2.4 圆与方程-(人教A版2019选择性必修第一册) (学生版+教师版)

圆与方程

1 圆的定义

平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.

2 圆的方程

标准方程

，圆心，半径为.

一般方程

求圆方程的方法

待定系数法

先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出；

直接法

直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.

3 点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为，圆半径为，

   .点在圆内； .点在圆上；  点在圆外.

给定点及圆

       在圆内；  

       在圆上；

       在圆外.

某点到圆上点的距离

若点在圆内，则，；

若点在圆外，则，；

4 直线、圆的位置关系

三种位置关系

根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径.)

       相离没有公共点 ;

       相切只有一个公共点

       相交有两个公共点

联立方程求判别式的方法

联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断：

       当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交；

       当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切；

       当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.

圆上一点到圆外一直线的距离

若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离，

为圆半径，则，.

5 弦长

弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离).

利用垂径定理及勾股定理可以得到.

【题型一】求圆的方程

【典题1】 若圆过点，且圆心到直线的距离为，求圆的标准方程.

【解析】方法一 几何法

圆过点，圆心的纵坐标为，(画图很容易看得出来)

则设圆心为，

则，或，

当时，；当时，；

圆的标准方程为或.

方法二 待定系数法

设圆的方程为，

则，解得或  (消元求解)

圆的标准方程为或.

【典题2】 已知，，，则过这三点的圆方程为        .

【解析】方法一 待定系数法

设圆的一般方程为，(设为标准方程也可以)

又由圆过，，三点，

则有，解得，，，

则圆的标准方程为，即.

方法二 几何法

圆心是直线的垂直平分线的交点，(根据外心的定义)

易得直线的垂直平分线分别为，，

由，解得，即圆心，

半径，(半径为圆心到任一点的距离)

故圆的标准方程为.

【点拨】求三角形外接圆的方程，可用待定系数法，也可以用三边的中垂线求解.

待定系数法的想法简单但计算量较大.

巩固练习

1(★) 已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝       .

【解析】圆的圆心是坐标原点，半径为，

设关于直线的对称点为，

则，解得，

则点关于直线对称的点的坐标为，

所以圆关于直线对称的圆的方程为，

化为一般式为，

所以，即．

2(★) 圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为的圆的方程为       . 

【答案】 或  

【解析】画出圆满足题中的条件，有两个位置，

当圆心在第一象限时，过作轴，又，

根据垂径定理得到点为弦的中点，则，由点在直线上，

得到圆心的坐标为，且半径，

则圆的标准方程为：；

当圆心在第三象限时，过作轴，又，

根据垂径定理得到点为弦的中点，则，由点在直线上，

得到圆心的坐标为，且半径，

则圆的标准方程为：，

综上，满足题意的圆的方程为：或．

3(★) 过点，，且圆心在直线上的圆的半径是       .

【答案】   

【解析】设圆的标准方程为，

因为圆过点，且圆心在直线上，

则有，解得，

所以圆的半径是．

【题型二】点与圆的位置关系

【典题1】 若点的坐标是，圆的方程为，则点与圆的位置关系是(　　)

A．点在圆内 B．点在圆上 

C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外

【解析】点的坐标是，

，

点与圆的位置关系是点在圆内或圆上，

故选：．

【点拨】判定点到圆的位置，方法有两种，①求，与半径比较大小；②把点代入圆的方程，得到其值与的大小比较.

【典题2】 若实数满足，则的最大值是       .

【解析】方法1 几何法

即，

它表示一个圆心，半径的圆，

而

表示圆上的点与原点之间的距离，

(则本题就是求原点到圆上点距离的最大值)

结合图形知，，

即的最大值是．

方法2 三角代换法

即，

设，，

则

而   (由辅助角公式可得)

的最小值为.

【点拨】 方法是从几何的角度入手，确定方程为圆的方程，根据两点距离公式确定是线段的长度，则问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题.方法是三角代换法，圆的参数方程为，它是求最值问题的一大技巧.

巩固练习

1(★) 若点在圆：内，则实数的取值范围为     ．

【答案】  

【解析】点在圆：内，

，

即，则．

的取值范围是．

2(★) 在圆上与点距离最大的点的坐标是　　    ．

【答案】     

【解析】，点在圆外

圆上与点距离最远的点，在圆心与点连线上，且与点分别在圆心两侧令直线解析式：，

由于直线通过点，可得直线解析式：，

与圆的方程联立，可得，或

交点坐标为和，其中距离点较大的一个点为

3(★★) 在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是　　    ．

【答案】    

【解析】由圆，得圆心坐标，半径为，

关于轴的对称点为，

它爬到的最短路程是 最短距离为，

4(★★) 已知点在圆上，则的最大值为　　    ．

【答案】      

【解析】表示点与点的距离，

点在圆上，

的最大值为，

5(★★) 已知点，若圆：上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是　　    ． 

【答案】 

【解析】设，的中点，由已知有，

解得，即的中点的轨迹为圆，

又线段的中点也在圆上，

两圆有公共点，，

解得：，

6(★★) 设点若圆上存在点，使得，那的取值范围　　    ．

【解析】过作切线交于，根据圆的切线性质，有．

若圆上存在点，使，则．

时不成立，，

即，解得.

7(★★) 如果圆上总存在到原点的距离为的点，那实数的取值范围 　　    ．

【答案】   

【解析】 圆半径，圆心到原点的距离，

若由圆上总存在点到原点的距离为，

，

，解得或．

实数的取值范围是．

8 (★★★) 在平面直角坐标系中，已知点在圆：内，若存在过点的直线交圆于两点，且的面积是的面积的倍，则实数的取值范围为　  　．

【答案】

【解析】点在圆：内，

，

解得；

又圆化为标准方程是，圆心；

的面积是的面积的倍，

，

设直线的方程为：．

圆心到直线的距离．

3，可得：，

，解得：．

当时，四点共线没有三角形，实数的取值范围为．

【题型三】直线与圆的位置关系

【典题1】 若圆：与直线有公共点，则的取值范围是　　    ．

【解析】方法一 化圆的一般方程为标准方程，得，

则圆心坐标为，半径，

若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，

则，解得.

方法二  由得，

其判别式，

直线与圆有公共点，则，解得.

【点拨】 判定直线与圆的位置共线有两种方法，①判定圆心到直线的距离与半径的大小半径；②联立方程，看判别式.

【典题2】 求过点，圆的切线的方程． 

【解析】方法1 当过点的直线斜率不存在时，方程为，显然不满足题意，

故可设切线为，

依题意得圆到直线的距离等于半径，故，解得或，

故所求直线的方程为或．

方法2 设所求直线的方程为(其中不全为零)， 

直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，故

  整理，得，即(这时)或．   

故所求直线的方程为或．

【点拨】

① 方法中，设过某一点的直线方程时，注意斜率是否存在，不存在方程为，存在时可设为.

② 方法利用了直线系方程，过点的直线系方程为(其中不全为零).

【典题3】 已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值和最小值之和为　　    ．

【解析】(以为底，求其最值，即求点到直线的距离最值)

由两点，

，

直线的方程为：即，

由圆可得圆心，半径，

则圆心到直线的距离，

点是圆上的动点，

点到直线的最大距离；点到直线的最小距离．

面积的最大值和最小值之和等于

．

【点拨】圆上一点到圆外一直线距离与圆心到直线的距离和圆的半径有关，

即，.

【典题4】已知圆，过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为　    ．

【解析】根据题意，如图：连接，

圆的圆心，半径，

，

(圆的切线长定理)

当最小时，的值的最小，

而的最小值为点到直线的距离，

则∠的最小值为.

【点拨】

① 本题利用了平几和三角恒等变换的知识把的最值转化为“直线一动点到定点的距离最值问题”.

② 求某变量的最值，可转化为另一变量的最值，这也是一种函数思想，在解析几何中就要对题目中的动点变化有足够的清晰理解.

【典题5】直线：，动直线：，动直线：．设直线与两坐标轴分别交于两点，动直线与交于点，则的面积最大值　    ．

【解析】由，

取，得，则；取，得，则，

，

(线段为定值，则的大小取决于点到直线的距离)

方法1 函数法

由得，

则求点到直线的距离

(函数法，求其函数最值便可)

易得的值域，(利用对勾函数或基本不等式)

则，故，

的面积最大值为.

方法2 参数法

由得，(即得到点轨迹的参数方程)

由代入得，(消参数得到点的方程)

整理得，

(点的轨迹是圆，接着求点到直线距离的最大值，问题回到“圆上点到圆外直线的距离”模型)

圆心到直线的距离，

到直线的距离的最大值为，

的面积最大值为.

方法3  几何法

直线：过定点，

直线：过定点，

，直线与直线垂直，

动直线与交于点在以为直径的圆上，

(动点轨迹是圆，求出其方程，如方法2便可)

的中点坐标为，，

动点的轨迹方程为，

如方法得的面积最大值.

【点拨】

① 方法的函数法是最直接的想法，但运算量较大些；

② 本题的求解动点轨迹的方法是参数法和几何法；

③ 几何法中，我们要清楚动点是由什么因素确定，再思考这些因素有木有什么特点.本题动点是两动直线的交点，则我们要考虑两直线有什么特征，一般可往“定点”、“直线位置关系”的角度思考.

其中关于圆的结论可以了解下：

(1) 动点到两个定点的夹角，则动点的轨迹是以为直径的圆；

(2) 若平面四边形中有，则四点共圆.

巩固练习

1(★) 点在圆外，则直线与圆的位置关系是(　　)

A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定

【答案】       

【解析】点在圆外，，

圆心到直线的距离：，

直线与圆相交．

2(★) 已知过点的直线与圆相切，则直线的斜率为(　　)

A． B． C． D．

【答案】       

【解析】设直线方程为：，由已知圆的圆心为，半径为，

因为直线与圆相切，

则圆心到直线的距离为，解得，

故选：．

3(★★) 【多选题】已知点在圆上，点，则(　　)

A．点到直线的距离小于    B．点到直线AB的距离大于 

C．当∠最小时，    D．当∠最大时，

【答案】      

【解析】，

过的直线方程为，即，

圆的圆心坐标为，

圆心到直线的距离，

点到直线的距离的范围为[，]，

，，，

点到直线的距离小于，但不一定大于，故正确，错误；

如图，当过的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大

点位于时∠最小，位于时∠最大)，

此时，

，故正确．

故选：．

4(★★) 已知圆：，为直线：上任一点，过点作圆的切线为切点)，则最小值是　  　．

【答案】        

【解析】圆：，圆心，半径，

设圆心到直线：的距离为，

故当圆心到直线上点的距离最小时，

即圆心到直线的距离，此时最小，

因为，所以，

故最小值是．

5(★★) 过直线上的点作圆的两条切线，若两切线的夹角为，则点的坐标为　  　．

【答案】

【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：

直线和为过点的两条切线，且∠，

设的坐标为，连接，

，，平分∠，

∠∠，∠∠，

又圆，即圆心坐标为，半径，，

，，即①，

又在直线上，，即②，

联立①②解得：，则P的坐标为(，)．

6(★★) 直线与半圆有两个交点,则的值是　  　．

【答案】  

【解析】根据题意画出图形，如图所示：

当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离，

即，解得：或(舍去)；

当直线过点时，直线与圆有两个交点和，

把代入中得：，解得：，

则直线与圆有两个交点时，的范围是．

故答案为：

7(★★)若圆上至少有三个不同点到直线：的距离为，则的取值范围　　．

【答案】    

【解析】由圆的标准方程，

则圆心为，半径为，

圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，

则圆心到直线的距离应不大于等于，

，整理得：，解得：，

由，

，

8(★★★)已知是圆上任意一点，若是定值，则实数的取值范围是　  　．

【解析】由题意可知此圆夹在两直线和之间时，是定值，

所以，．

9(★★★)已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 　  　．

【答案】  

【解析】：的标准方程为，

则圆心，半径．

因为四边形的面积，

要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直，

直线的方程为，即，

联立，解得．则

则以为直径的圆的方程为，

与的方程作差可得直线的方程为．

10(★★★) 若为直线上一个动点，从点引圆：的两条切线切点为，则的最小值是　  　．

【答案】

【解析】如图，由可得，

所以圆的圆心为，半径，如图所示，

要使的长度最小，即要∠最小，则∠最小，

因为，所以当最小时，最小，

因为，

所以当最小时，最小，

因为，所以∠，

又∠，

则．

【题型四】弦长问题

【典题1】 已知圆的方程为，是该圆内一点，过点的最长弦与最短弦分别是和，求四边形的面积.

【解析】圆的方程为，

圆心坐标为，半径．

是该圆内一点，

经过点最长弦是圆的直径，且最短的弦是与该直径垂直的弦．

结合题意，是经过点的直径，是与垂直的弦．

，

由垂径定理，得.

因此，四边形的面积是.

【点拨】过圆内一点的最短弦是与垂直的弦.

【典题2】 设为原点，直线与圆相交于两点，那面积最大值为　  　．

【解析】原点到的距离为，

弦长，

，

当时，形成不了，故；

则，当且仅当时取等号．

【点拨】来个马后炮：思路是怎么来的呢？

从动点变换的角度思考，求最大值，那先想到面积公式，那和是变量，它们均由确定的，故可用表示出来，进而，最后成函数最值问题！

假如想到弦长，它的值由确定的，

那，

(当，即时取等号).

巩固练习

1(★) 直线被圆截得的弦长等于　    　．

【答案】  

【解析】连接，过作，根据垂径定理得：为的中点，

根据得到圆心坐标为，半径为．

圆心到直线的距离=，而半径，

则在直角三角形中根据勾股定理得，

所以，故选．

2(★★) 已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴右侧，且截直线所得弦的长为，则圆的方程为　    　．

【答案】     

【解析】根据题意，设圆的圆心坐标为，

则其标准方程为，

则圆心到直线的距离，

又由该圆截直线所得弦的长为，

则有，解可得，

又由，则，

故要求圆的方程为，

3(★★) 已知直线：与圆：交于两点，则弦长的最小值为　    　．

【答案】    

【解析】直线：过定点，

，定点在圆内部，

则当直线与垂直时，最小，

此时．

4(★★) 已知圆：及直线：，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为　    　．

【答案】    

【解析】将圆方程整理为，得圆心，半径；

将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内；

最长弦为过的圆的直径，则；

最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，

，，

则直线方程为，即，

圆心到直线的距离为，

，

四边形的面积，