专题06 反比例函数中的平行四边形-【微专题】最新九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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专题06 反比例函数中的平行四边形
1．如图，在第一象限内，A是反比例函数图象上的任意一点，AB平行于y轴交反比例函数的图象于点B，作以AB为边的平行四边形ABCD，其顶点C，D在y轴上，若，则这两个反比例函数可能是（    ）

A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】设A（a，），B（a，），然后求出AB的长，进而求得CD的长，然后根据求得a的值，进而确定k1-k2=7，最后结合选项即可解答．
【详解】解：设A（a，），B（a，），k1＞0、k2＜0，
∴AB=-=，
∵平行四边形ABCD，
∴CD=AB=，
∵，
∴CD·a=7，即·a=7，
∴=7，
结合选项可得B选项符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、平行四边形的性质等知识点，求出=7是解答本题的关键．
2．如图，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点，，若点、点、点的坐标分别为，，，且，则的值是____．

【答案】9
【分析】根据平移和平行四边形的性质将点D也用a、b表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出a、b，再由点坐标求出k的值．
【详解】解：∵，，
∴A可以看作由B向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，
根据平行四边形的性质，D也可以看作由C向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，
∵，∴，
∵，
∴，，
∵C、D都在反比例函数图象上，
∴它们横纵坐标的乘积相等，即，解得，
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图像上一点，点B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作平行四边形ABCO，若点C和BC的中点D都在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，则k的值是___________．

【答案】
【分析】作轴，轴，轴，证，设，则，；因为轴，D是BC的中点，由即可求解；
【详解】解：∵作轴，轴，轴，

∵四边形ABCO是平行四边形，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，，；
∵轴，D是BC的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
都答案为：-8．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、三角形的全等、平行四边形的性质、中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
4．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象，点，点与点均在反比例函数的图象上，点在直线上，四边形是平行四边形，则点的坐标为__．

【答案】（，）
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标性质得出点坐标，再利用平行四边形的性质假设出点坐标，进而表示出点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案．
【详解】解：反比例函数过点，
，
反比例函数解析式为：，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
，
点在直线上，
设点坐标为：，
点，，
点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到点，
四边形是平行四边形，
点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到点，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：（负数不合题意），
故点坐标为：（，）．
【点睛】本题考查了反比例函数综合及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出点坐标是解题的关键．
5．如图，分别过反比例函数图像上的点P1（1，y1），P2（1+2，y2），P3（1+2+3，y3），．．．，Pn（1+2+3+．．．+n，yn）作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，．．．，An，连接A1P2，A2P3，A3P4，．．．，An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，以此类推，则B2的纵坐标是__________；点B1，B2，．．．，Bn的纵坐标之和为__________．

【答案】         
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3，据此可以推知点Bn的纵坐标是，再求和整理即可．
【详解】∵点P1(1，y1)，P2(1+2，y2)在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，
∴ ,
∴点B1的纵坐标是：．
∵点P3(1+2+3，y3) 在反比例函数的图象上，
∴,
∴点B2的纵坐标是：．
∵点P4(1+2+3+4，y4) 在反比例函数的图象上，
∴,
∴点B3的纵坐标是：．
…
∴点Bn的纵坐标是：


∴点B1，B2，．．．，Bn的纵坐标之和为



．
故答案为，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn的纵坐标为yn+1+yn．

三、解答题(共0分)
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与双曲线y=-交于点M（-4，m）、N（n，-4），与x轴交于A．

(1)求k、b的值；
(2)①将直线y=kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线；
②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
【答案】(1)k=-1，b=-2；
(2)①作图见解析 ；②点P坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．

【分析】（1）先求出点M和点N的坐标，再待定系数法求解析式即可；
（2）①根据平移的性质可得平移后的直线解析式，进一步求出点B和点C坐标，即可画出平移后的直线；
②分情况讨论：当CA，CB为边时，当BC，BA为边时，当AC，AB为边时，分别根据平行四边形的性质即可求出点P坐标．
（1）
解：把x=-4，y=m代入y=-中，得m=-=2，
∴点M（-4，2），
把x=n，y=-4代入y=-中，得n=-=2，
∴点N（2，-4），
∴将点M（-4，2），点N（2，-4）代入y=kx+b中，
得，
解得，
∴k=-1，b=-2；
（2）
解：①由（1）知直线MN的解析式为y=-x-2，
将直线y=-x-2向上平移4个单位，得y=-x+2，
当x=0时，y=2，
∴点C坐标为（0，2），
当y=-x+2=0时，x=2，
∴点B坐标为（2，0），
平移后的直线如图所示：

②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
直线MN与x轴的交点A的坐标为（-2，0），
分情况讨论：
当CA，CB为边时，且AP=CB，
∵点C（0，2）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点A（-2，0），
∴点B（2，0）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点P（0，-2），
点P坐标为（0，-2）；
当BC，BA为边时，且AP=CB，
同理可得点P坐标为（-4，2）；
当AC，AB为边，且AC=BP，
同理可得点P坐标为（4，2），
综上，满足条件的点P坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，平移的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．
7．综合与探究
如图，已知，，，，为点关于的对称点，反比例函数的图象经过点．

(1)证明四边形为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)已知在的图象（）上有一点，轴正半轴上有一点，且四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)

【分析】（1）由A（0,4），B（-3,0），C（2,0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；
（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；
（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．
（1）证明：∵，，，∴，，，∴，，∴，∵为点关于的对称点，∴，，∴，∴四边形为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y=的图象经过D点，∴4=，∴k=20，∴反比例函数的解析式为：；
（3）∵四边形是平行四边形，∴，，∴是经过平移得到的，∵将B点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点，∴将M先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点，∵M点在y轴正半轴，∴M点的横坐标为0，∴即根据平移可知点的横坐标为3，代入，得，即N点坐标为，∴根据平移的路径可知点的纵坐标为：，∴点的坐标为．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的性质．注意掌握坐标与图形的关系是关键．
8．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为．    
（1）直接写出反比例函数的解析式；
（2）过点作轴，垂足为点，设点在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于，请求出点的坐标；
（3）设M是直线AB上一动点，过点M作MN//x轴，交反比例函数的图象于点N，若以B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）反比例函数的表达式为 ；（2）P（3，2） 或 P（－3，－2）；（3）点M点坐标为：；；；
【分析】（1）先将点A（2，m）代入反比例函数求得A的坐标，然后代入，求得k的值即可；
（2）可求得点B的坐标，设P（x，y），由S△PBC＝6，即可求得x，y的值；
（3）设M（2y-4,y）,N(,y)，根据平行四边形的性质可得，解出y即可求解．
【详解】（1）∵一次函数的图象经过点A（2，m），
∴m＝3．
∴点A的坐标为（2，3）．
∵反比例函数的图象经过点A（2，3），
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为．
（2）令x＋2＝0，解得x＝−4，即B（−4，0）．
∵AC⊥x轴，
∴C（2，0）．
∴BC＝6．
设P（x，y），
∵S△PBC＝•BC•|y|＝6，
∴y1＝2或y2＝−2．
分别代入中，
得x1＝3或x2＝−3．
∴P（3，2）或P（−3，−2）．
（3）∵MN∥OB,故M,N的纵坐标相同，
∵M是直线AB上一动点，N在反比例函数的图象上，
设M（2y-4,y）,N(,y)，
依题意可得
当时，
解得y1=2+,y2=2-,
∴；
当时，
解得y1=，y2=-,
∴；
综上，点M点坐标为：；；；．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用平行四边形的性质及待定系数法求解析式是解此题的关键．
9．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接OA、OB，求的面积；
(3)直线a经过点且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．
【答案】(1)反比例函数解析为y=，一次函数解析式为y=-2x+8
(2)8
(3)M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（-2，1），N（0，-3）

【分析】（1）由A点坐标可求得m的值，可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）设直线AB与x轴交于点D，求出D点的坐标，分别求出△AOD和△BOD的面积，即可确定△AOB的面积；
（3）设M（m，1），N（0，n），分三种情况讨论，AB、AM、AN分别为平行四边形的对角线，列出相应方程式解得即可．
（1）
解：∵反比例函数y=的图像过A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函数解析为y=，
把x=3代入可得n=2，
∴B（3，2），
设直线AB解析式为，
把A、B坐标代入可得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）
解：设直线AB与x轴的交点为D，
令y=0，得-2x+8=0，
解得x=4，
∴D（4，0），
∴，，
∴；

（3）
解：点M在直线a上，点N在y轴上，
设M（m，1），N（0，n），
①当AB为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴M（4，1），N（0，7）；
②当AM为为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴M（2，1），N（0，5）；
③当AN为为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴M（-2，1），N（0，-3）；
综上所述，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（-2，1），N（0，-3）．
【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图像与x轴交点、平行四边形的性质、方程思想及数形结合思想等知识，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中注意数形结合，在（3）中确定出M、N的位置是解题的关键．
10．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．

(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或

【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案．
（1）
解：把代入一次函数，得，
解得，
，
把代入反比例函数，得，
，
反比例函数的表达式为；
（2）
解：令，解得或，
当时，，即，
当时，，
，
；
（3）
解：存在，理由如下：
当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即；
当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；
综上，P点坐标为或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
11．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点．

(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点的坐标为：，，

【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；
（2）利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质结合当AP∥OC且AP=OC时，当AP′∥OC且AP′=OC时，当AO∥P″C，且AO=P″C时，分别得出答案．
（1）
∵点在反比例函数的图象上，
，解得：，
∴反比例函数的表达式是：；
在反比例函数的图象上，
，
，
将点，代入，可得：，
解得：，
∴一次函数表达式是：；
（2）
由（1）知，直线的解析式为，则，，
；
（3）
如图所示：

当且时，则，
，
点坐标为；
当且时，则，
，
点坐标为：；
当，且时，则点与到轴距离相等，且点横坐标为，
点坐标为：
综上所述：点的坐标为：，，．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝2x﹣4（k≠0）的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．

(1)求A、B的坐标．
(2)当x为何值时，2x﹣4＞？
(3)如图，将直线AB向上平移与反比例函数y＝的图象交于点C、D，顺次连接点A、B、C、D，若四边形ABCD是平行四边形，求S四边形ABCD的值．
【答案】(1)点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣6）、（3，2）
(2)x＞3或﹣1＜x＜0
(3)32

【分析】（1）联立y1=2x-4（k≠0）和y2=，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）当四边形ABCD是平行四边形，则（xA-xB）2=（xC-xD）2，求出直线AB平移的距离为8，由S四边形ABCD=AB•EH，即可求解．
（1）
解：联立y1＝2x﹣4（k≠0）和y2＝，得
，
解得：或，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣6）、（3，2）；
（2）
解：由图象得，当x>3或﹣1；
（3）
设直线AB向上平移了m个单位得到直线CD，
则直线CD的表达式为y＝2x﹣4+m②，
联立①②并整理得：2x2+（m﹣4）x﹣6＝0，
∴x1+x2＝（4﹣m），x1x2＝﹣3，
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝+12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
故（xA﹣xB）2＝（3+1）2＝（xC﹣xD）2＝（x1﹣x2）2＝+12，
解得m＝0（舍去）或8，
即直线AB平移的距离为8，
设直线AB交y轴于点E，过点E作EH⊥CD于点H，直线CD交y轴于点F，

则FE＝m＝8，
由直线CD的表达式知，tan∠HFE＝，则sin∠HFE＝，
在Rt△EHF中，EH＝EFsin∠HFE＝×8＝，
∴S四边形ABCD＝AB•EH＝×＝32．
【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、解直角三角形、图形的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A和B（-2，n），与y轴交于点C．

(1)求反比例函数解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P作PDy轴，交线段AB于点D，是否存在点P使得四边形DPOC为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，（，）

【分析】（1）将点B（−2，n）代入y＝x＋1得点B的坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）由四边形DPOC为平行四边形，得PD＝OC，设P（m，），表示出点D的坐标，求出PD的长度，即可解决问题．
（1）
解：由题意知，点B在一次函数的图象上，
∴，
∴点B坐标为（-2，-1），
代入反比例函数解析式可得，
∴反比例函数解析式为；
（2）
解：存在，
理由如下：由可知，点C坐标为（0，1），
设点P坐标为（，），
∵PDy轴，且
D在线段AB上，
∴点D坐标为（，），
∴PD＝，
∵四边形DPOC为平行四边形，
∴PD＝OC＝1，即，
解得，
∵点P在第三象限，
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，用m的代数式表示PD的长度是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．
（1）写出点A，B的坐标为：A（　 　 　，　 　），B（　 　 　，　 　）
（2）求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；
（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．

【答案】（1）−2，0；2，2；（2）0＜x＜2或x＜−4；（3）（2，0），（−2，0），（−2＋2，0），（−2−2，0）．
【分析】（1）首先求出一次函数与坐标轴的交点，进而利用相似三角形的判定与性质得出B点坐标，进而得出答案；
（2）首先求出反比例函数解析式，进而得出D点坐标，再利用函数图象得出x的取值范围；
（3）利用平行四边形的性质，进而表示出MN的长，再解方程得出a的值，即可得出P点坐标．
【详解】解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，

∵一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝−2，
故A（−2，0），C（0，1），
∵CO⊥x轴于点O，BE⊥x轴于点E，
∴COBE，
∴△AOC∽△AEB，
∵AC＝BC，
∴AO＝OE＝2，
即B点横坐标为：2，
则y＝×2＋1＝2，
故B（2，2）；
故答案为：−2，0；2，2；
（2）∵B（2，2），
∴把B点代入y＝（k≠0），
解得：xy＝4，
即y＝，
将y＝x＋1与y＝联立可得：x＋1=
解得x1＝2，x2＝−4，则y1＝2，y2＝−1，
故D点坐标为：（−4，−1），
如图1所示：当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围为：0＜x＜2或x＜−4；
（3）如图2，由题意可得：COMN，只有CO＝MN时，O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
当P点在B点右侧或D点右侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a＋1），
故MN＝a＋1−＝CO＝1，
解得：a＝±2，
当P点在B点左侧或D点左侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a＋1），
故MN＝−（a＋1）＝CO＝1，
解得：a＝−2＋2或−2−2，
综上所述：P点坐标为：（2，0），（−2，0），（−2＋2，0），（−2−2，0）．

【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法等知识，正确表示MN的长是解题关键．
15．如图1，菱形顶点在轴上，顶点在反比例函数上，边交轴于点，轴，，．

(1)求．
(2)如图2，延长交轴于点，问是否在该反比例函数上存在的点，坐标轴上的点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)k＝；
(2)Q点坐标为（−3，0），（7，0），（0，4）或（0，）．

【分析】（1）设EC＝x，则AE＝2EC＝2x，根据菱形的性质，得AB＝5，BE＝5−x，在Rt△ABE中用勾股定理求出EC＝2，AE＝4，表示出点C、D的坐标，列方程−＝4即可求出k；
（2）先求出直线AB的解析式，得F点坐标，设P点坐标（m，），分情况讨论：①Q在x轴上，设为（n，0），②Q在y轴上，设为（0，n），根据平行四边形对角线互相平分列式求出n，即可得到点Q坐标．
(1)
解：设EC＝x，则AE＝2EC＝2x，
在菱形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝5，则BE＝5−x，
∵AD∥x轴，
∴BC∥x轴，
∴AE⊥BC，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
∴EC＝2，AE＝4，
∴C（2，），D（5，），
∴−＝4，
解得：k＝；
(2)
∵k＝，
∴C（2，−），D（5，−），
∴A（0，−），B（−3，−），
设直线AB的解析式：y＝kx＋b，
代入A，B点坐标，得
，
解得：
，
∴直线AB的解析式：．
当时，x＝2，
∴F（2，0），
设P（m，），存在以A、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵Q在坐标轴上，
①Q在x轴上，设Q（n，0），
当AF，PQ为对角线时，2＝m＋n，−＝，
解得：，
∴Q（−3，0），
当AP，FQ为对角线时，得m＝n＋2，−＝0，
解得：（舍），
当AQ，FP为对角线，得n＝m＋2，−＝，
解得：，
∴Q（7，0）；
②当Q在y轴上，设Q（0，n），
当AF，PQ为对角线时，m＝2，−＝n，
解得：，
∴Q（0，4），
当AP，FQ为对角线时，得m＝2，−＝n，
解得：，
∴Q（0，），
当AQ，FP为对角线，得m＋2＝0，＝n−，
解得：（舍），
综上，Q点坐标为（−3，0），（7，0），（0，4）或（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式、平行四边形的性质以及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，连接、．

(1)求反比例函数（）的表达式；
(2)求△的面积；
(3)点为坐标轴上一点，点为的图像上一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，．

【分析】(1)根据一次函数求出A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可解决问题；
(2)把点代入反比例函数中求出点B坐标，根据计算即可；
(3)分四种情况：正确画图，根据平行四边形的性质和反比例函数上点的坐标可解答．
（1）
∵点在一次函数的图像上，
∴，
∴，
∵在反比例函数的图像上，
把代入，得，得，
∴反比例函数的解析式是．
（2）
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴，
令，得，，
∴，
．
（3）
①如图，四边形是平行四边形，
轴，，
，，
，
．
②如图，四边形是平行四边形，
．
③如图，四边形是平行四边形，
，
，，
．
④如图，四边形是平行四边形，
同理得：，
．
综上，点N的坐标为或或或．

【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法、三角形的面积、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点．

(1)与的数量关系是（   ）
A．            B．            C．            D．
(2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转90°，恰好与点重合．
①求点的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_________；
(3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A
(2)①，；②8
(3)存在，，

【分析】（1）将点的坐标代入函数解析数即可求得m，n的数量关系．
（2）①过点作轴于点，过点作轴于点，证得，得到等边，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式；
②借助割补法求面积，将的面积补全在五边形中，利用“大-小”求得面积．
（3）将AB边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得M坐标．
(1)
将点，分别代入，
得，


故选A．
(2)
①由（1）得：，，设
过点A作轴于点，过点B作轴于点
∴
∴
∴
∵
∴
∴
即
∴
∴，
∴反比例函数的表达式为

②如图，作轴，轴，轴，
由①知，，


则



综上所述，的面积为8．
故答案为：8．

(3)
，
图解：①为边


即：


②为对角线


即：


【点睛】本题考查反比例函数的图像及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用．
18．如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为．

（1）若点的坐标为．
①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______；
②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标；
（2）连接、．
①当时，求的长度；
②如图2，试证明的面积是个定值．
【答案】（1）①(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；②D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；（2）①；②见详解
【分析】（1）①把x＝2代入中，求得C点的纵坐标，进而得C点坐标，把y＝4代入中，求得B点的横坐标，进而得B点坐标，再用待定系数法求得BC的解析式；
②设D（m，0），E（0，n），显然BC为平行四边形的对角线时不存在，则BC必为平行四边形的边，分别两种情况BE∥CD或BD∥CE，求出结果便可；
（2）①设M（m，），则B（，），C（m，），由OB＝OC列出方程求得m2，由两点距离公式求得OB；②延长MC与x轴交于点A，设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），根据梯形面积公式和三角形的面积公式计算便可得答案．
【详解】解：（1）①∵点M的坐标为（2，4），BM∥x轴，CM∥y轴，
∴xC＝2，yB＝4，
把y＝4代入中，得x＝1，
∴B(1，4)，
把x＝2代入中，得y＝2，
∴C（2，2），
把B、C的坐标都代入y＝kx＋b中，得，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝−2x＋6．
故答案为：(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；
②设D（m，0），E（0，n），
当四边形BEDC为平行四边形时，
∵B(1，4)，C（2，2），BE∥CD，BE＝CD，
∴1−0＝2−m，4−n＝2−0，
∴m＝1，n＝2，
∴D(1，0)，E(0，2)，
当四边形BDEC为平行四边形时，
∵B(1，4)，C（2，2），BD∥CE，BD＝CE，
∴1−m＝2−0，4−0＝2−n，
∴m＝−1，n＝−2，
∴D（−1，0），E（0，2），
综上所述：D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；
（2）①设M（m，），则B（，），C（m，），
∵OB＝OC，
∴OB2＝OC2，
∴()2＋()2＝m2＋()2，解得，m2＝8，
∴OB＝；
②延长MC与x轴交于点A，

设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），
∴BM＝，MA＝，AC＝，CM＝，OA＝m，
∴S△OBC＝S梯形OAMB−S△BCM−S△OAC
＝(＋m)• −ו−m•＝3，
∴△BOC的面积是个定值．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与性质，一次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，关键在于分情况讨论，数形结合正确根据点的坐标特点表示线段长度．