吉林省松原市前郭县农村名校调研2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份吉林省松原市前郭县农村名校调研2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图，△ABC的边AC上的高是（ ）
A．线段AEB．线段BAC．线段BDD．线段BC
3．（2分）在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2、3、6B．3、5、9C．3、4、5D．2、3、5
4．（2分）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
5．（2分）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF（ ）
A．∠A＝∠DB．BC＝EFC．AC＝DFD．∠ACB＝∠F
6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，CD＝AD＝4（ ）
A．10B．12C．14D．16
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）匠人制作马扎时，支撑架都设计成如图形状，这种方法是利用了三角形的 ．
8．（3分）如图，△ABO≌△DCO，B、D、A、C在同一直线上，BC＝9，则BD＝ ．
9．（3分）等腰三角形的一边为3，另一边为7，则这个三角形的周长为 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝15，BD是AC边上的中线．若△ABD的周长为35，则△BCD的周长是 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，若点D在直线MN上，连接AD，则△ABD周长的最小值为 ．
12．（3分）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，那么只要测量出AD的长度就得到A、B两点之间的距离，其中△ABC≌△ADC的依据是 ．
13．（3分）如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F分别是AB上的两点，∠CDF＝40°，则∠ECF的度数为 ．
14．（3分）边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，求这个多边形的边数．
16．（5分）如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，F是AB延长线上一点，点A在BC上
17．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BD的垂直平分线与AB的交点，连接DE交AC于点F．求证：点E在AF的垂直平分线上．
18．（5分）如图所示，AB＝CD，BF＝DE，E，且AE＝CF．请你判断BF与DE的位置关系，并说明理由．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
20．（7分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）（3，4）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1）；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的距离最短，在图中作出点P的位置．
21．（7分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BDC的度数；
（2）若DE＝4，BC＝12，求△BCD的面积．
22．（7分）如图，△ABC中，D为AC边上一点，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠F＝ 度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．
24．（8分）四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．
（1）若点O在四边形ABCD的内部，
①如图1，若AD∥BC，∠B＝40°，则∠DOE＝ °；
②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，AF＝AC，连接EF
（1）若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；
（2）延长AD至点H，使DH＝AD，连接BH；
（3）在（2）的条件下，请直接写出线段EF和线段AD之间的数量关系．
26．（10分）如图，等边△ABC的边长为7cm，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，点N沿折线BA﹣AC﹣CB向终点B运动，已知点M的速度为1cm/s，当有一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当M、N两点重合时，求出此时t的值；
（2）当点M、N均在边BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若能；若不能，请说明理由；
（3）在点M、N的运动过程中，当以点M、N及△ABC中的某一顶点为顶点构成的三角形是等边三角形时，请直接写出此时t的值．
2023-2024学年吉林省松原市前郭县农村名校调研八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）如图，△ABC的边AC上的高是（ ）
A．线段AEB．线段BAC．线段BDD．线段BC
【分析】根据三角形高的定义即可得到答案．
【解答】解：∵BD⊥AC于点D，
∴△ABC的边AC上的高是线段BD，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键．
3．（2分）在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2、3、6B．3、5、9C．3、4、5D．2、3、5
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+3＝7；
B、3+5＝8＜9；
C、3+5＝7＞5；
D、6+3＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（2分）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【分析】根据直线a∥b，可得∠3＝∠1＝40°，根据等边三角形的性质可得∠A＝60°，根据∠2＝180°﹣∠A﹣∠3求解即可．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝40°，
在等边△ABC中，∠A＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠3＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
5．（2分）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF（ ）
A．∠A＝∠DB．BC＝EFC．AC＝DFD．∠ACB＝∠F
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，CD＝AD＝4（ ）
A．10B．12C．14D．16
【分析】由等腰三角形的性质推出∠BAD＝90°，由含30°直角三角形的性质得到AD＝BD，求出BD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵CD＝AD，
∵∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠DAB＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，
∴AD＝BD，
∴BD＝8AD＝2×4＝3，
∴BC＝CD+BD＝4+8＝12．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）匠人制作马扎时，支撑架都设计成如图形状，这种方法是利用了三角形的 稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性即可解决．
【解答】解：支撑架设计成如图形状，主要利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点评】本题主要考查了三角形的性质，三角形具有稳定性，马扎的支撑架设计成三角形是为了保持稳定．
8．（3分）如图，△ABO≌△DCO，B、D、A、C在同一直线上，BC＝9，则BD＝ 4 ．
【分析】设BD＝x，由△ABO≌△DCO，可得AB＝CD＝x+1，故2x+1＝9，即可解得BD＝4．
【解答】解：设BD＝x，则AB＝x+1，
∵△ABO≌△DCO，
∴AB＝CD＝x+1，
∴BC＝BD+CD＝x+（x+8）＝2x+1，
∵BC＝3，
∴2x+1＝5，
解得x＝4，
∴BD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查全等三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等．
9．（3分）等腰三角形的一边为3，另一边为7，则这个三角形的周长为 17 ．
【分析】本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长．
【解答】解：当腰长为3时，则三角形的三边长为：3、3、7；
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为7，则其周长＝2+7+3＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝15，BD是AC边上的中线．若△ABD的周长为35，则△BCD的周长是 29 ．
【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，由△ABD的周长为35，AB＝15，求出AD+BD＝20，进而得出△BCD的周长．
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为35，AB＝15，
∴AD+BD＝35﹣AB＝35﹣15＝20，
∴CD+BD＝AD+BD＝20，
∵BC＝9，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝9+20＝29．
故答案为：29．
【点评】本题考查了三角形的中线．根据中线的定义得出AD＝CD以及利用周长的定义求出AD+BD＝15是解决问题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，若点D在直线MN上，连接AD，则△ABD周长的最小值为 12 ．
【分析】MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．
【解答】解：MN与AC的交点为D，
∵MN是BC边上的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴AD+BD＝AD+CD＝AC，
此时AD+BD的值最小，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC最小，
∵AB＝5，AC＝7，
∴AB+AC＝12，
∴△ABD的周长最小值为12，
故答案为：12．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，那么只要测量出AD的长度就得到A、B两点之间的距离，其中△ABC≌△ADC的依据是 SAS ．
【分析】根据SAS即可证明△ACB≌△ACD，由此即可解决问题．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
故答案为：SAS．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
13．（3分）如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F分别是AB上的两点，∠CDF＝40°，则∠ECF的度数为 100° ．
【分析】根据中垂线的性质，得到∠CHE＝90°，∠CDF＝∠DCF，求出∠ECD的度数，利用∠ECD+∠DCF即可得解．
【解答】解：设AB，CD交于点H，
∵AB是线段CD的垂直平分线，E，F分别是AB上的两点，
∴∠CHE＝90°，FC＝FD，
∴∠CDF＝∠DCF＝40°，∠ECD＝90°﹣∠CEB＝60°，
∴∠ECF＝∠ECD+∠DCF＝100°；
故答案为：100°．
【点评】本题考查中垂线的性质，熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．
14．（3分）边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为 24° ．
【分析】根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
∴∠BOC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，
∵AO＝BO，
∴∠ABO＝∠BAO＝＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，求这个多边形的边数．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意得
（n﹣2）×180°＝360°×6，
解得n＝14．
答：这个多边形的边数是14．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
16．（5分）如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，F是AB延长线上一点，点A在BC上
【分析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到AB＝CB，然后根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CBF．
【解答】证明：∵CB⊥AB，
∴∠ABC＝∠FBC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝CB，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BD的垂直平分线与AB的交点，连接DE交AC于点F．求证：点E在AF的垂直平分线上．
【分析】先根据EG是线段BD的垂直平分线得出∠DEG＝∠BEG，再由∠ACB＝90°可知AC∥EG，故∠AFE＝∠DEG，∠A＝∠BEG，所以∠A＝∠AFE，由此即可得出结论．
【解答】解：∵EG是线段BD的垂直平分线，
∴∠DEG＝∠BEG，
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥EG，
∴∠AFE＝∠DEG，∠A＝∠BEG，
∴∠A＝∠AFE，即点E在AF的垂直平分线上．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
18．（5分）如图所示，AB＝CD，BF＝DE，E，且AE＝CF．请你判断BF与DE的位置关系，并说明理由．
【分析】利用SSS证明△ABF≌△CDE，可得∠BFA＝∠DEC，进而利用平行线的判定即可解决问题．
【解答】解：BF∥DE，理由如下：
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
∴∠BFA＝∠DEC，
∴BF∥DE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABF≌△CDE．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠DCE＝60°，再由角平分线的定义可得∠ACE＝60°，利用三角形的内角和定理即可求∠CAE的度数；
（2）由三角形的外角性质可得∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，再由角平分线的定义得∠ACE＝∠DCE，从而可求解．
【解答】（1）解：∵∠DCE是△BCE的外角，∠B＝35°，
∴∠DCE＝∠B+∠E＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠CAE＝180°﹣∠ACE﹣∠E＝95°；
（2）证明：∵∠DCE是△BCE的外角，∠BAC是△ACE的外角，
∴∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，
∵CE平分角ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E＝∠B+2∠E．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
20．（7分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）（3，4）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1）；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的距离最短，在图中作出点P的位置．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，再连接A′B，与x轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C4即为所求，
由图知，A1（﹣1，8），B1（﹣4，8）C1（﹣3，5），
故答案为：﹣1，1；﹣7，2，4；
（2）如图所示，点P即为所求，3）．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称的性质作出变换后的对应点．
21．（7分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BDC的度数；
（2）若DE＝4，BC＝12，求△BCD的面积．
【分析】（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论；
（2）利用角平分线性质得出DE＝DF，再利用三角形面积公式即可求出．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴，
∵∠ABC＝50°，
∴∠DBC＝×50°＝25°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∵∠ACB＝80°，
∴∠DCB＝×80°＝40°，
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣25°﹣40°＝115°；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵DE＝8，
∴DF＝4，
∵BC＝12，
∴△ABC的面积＝×BC×DF＝．
【点评】本题考查了角平分线，三角形内角和定理以及三角形面积，掌握这些知识点是解题的关键．
22．（7分）如图，△ABC中，D为AC边上一点，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠F＝ 30 度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论．
【分析】（1）由CD＝CF，得到∠F＝∠CDF，由垂直的定义得到∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，由余角的性质得到∠B＝∠A，即可证明问题；
（2）由垂直的定义得到∠B＝90°﹣30°＝60°，由（1）知△ABC是等腰三角形，于是证明△ABC是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵CD＝CF，
∴∠F＝∠CDF，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠F＝∠ADE，
∵DE⊥AB，
∴∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：当∠F＝30度时，△ABC是等边三角形
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠F＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
由（1）知△ABC是等腰三角形，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：30．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，余角的性质，关键是由余角的性质证明∠B＝∠A，
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△ACB≌△EBD；
（2）由全等三角形的性质可得BC＝DB＝12，AC＝EB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB，
∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠DEB＝∠A，
在△ACB和△EBD中，
，
∴△ACB≌△EBD（AAS）；
（2）解：∵△ACB≌△EBD，
∴BC＝DB，AC＝EB，
∵E是BC的中点，
∴，
∵DB＝12，BC＝DB，
∴BC＝12，
∴AC＝EB＝BC＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（8分）四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．
（1）若点O在四边形ABCD的内部，
①如图1，若AD∥BC，∠B＝40°，则∠DOE＝ 125 °；
②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．
【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求∠BAE，∠CDO，再根据三角形外角的性质可求∠DOE的度数；
②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的关系，再根据四边形内角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系；
（2）根据四边形和三角形的内角和得到∠BAD+∠ADC＝360°﹣∠B﹣∠C，∠EAD+∠ADO＝180°﹣∠DOE，根据角平分线的定义得到∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，于是得到结论．
【解答】解：（1）①∵AD∥BC，∠B＝40°，
∴∠BAD＝140°，∠ADC＝110°，
∵AE、DO分别平分∠BAD，
∴∠OAD＝70°，∠ADO＝55°，
∴∠DOE＝∠OAD+∠ADO＝70°+55°＝125°
故答案为：125；
②∠B+∠C+2∠DOE＝360°，
理由：∵∠DOE＝∠OAD+∠ADO，
∵AE、DO分别平分∠BAD，
∴2∠DOE＝∠BAD+∠ADC，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC＝360°，
∴∠B+∠C+7∠DOE＝360°；
（2）∠B+∠C＝2∠DOE，
理由：∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣∠B﹣∠C，∠EAD+∠ADO＝180°﹣∠DOE，
∵AE、DO分别平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝8∠ADO，
∴∠BAD+∠ADC＝2（∠EAD+∠ADO），
∴360°﹣∠B﹣∠C＝2（180°﹣∠DOE），
∴∠B+∠C＝3∠DOE．
【点评】此题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和等于360°的知识点．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，AF＝AC，连接EF
（1）若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；
（2）延长AD至点H，使DH＝AD，连接BH；
（3）在（2）的条件下，请直接写出线段EF和线段AD之间的数量关系．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠AEB＝∠ABE＝63°，由三角形内角和定理得出∠EAB＝54°，推出∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，即可得出结果；
（2）证得△BDH≌△CDA得到∠BHD＝∠CAD，进而得到AC∥BH，根据平行线的性质即可证的结论；
（3）证得AC∥BH，由平行线的性质得出∠ABH+∠BAC＝180°，证得∠EAF＝∠ABH，由SAS证得△ABH≌△EAF，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝63°，
∴∠EAB＝54°，
∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，
∴54°+2×45°+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝36°；
（2）证明：∵AD为△ABC 的中线，
∴BD＝CD，
在△BDH和△CDA中．
，
∴△BDH≌△CDA（SAS），
∴∠BHD＝∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC＝180°；
（3）解：EF＝3AD，
由（2）知△BDH≌△CDA，
∴BH＝AC，
∵AC＝AF，
∴AF＝BH，
由（2）知∠ABH+∠BAC＝180°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABH，
在△EAF和△ABH中，
，
∴△EAF≌△ABH（SAS），
∴EF＝AH＝2AD．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．（10分）如图，等边△ABC的边长为7cm，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，点N沿折线BA﹣AC﹣CB向终点B运动，已知点M的速度为1cm/s，当有一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当M、N两点重合时，求出此时t的值；
（2）当点M、N均在边BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若能；若不能，请说明理由；
（3）在点M、N的运动过程中，当以点M、N及△ABC中的某一顶点为顶点构成的三角形是等边三角形时，请直接写出此时t的值．
【分析】（1）设点M、N运动a秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多7cm，列出方程求解即可；
（2）证出△ANC≌△AMB（AAS），由全等三角形的性质可得CN＝BM，则CM＝BN，列出方程，求出t的值即可；
（3）分两种情况：①设点M、N运动t秒后，△AMN是等边三角形；②设点M、N运动t秒后，△CMN是等边三角形；分别列方程求出t的值即可．
【解答】解：（1）由题意，得t+7＝2.4t，
解得，
∴点M、N运动．
（2）由题意，得CM＝（t﹣2）cm，
若△AMN是以MN为底的等腰三角形，则AN＝AM，
∴∠ANC＝∠AMB，
又∵∠B＝∠C，
∴△ANC≌△AMB（AAS），
∴CN＝BM，
∴BC﹣BM＝BC﹣CN，
∴CM＝BN，
∴t﹣7＝21﹣2.8t，
解得t＝8，
∴当点M、N运动8秒时，此时CM＝BN＝2﹣7＝1（cm），
∴MN＝BC﹣CM﹣BN＝6﹣1﹣1＝7（cm）．
（3）分两种情况：
①设点M、N运动t秒后，如图1，
则AM＝tcm，AN＝（7﹣5.5t）（cm），
当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，
即t＝7﹣3.5t，
解得：t＝2，
∴当点M、N运动5秒时，
②设点M、N运动t秒后，如图2，
则AM＝tcm，CN＝（2.4t﹣14）（cm），
当CM＝CN时，△CMN是等边三角形，
即7﹣t＝2.2t﹣14，
解得：t＝6，
∴当点M、N运动6秒时；
综上所述，点M，t为8秒或6秒；
【点评】此题是三角形的综合问题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论．
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