吉林省松原市长岭县2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份吉林省松原市长岭县2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共55页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1），则a+b的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．8
4．（2分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，若∠B＝40°，∠C＝60°则∠ADE的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．（2分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCBB．AB＝DCC．AC＝DBD．∠A＝∠D
6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，则CF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是 边形．
8．（3分）等腰三角形的两边长分别为8，6，这个三角形的周长为 ．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝70°，则∠1+∠2＝ ．
10．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积是24，AE＝6则点B到ED的距离是 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠A＝ ．
12．（3分）如图，某轮船以20海里/时的速度自西向东航行，在A处测得有一小岛P在北偏东60°的方向上，这时间得该小岛P在北偏东30°的方向上，则轮船在B处时与小岛P的距离是 海里．
13．（3分）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，点A的坐标为（﹣2，5），则线段DE的长为 ．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，△ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°求∠DAE的度数．
16．（5分）已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AC＝CE，∠B+∠ADE＝180°．求证：BC＝DE．
17．（5分）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，求∠D+∠E的度数．
18．（5分）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，点E，F为垂足，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
四、解答题（每选题7分，共28分）
19．（7分）如图，把△ABC放置在4×4的正方形网格纸中，三角形的顶点都在格点上．在网格纸中用三种不同的方法画出与△ABC有一条公共边且与△ABC成轴对称的三角形（要求顶点都在格点上）．
20．（7分）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度数．
21．（7分）如图，在△ABC中，AB＝CB，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，连接AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
22．（7分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝10，BE＝2，求AB的长．
五、解答题（每题题8分，共16分）
23．（8分）如图所示，在等边三角形ABC中，P、Q是BC边上的两点，∠BAP＝20°．
（1）求∠AQB的度数；
（2）在（1）的条件下，点Q关于直线AC的时称点为M，求证：AP＝PM．
24．（8分）特例探究：如图1，已知在△ABC中，AB＝CB，D为AC边的中点，连接BD
归纳证明：如图2，已知在△ABC中，AB＝CB，D为AC边的中点，连接BD，DE交AB于M，DF交BC于N．证明：DM＝DN．
拓展应用：如图2，AC＝2m（m＞0）其他条件都不发生变化 （用含m的代数式表示）．
六、解答题（每道题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ ，∠DEC＝ ；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以
26．（10分）如图①，点P、Q分别是边长为4cm的等边边AB、BC上的动点，点P从顶点A，且它们的速度都为1cm/s，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝ s时，△PBQ是等边三角形；
（2）连接AQ、CP，交于点M，则在P、Q运动的过程中，说明理由；若不变；
（3）求t为何值时，△PBQ是直角三角形；
（4）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上向前运动，直线AQ、CP交于点M
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1），则a+b的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣3，1）与点Q（4，
∴a﹣3＝2，b+7＝﹣1，
∴a＝5，b＝﹣3，
则a+b＝5﹣2＝8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于x轴对称点的符号关系是解题关键．
3．（2分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．8
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜2+3，
即2＜a＜7，
即符合的只有3，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
4．（2分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，若∠B＝40°，∠C＝60°则∠ADE的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义和已知得到∠BAD＝∠DAC，由此解答即可．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝40°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°、角平分线的定义是解题的关键．
5．（2分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCBB．AB＝DCC．AC＝DBD．∠A＝∠D
【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一验证选项即可．
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，
A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），
故A能证明；
B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，
故B不能证明；
C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），
故C能证明；
D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），
故D能证明；
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，则CF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】连接AF，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠B＝∠C＝30°，利用线段垂直平分线的性质可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求解CF的长．
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF＝AF，
∴∠BAF＝∠B＝30°，
∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，
∴CF＝2AF＝2BF，
∵BF＝2，
∴CF＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求解CF＝2BF是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是 四 边形．
【分析】首先求得外角的度数，根据正多边形外角和＝360°，利用360°除以外角的度数即可解决问题．
【解答】解：∵每个外角都等于与它相邻的内角，
∴每个外角的度数是：90°，
则边数是：＝4．
故答案为：四．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于360度，难度适中．
8．（3分）等腰三角形的两边长分别为8，6，这个三角形的周长为 20或22 ．
【分析】根据三角形三边关系分类计算周长即可．
【解答】解：根据三角形三边关系，
①当8为腰时，周长＝8+8+6＝22；
②当6位腰时，周长＝4+6+8＝20；
故答案为：20或22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝70°，则∠1+∠2＝ 250° ．
【分析】首先求得∠B+∠A，然后利用四边形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠B+∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣110°＝250°．
故答案为：250°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及四边形的内角和，理解定理是关键．
10．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积是24，AE＝6则点B到ED的距离是 2 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积，即可解答．
【解答】解：∵AD是BC上的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，
∴S△ABE＝S△ABC，
∵△ABC的面积是24，
∴S△ABE＝×24＝5．
∵AE＝6，
∴点B到ED的距离＝2，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠A＝ 80° ．
【分析】直接利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出∠BOC＝90°+∠A，进而得出答案．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴2∠OBC+2∠OCB+∠A＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
又∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴90°﹣∠A+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝90°+∠A，
∵∠BOC＝130°，
∴90°+∠A＝130°，
解得：∠A＝80°．
故答案为：80°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，正确得出∠BOC＝90°+∠A是解题关键．
12．（3分）如图，某轮船以20海里/时的速度自西向东航行，在A处测得有一小岛P在北偏东60°的方向上，这时间得该小岛P在北偏东30°的方向上，则轮船在B处时与小岛P的距离是 40 海里．
【分析】首先根据题意可得∠PAB的度数为30°，∠ABP的度数为120°，由三角形的内角和定理可得∠APB的度数；利用等腰三角形的性质可得PB＝AB，易得结果．
【解答】解：∵∠DAP＝60°，
∴∠PAB＝90°﹣60°＝30°，
∵∠PBE＝30°，
∴∠ABP＝90°+30°＝120°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∵∠PAB＝∠APB＝30°，
∴△PAB为等腰三角形，
∴PB＝AB＝20×2＝40（海里）
∴B处时与小岛P的距离为40海里．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角，等腰三角形的性质，证得△PAB为等腰三角形是解答此题的关键．
13．（3分）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，点A的坐标为（﹣2，5），则线段DE的长为 7 ．
【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA＝BO，∠AOB＝90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝OE＝5，OD＝BE＝2，则可得出答案．
【解答】解：∵A（﹣2，5），
∴AD＝6，OD＝2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA＝BO，∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠DAO＝∠AOD+∠BOE＝90°，
∴∠DAO＝∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD＝OE＝5，OD＝BE＝3，
∴DE＝OD+OE＝5+2＝3，
故答案为：7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，△ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是 5 ．
【分析】连接AD，AM，如图，先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，则可根据三角形面积公式求出AD＝5，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则MA＝MB，所以MB+MD＝MA+MD≥AD（当且仅当A、M、D共线，即M点为EF与AD的交点时取等号），从而得到BM+MD的最小值．
【解答】解：连接AD，AM，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面积为10，
∴×2×AD＝10，
由作法得EF垂直平分AB，
∴MA＝MB，
∵MB+MD＝MA+MD，
而MA+MD≥AD（当且仅当A、M、D共线，
∴MA+MD的最小值为5，
∴BM+MD的最小值是5．
故答案为8．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和最短路径问题．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°求∠DAE的度数．
【分析】由三角形的内角和可得∠BAC＝70°，再由角平分线可求得∠BAE＝∠EAC＝35°，从而可得∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，结合AD⊥BC，即可求∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝35°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝15°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，解答的关键是熟记三角形内角和为180°．
16．（5分）已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AC＝CE，∠B+∠ADE＝180°．求证：BC＝DE．
【分析】由AB与EC平行，得到一对内错角相等，利用同角的补角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABC与三角形CDE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵AB∥EC，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠B+∠ADE＝180°，
又∵∠ADE+∠EDC＝180°，
∴∠B＝∠EDC，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC＝DE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
17．（5分）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，求∠D+∠E的度数．
【分析】首先根据四边形的内角和求得∠A+∠B的度数，然后利用轴对称的性质求得∠E+∠D的度数即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，
∴∠A＝∠E，∠B＝∠D，
∵∠AFC+∠BCF＝150°，
∴∠A+∠B＝360°﹣150°＝210°
∴∠E+∠D＝∠A+∠B＝210°．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握轴对称图形的对称轴两边的图形能完全重合．
18．（5分）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，点E，F为垂足，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后根据等角对等边得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明△BED≌△CFD．
四、解答题（每选题7分，共28分）
19．（7分）如图，把△ABC放置在4×4的正方形网格纸中，三角形的顶点都在格点上．在网格纸中用三种不同的方法画出与△ABC有一条公共边且与△ABC成轴对称的三角形（要求顶点都在格点上）．
【分析】根据轴对称图形的性质以及题目要求作出图形即可．
【解答】解：如图，三角形即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称图形等知识，解题的关键是掌握轴对称图形的性质，属于中考常考题型．
20．（7分）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法AAS，即可判断△AEC≌△BED；
（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵∠ADE＝∠1+∠C
∴∠2+∠BDE＝∠7+∠C，且∠1＝∠2，
∴∠C＝∠BDE，且AE＝BE，
∴△AEC≌△BED（AAS）；
（2）∵△AEC≌△BED，
∴ED＝EC，∠BDE＝∠C，
∴∠EDC＝∠C＝＝66°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△AEC≌△BED是本题的关键．
21．（7分）如图，在△ABC中，AB＝CB，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，连接AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
【分析】①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB＝∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
【解答】①证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵在△ABC中，AB＝CB，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由①得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝30°+45°＝75°，
则∠BDC＝75°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
22．（7分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝10，BE＝2，求AB的长．
【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，由线段的和差关系求出答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，BE＝2，
∴CF＝BE＝2，
∵AC＝10，
∴AF＝AC﹣CF＝10﹣5＝8，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF＝8，
∴AB＝AE﹣BE＝7﹣2＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
五、解答题（每题题8分，共16分）
23．（8分）如图所示，在等边三角形ABC中，P、Q是BC边上的两点，∠BAP＝20°．
（1）求∠AQB的度数；
（2）在（1）的条件下，点Q关于直线AC的时称点为M，求证：AP＝PM．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形内角和定理得出∠APB，进而解答即可；
（2）根据轴对称的性质和等腰三角形的判定得出△APM是等腰三角形，进而解答即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝60°，
∵∠BAP＝20°，
∴∠APB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
∴∠APQ＝180°﹣100°＝80°，
∵AP＝AQ，
∴∠AQB＝∠APQ＝80°；
（2）证明：∵点Q关于直线AC的时称点为M，
∴AC垂直平分QM，
∴AQ＝AM，∠QAC＝∠CAM，
∵AP＝AQ，
∴AP＝AM，
∴△APM是等腰三角形，
在△APQ中，∠APQ＝∠AQP＝80°，
∴∠PAQ＝20°，
∴∠PAQ＝∠QAC＝∠CAM＝20°，
∴∠PAM＝60°，
∴△APM是等边三角形，
∴AP＝PM．
【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和三角形内角和定理得出∠APB解答．
24．（8分）特例探究：如图1，已知在△ABC中，AB＝CB，D为AC边的中点，连接BD
归纳证明：如图2，已知在△ABC中，AB＝CB，D为AC边的中点，连接BD，DE交AB于M，DF交BC于N．证明：DM＝DN．
拓展应用：如图2，AC＝2m（m＞0）其他条件都不发生变化 （用含m的代数式表示）．
【分析】特例探究：根据等腰直角三角形的性质和三线合一，直接证得△ABD是等腰直角三角形即可；
归纳证明：证得△DMA≌△DNB（ASA），即可得出答案；
拓展应用：由归纳证明可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），由此得出Rt△DEF与△ABC的重叠部分（四边形DMBN）的面积是△ABC面积的一半，得出结论．
【解答】特例探究：解：△ABD是等腰直角三角形．
理由：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，AD＝CD＝，BD＝，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰直角三角形．
归纳证明：证明：∵AB＝CB，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵D是AC的中点，
∴DA＝DC＝BD，∠DBN＝45°
∴∠ADB＝∠ADM+∠BDM＝90°，
∴∠A＝∠DBN．
∵∠EDF＝90°，
∴∠BDN+∠BDM＝90°，
∴∠ADM＝∠BDN
在△DMA和△DBN中
，
∴△DMA≌△DBN（ASA），
∴DM＝DN．
拓展应用：解：∵AC＝2m，△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝m，
由归纳证明，可知△DMA≌△DNB（ASA），
同理可得△BDM≌△DCN（ASA），
∴S四边形DMBN＝S△BDM+S△DBN＝S△ABC＝××m×，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，理解定理是解答此题的关键．
六、解答题（每道题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25° ，∠DEC＝ 115° ；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以
【分析】（1）利用平角的定义和三角形外角的性质可得答案；
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵∠BDA＝115°，∠ADE＝40°，
∴∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180﹣25°﹣40°＝115°，
故答案为：25°，115°；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
∵∠B＝∠C，AB＝DC，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）△ADE的形状可以是等腰三角形；当∠BDA的度数为110°或80°时，理由如下：
∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°﹣40°＝70°
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝40°，
∴∠DAE＝∠ADE
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
26．（10分）如图①，点P、Q分别是边长为4cm的等边边AB、BC上的动点，点P从顶点A，且它们的速度都为1cm/s，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝ 2 s时，△PBQ是等边三角形；
（2）连接AQ、CP，交于点M，则在P、Q运动的过程中，说明理由；若不变；
（3）求t为何值时，△PBQ是直角三角形；
（4）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上向前运动，直线AQ、CP交于点M
【分析】（1）当BQ＝BP时，△PBQ是等边三角形，据此列出等式可求解；
（2）由“SAS”可证△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ＝∠ACP，由外角的性质可求∠CMQ＝60°；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解；
（4）由“SAS”可证△PBC≌△QCA，可得∠BPC＝∠MQC，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：（1）∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发．
设时间为t（s），则AP＝BQ＝t（cm），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
当BQ＝BP时，△PBQ是等边三角形，
∴t＝4﹣t，
解得t＝2，
∴当t＝2s时，△PBQ是等边三角形；
故答案为：2；
（2）∠CMQ＝60°不变．
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发．
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°；
（3）设时间为t（s），则AP＝BQ＝t（cm），
①当∠PQB＝90°时，
∵∠ABC＝60°，
∴PB＝2BQ，即8﹣t＝2t，
∴；
②当∠QPB＝90°时，
∵∠ABC＝60°，
∴BQ＝2BP，即t＝2（2﹣t），
∴；
∴当t为或时，△PBQ为直角三角形；
（4）解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ABC＝∠CAP＝60°，
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
∵AP＝BQ，
∴BP＝CQ，
在△PBC与△QCA中，
，
∴△PBC≌△QCA（SAS），
∴∠BPC＝∠MQC，
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题是三角形综合题，我们要灵活运用全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．