＝AC,
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴DE=AE,DF=AF,（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
∴DE=AE=DF=AF,
∴四边形AEDF是菱形（四边相等的四边形是菱形）
若∠B=∠C,
则AB＝AC,
接下来的证明同上,
综上,答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或AD平分∠BAC或BD＝CD等
【点睛】本题考查了菱形的判定,属于简单题,熟悉菱形的判定方法是解题关键.
14．D
【分析】根据矩形的性质及材料即可判断．
【详解】根据题意可知，故C正确；
根据矩形的性质得，，故A，B正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知矩形的性质定理．
15．2
【分析】原式根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
＝
＝
＝2
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练运用乘法公式是解答本题的关键．
16．见解析
【分析】利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可证明．
【详解】证明：由题意知，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握定理是解题的关键．
17．正方形的周长为24．
【分析】先由含30度角的直角三角形的性质得出和的关系，再由勾股定理求出的长，进而可求出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴正方形的周长为．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
18．见解析
【分析】利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
19．(1)见解析
(2)图见解析，2

【分析】（1）根据正方形的面积为5，可得正方形的边长为，画出一个边长为的正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可．
【详解】（1）解：如图所示即为所求面积为5的正方形；
∵，
∴如图所示即的正方形即为所求；

（2）如图所示，
∵，，
∴如图所示三角形即为所求；
这个三角形的面积为，
故答案为：2．

【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理得出相关线段长是解决问题的关键．
20．(1)13；(2)△AOB是直角三角形.
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算；
（2）根据勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：(1)P，Q两点间的距离＝＝13；
(2)△AOB是直角三角形，
理由如下：AO2＝(1﹣0)2+(2﹣0)2＝5，
BO2＝(4﹣0)2+(﹣2﹣0)2＝20，
AB2＝(4﹣1)2+(﹣2﹣2)2＝25，
则AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形．
故答案为(1)13；(2)△AOB是直角三角形.
【点睛】本题考查的是两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质与判定定理证明四边形OBEC为平行四边形，故可求解；
（2）先证明四边形ABCD是菱形，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质求出BC的长，故可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵四边形DOEC为平行四边形，
，，
，，
∴四边形OBEC为平行四边形，
，即F是BC的中点．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，，
是菱形，
∵四边形OBEC为平行四边形，，
是矩形，
，
，
，
的周长．
【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形、矩形的判定定理．
22．赞成小洁的说法，补充，见解析
【分析】赞成小洁的说法，补充：，由四边相等的四边形是菱形即可判断．
【详解】赞成小洁的说法，补充：．
证明：，，
，．
又∵．
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
23．(1)见解析；
(2)5．

【分析】（1）根据矩形性质证，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证菱形即可；
（2）利用菱形性质在中，根据勾股定理，求出菱形边长．
【详解】（1）证明：在矩形中
，，
，
在与中：



所以四边形是平行四边形，

所以四边形是菱形；
（2）由（1）可知

在中，




解得，
所以菱形的边长为5．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
24．（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案；
（2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可；
（3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值．
【详解】（1）解：当时，
原式===
（2）原式=
当时，原式，解得(舍去)；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得 (舍去)．
所以，的取值范围是；
（3）原式=
当时，原式，解得符合条件；
当时，原式，次方程无解，不符合条件；
当时，原式，解得 符合条件．
所以，的值是或．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，运用了数形结合的思想，在解答此类问题时要注意进行分类讨论．
25．(1)AB=5，AC=10；
(2)证明见解析
(3)当秒或秒时，为直角三角形，理由见解析

【分析】（1）由直角三角形的性质和勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）利用已知用未知数表示出DF，AF的长，进而得出；
（3）利用当时；当时；当时，分别分析得出即可．
【详解】（1）解：设，
，，
．
由勾股定理得，，
解得：，
， ；
（2）证明：由题意得，CD=2t，
则，
在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴．
又，
；
（3）解：当秒或秒时，为直角三角形，理由如下：
分情况讨论：
①∠EDF=∠DFC=90°时，则，
∴∠AED=∠B=90°，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，
∴10-2t=2t，
∴；

②∠DEF=90°时，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴．
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴，
∴∠ADE=∠DEF=60°，
∴∠AED=30°，
∴，
∴，
∴；

③∠EFD=90°时，此种情况不存在．
当秒或秒时，为直角三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识．理解相关知识是解答关键．
26．(1)或或或
(2)①15，15；②，理由见解析
(3)cm或

【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；
（2）根据折叠的性质，可证，即可求解；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：

，sin∠BME=




（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴



②


（3）当点Q在点F的下方时，如图，


，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当点Q在点F的上方时，如图，


cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．