专题03 反比例函数与一次函数综合三类型-【微专题】最新九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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专题03 反比例函数与一次函数综合三类型
类型一 反比例函数与一次函数图像综合判断
1．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．

（1）求k的值；
（2）求COD的面积；
（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．
【答案】（1）；（2）4；（3）或
【分析】（1）把A点坐标代入中，即求出b的值，即可得出一次函数的表达式．再把C(1，m)、D(n，-1)代入一次函数表达式，即求出C、D的坐标，最后把C点坐标代入，求出k即可；
（2）直接利用，即可求出结果；
（3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，，再结合点C、点D的坐标和图象即可得出结果．
【详解】解：（1）∵点在直线上，
∴，即，
∴直线的解析式为．
∵点和点在直线上，
∴，，
解得：，，
∴，，
又∵在反比例函数上，
∴，
解得：．
（2）∵，
∴，
∴．
（3）要使，即反比例函数图象在一次函数图象上方即可，即或时．
【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键．
2．如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．

(1)求直线和反比例函数的表达式；
(2)连接OC，在x轴上找一点P，使S△POC＝2S△AOC，请求出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)（8,0）或（-8,0）

【分析】（1）用待定系数法直接求表达式即可．
（2）先求出△AOC的面积，再求出△POC，根据三角形的面积公式求解即可．
（1）
解：将A（4，0）B（0，﹣2）代入y＝ax＋b得：

解得：
∴直线的表达式为：
点C（6，m）在直线上
∴k=6m=6
∴反比例函数的表达式为：．
（2）
解：设P点坐标为：（p，0）
S△AOC= =
∵S△POC＝2S△AOC
∴=
∴=8
∴P点坐标为（8,0）或（-8,0）．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出一次函数与反比例函数的表达式是解题的关键．
3．如图，一次函数（为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象相交于，两点．

(1)求的值；
(2)若一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）由待定系数法求出反比例函数的解析式，再由B点坐标计算求值即可；
（2）根据函数图象交点的意义，利用一次函数和反比例函数构建一元二次方程，令，求得m的值．
（1）
解：由题意得：
，
解得，，
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
把点代入可得：．
（2）
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点，
∴只有一个解，
，
令，
解得或，
故当或时，一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点；
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根的判别式等，掌握函数的交点跟方程解的关系是解题关键．
4．一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(4，1)．

(1)画出反比例函数y＝的图象，并写出﹣x+3＞的x取值范围；
(2)将y＝﹣x+3沿y轴平移n个单位后得到直线l，当l与反比例函数的图象只有一个交点时，求n的值．
【答案】(1)函数图象见解析，x取值范围是x＜0或2＜x＜4
(2)n的值为﹣

【分析】（1）将交点坐标代入反比例函数解析式即可求得，图像如图所示；不等式为一次函数函数值大于反比例函数值的解集，依据图像求解即可；
（2）首先表示出直线l的解析式，l与反比例函数图像只有一个交点时，得，整理后得二次方程，令判根公式为0即可求出n的值．
（1）
解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A（4，1）
∴m＝4×1＝4
∴反比例函数为；
由
解得或，
∴一次函数的图像与反比例函数的图像的交点为、；
反比例函数的图像如图：

由图像可知，的x取值范围是或；
（2）
解：将沿y轴平移n个单位后得到直线l为
由题意知，令，整理得
当l与反比例函数的图像只有一个交点时,
则
解得
∴当l与反比例函数的图像只有一个交点时，则n的值为．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的综合．解题的关键在于了解不等式的意义，一次函数平移后解析式的表达，将交点转化为二次方程根的个数．易错点在于求解集时落解．
5．如图：一次函数的图象与反比例函数的图象交于和点．

（1）求点的坐标；
（2）根据图象回答，当在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）先根据点的坐标可得反比例函数的解析式，再将点的坐标代入计算即可得；
（2）结合点的坐标，根据一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得．
【详解】解：（1）将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则点的坐标为；
（2）一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，
或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．
6．如图，已知双曲线y＝与直线y＝mx+5都经过点A（1，4）．
（1）求双曲线和直线的表达式；
（2）将直线y＝mx+5沿y轴向下平移n个单位长度，使平移后的图象与双曲线y＝有且只有一个交点，求n的值．

【答案】（1）双曲线的表达式是：y＝，直线的表达式是y＝﹣x+5；（2）n＝1或9
【分析】（1）把点A的坐标分别代入可得两个表达式；
（2）设向下平移后的表达式为：y＝mx＋5−n，联立方程组可得n的值．
【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝得k＝4，
把A（1，4）代入y＝mx+5得m＝﹣1，
∴双曲线的表达式是：y＝，直线的表达式是y＝﹣x+5；
（2）设平移后直线的表达式为：y＝﹣x+5﹣n，
联立反比例表达式为，得到
∴
当有且只有一个交点时，Δ＝0，
即△＝（5﹣n）2﹣16＝0，
解得n＝1或9．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．
类型二 反比例函数与一次函数的交点问题
7．如图所示，平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点A，B，与曲线分别交于点C，D，作CE轴于点E，已知OA=4，OE=OB=2．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)在轴上存在一点P，使，请求出P的坐标．
【答案】(1)
(2)P点的坐标为(0，)或(0，)

【分析】（1）根据题意可知A(-4，0)，B(0，2)，E(2，0)．即可利用待定系数法求出直线的表达式为．由CE，可知．根据点C在直线的图象上，即可求出C点坐标，再次利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）根据题意可求出，从而可求出．设P(0，a)，则，即得出，解出a即得出答案．
（1）
由题意可知A(-4，0)，B(0，2)，E(2，0)．
将A(-4，0)，B(0，2)代入，得，
解得：，
∴．
∵CE，
∴，代入，得：，
∴C(2，3)．
∵点C在的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为；
（2）
根据题意可求，
∴，
∴．
设P(0，a)，
则，
∵，
∴，
解得：或．
∴P点的坐标为(0，)或(0，)．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题．在解（2）时根据所设P点坐标，利用绝对值表示出BP的长度是关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.

(1)求双曲线的解析式：
(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值
(3)求线段OQ长度的最大值.
【答案】(1)
(2)或
(3)

【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）由题意得平移后的直线解析式为，如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先证明O、C、D三点共线，求出OD=DH，OH的长即为m的值，据此求解即可；
（2）如图所示，连接PB，PC，BC，证明OQ是△PAB的中位线，把求OQ的最大值转化成求PB的最大值，即转化成求圆外一点到圆上一点距离的最大值，由此求解即可．
（1）
解：∵点A（1，a）在直线y=x上，
∴a=1，
∴点A的坐标为（1，1），
∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）
解：由题意得平移后的直线解析式为，
如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，
∴点H的坐标为（0，m）
∴OH=m，
∵点C（-2，2），
∴CE=OE=2，
∴∠COE=45°，
∴∠DOH=45°，
同理可证∠BOE=45°，
∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB，
∵直线与直线AB平行，
∴OC与直线垂直，
又∵直线与圆C相切于点C，
∴CD与直线垂直，
∴C、O、D三点共线，
∵圆C的半径为1，
∴，
∵∠ODH=90°，∠DOH=45°，
∴∠DHO=45°，
∴，
∴，
∴
同理当切点D在圆O上方时可以求得，
综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或；

（3）
解：如图所示，连接PB，PC，BC，
由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点，
∴点B的坐标为（-1，-1），
∵Q是AP的中点，
∴OQ是△APB的中位线，
∴，
∴要想OQ最大，则PB最大，
∵，
∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，
∵点C（-2，2），点B（-1，-1），
∴，
∴，
∴

【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2．

(1)求k和b的值；
(2)将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝（k＜0）的图象上，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)点C′在函数y＝（k＜0）的图象上，证明见解析

【分析】（1）将代入可求出的值；将代入可求出的值；
（2）由一次函数的解析式求出点坐标为．根据与的面积比为，得出为中点，利用中点坐标公式求出点坐标为．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．根据证明△，得出，，又在第二象限，得出，进而判断点是落在函数的图象上．
（1）
解：将代入，
得，，
，
将代入，
得，，
解得，，
故所求和的值分别为，5；
（2）
点是落在函数的图象上．理由如下：
，
时，，解得，
．
与的面积比为，
为中点，
，，
．
如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．
将绕点逆时针旋转，得到△，
，，．
．
在△与中，
，
△，
，，
在第二象限，
，
点是落在函数的图象上．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握．
10．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）
（1）求b、k、m的值；
（2）根据图象直接写出-x+b< （x> 0）的解集；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．

【答案】（1）b=5、k=4、m=1；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）S最大=；S最小=2
【分析】（1）根据反比例函数和一次函数图像上的点的特征代入解析式即可求得的值；
（2）根据函数图象的交点直接写出直线在双曲线下方时，自变量的范围即可；
（3）
【详解】（1）一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）

解得，


解得
，，
（2）一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x> 0）的图象交于点
-x+b< 的解集为或
（3）依题意，设的坐标为，
则



当    时，最大，
当或时，S最小=2
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质求最值，掌握以上知识是解题的关键．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，函数．

(1)当函数的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．
(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组（m