专题12 手拉手模型证相似-【微专题】最新九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题12 手拉手模型证相似

1．如图，且，，、交于点．则下列四个结论中，①；②；③；④、、、四点在同一个圆上，一定成立的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：且，，

，，故②正确；

，

即，故①正确；

，

，，

，

，

，故③正确；

，，

，

，，

即，

，

，

，

，

、、、四点在同一个圆上，故④正确．

故选：．

二．解答题（共15小题）

2．如图，已知．求证：．

【解答】证明：，

，，

，

又，

．

3．如图，在和中，，．

（1）和相似吗？为什么？

（2）如果，则成立，据此你能说明和相似吗？

【解答】解：（1）

；

（2），

．

4．如图，在公共顶点为的与中，直角边，若．求证：．

【解答】证明：如图，设交于，延长交于，连接．

，

，

又，

，

、、、四点共圆，

，

，于，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

5．如图，与有公共的顶点，，，且．点、、分别为、、的中点．

（1）如图1，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由．

【解答】解：（1）．连接、，

，，

，，

，

；

点、、分别为、、的中点，

根据中位线定理可得，，

．

（2）．连接、，

，，

，，

，

，

点、、分别为、、的中点，

根据中位线定理可得，，

即得．

6．为等边三角形，为边上一点，为射线上一点，，，，，．

（1）求证：；

（2），且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的长．

【解答】（1）证明：如图1中，延长到，使得，连接．

，，

，

，

，

是等边三角形，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

．

（2）解：如图2中，取的中点，连接，作于，于．

由（1）可知，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

，，

，

，，

，

是等边三角形，

，

，

设，则，，，

在中，，

，

，

，，

，即，

，

在中，，

，

，

，

在中，，

，

．

7．在和中，，，．、分别为、的中点，连接、．

（1）如图1，当时，的值是 　　，直线与直线相交所成的较小角的度数为 　　；

（2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数；

（3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、、在同一直线上时的值．

【解答】解：（1）如图1，连接，并延长交于，设直线与的交点为，

，，，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

又，

是等边三角形，

，

，

，，

、分别为、的中点，

，，

，，

，

，

，

，

，

故答案为：，；

（2）如图2，连接，并延长交于，设直线与的交点为，过点作于，

，，

，，

，

，

，

，，，

，

，

，，

，，

，

，，

，

、分别为、的中点，

，，

，，

，

，

，

，

，

直线与直线相交所成的较小角的度数为；

（3）如图3，当点在线段上时，连接，，

，点为的中点，

，，

，

，

，

，

，，，

，

，

，，

，，

，

，，

，

、分别为、的中点，

，，

，

又点是中点，

，

，

，

当点在线段上时，同理可求，

综上所述：的值为或．

8．（1）如图①，将绕点旋转任意角度得到△，连接、，证明：．

（2）如图②，四边形和四边形均为正方形，连接，，求的值．

【解答】证明：（1）将绕点旋转任意角度得到△，

，，，

，

，

；

（2）连接和，

四边形和四边形均为正方形，

，，，

则，

，，

．

．

．

9．在中，，，，为边上一点，点，分别在边，上，．

（1）如图1，当为中点时，　　；

（2）如图2，若，求的值．

【解答】解：（1）过点作，垂足为，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

为中点，

，

，，

，

，

，

故答案为：；

（2）过点作，垂足为，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

的值为．

10．已知：点、、在同一条直线上，，线段、交于点．

（1）如图1，若，

①问线段与有怎样的数量关系？并说明理由；

②求的大小（用表示）；

（2）如图2，若，，则线段与的数量关系为 　　，　　（用表示）；

（3）在（2）的条件下，把绕点逆时针旋转，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接并延长交于点．则　　（用表示）．

【解答】解：（1）如图1．

①，理由如下：

，，

，

，

同理可得：，

，

，

即：．

在与中，

，

，

；

②，

，

，

；

（2）如图2．

，，

，

同理可得：，

，

，

即：．

，，

．

在与中，

，，

，

，，

；

，

．

故答案为：，；

（3）如右图．

，，

，

同理可得：，

，即．

，，

．

在与中，

，，

，

，

，，

．

故答案为：．

11．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．

（1）知识理解：

如图1，与互为“旋转位似图形”．

①若，，，则　　；

②若，，，则　　

（2）知识运用：

如图2，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”．

（3）拓展提高：

如图3，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”．若，，求的值．

【解答】解：（1）①和互为“旋转位似图形”，

，

，

又，，

；

②，

，

，，，

，

，

故答案为：；；

（2），，

，

，即，

又，

，

，

又，，

，

，

，

绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形，

和互为“旋转位似图形”；

 （3），

由题意得：，

，

，

，

，

，

由勾股定理可得，

，

．

12．（1）问题发现

（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．

填空：①的度数是　　；②线段，之间的数量关系为　　；

（2）类比探究

如图2，和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点．请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕着点在平面内旋转，请直接写出直线经过点时，点到直线的距离．

【解答】解：（1）如图1中，

和均为等边三角形，

，，，

，

，

，，

设交于点．

，

，

，

故答案为，．

（2）结论：，．

理由：如图2中，

，，，

，，

，

，，

，

．

（3）如图3中，

，

，，，四点共圆，

，，

，

，

，

，

，

在中，，，

，

，

，

，

，

点到直线的距离等于．

如图4中，当，在同一直线上时，同法可知，，

点到直线的距离等于．

综上所述，点到直线的距离等于．

13．如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．

（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 　是　（填“是”或“不是” “旋转位似图形”；

如图1，和互为“旋转位似图形”，

①若，，，则　　；

②若，，，则　　；

（2）知识运用：

如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”；

（3）拓展提高：

如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值．

【解答】解：（1）两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”；

①和互为“旋转位似图形”，

，

，

又，，

；

②，

，

，，，

，

，

故答案为：是；；；

（2）证明：，，

，

，即，

又，

，

，

又，，

，

，

和互为“旋转位似图形”；

（3），

，，

，，

，，代入求得：．

如图3，过作于，

，，

，

，

，

，

，

，

，

根据勾股定理，得；

综上，，．

14．已知正方形，动点在上运动，过点作射线于点，连接．

（1）如图1，在上取一点，使，连接，求证：；

（2）如图2，点在延长线上，求证：；

（3）如图3，若把正方形改为矩形，且，其他条件不变，请猜想，和的数量关系，直接写出结论，不必证明．

【解答】（1）证明：四边形是正方形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）证明：如图2，

过点作交的延长线于，

，

四边形是正方形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

；

（3）解：；

证明：如图3，

过点作交于，

，

四边形是矩形，

，

，

同（1）的方法得，，

，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，，

在中，根据勾股定理得，，

，

，

．

15．（1）问题发现：

如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．

①线段，之间的数量关系为　　；

②的度数为　　．

（2）拓展探究：

如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数；

（3）解决问题：

如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离．

【解答】解：（1）①和均为等边三角形，

，，，

，

，

在和中，

，

，

；

②，

，

，

，

；

故答案为：①，②；

（2）和均为等腰直角三角形，

，，，

，即，

，

，，

，

，

，

，

故，；

（3）点满足，

点在以为圆心，为半径的圆上，

，

点在以为直径的圆上，

如图3，点是两圆的交点，若点在上方，连接，过点作于，过点作于，

，

，

，

，

，，

，四边形是矩形，

，

在和中，

，

，

，，

，

，，

，

在中，，

即，

解得：或．

点到直线的距离为或．

16．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且．

（1）观察猜想

小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时，

①的值为 　　；

②的度数为 　　度；

（2）类比探究

如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，，设的延长线交于点，请求出的值及的度数，并说明理由．

（3）拓展延伸

若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．

【解答】解：（1）如图（2）中，设交于点．

，都是等腰直角三角形，

，，，

，，

，

，，

，

，

故答案为：，45．

（2）如图（3）中，设交于点．

，都是等腰直角三角形，

，，，

，，

，

，，

，

，

，．

（3）如图（4）中，当于时，

，，，

，

，

，

，

，

，

．

如图（4）中，当时，延长交于．

同法可得，，，

，