期中测试卷02（苏教版2019选择性必修第一册）

这是一份期中测试卷02（苏教版2019选择性必修第一册），共15页。试卷主要包含了已知圆，设双曲线eq E等内容，欢迎下载使用。

1、(2022·江苏如皋期初考试)直线的斜率和它在y轴上的截距分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】由题意，直线3x＋4y＋5＝0的斜率为－EQ \F(3,4)，令x＝0，解得y＝－EQ \F(5,4)，故答案选C.
2、（2022·广东省深圳市第七高级中学10月月考）已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】因为渐近线经过点，所以，从而.
故选：C
3、（2021·河北石家庄市高三二模）抛物线经过点，则到焦点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在抛物线上，，解得：，
抛物线标准方程为，，.
故选：B.
4、（2022·广东省深圳市宝安区第一次调研10月）古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4公里，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积（单位：平方公里）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意不妨设甲、乙两地坐标为，丙地坐标为，则，整理得，半径，所以最大面积为.
故选：B
5、(2022·江苏省第一次大联考)已知双曲线C的离心率为EQ \R(,3)，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为EQ \R(,2)，则双曲线C的实轴长为
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】B
【解析】由题意可知，点P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因为EQ \F(c,a)＝EQ \R(,3)，所以|F1F2|＝2c＝2EQ \R(,3)a，则在△PF1F2中，由余弦定理可得，cs∠F1PF2＝EQ \F(9a\S(2)＋a\S(2)－12a\S(2),2·3a·a)＝－EQ \F(1,3)，所以sin∠F1PF2＝EQ \F(2\R(,2),3)，所以S△EQ \S\DO(PF\S\DO(1)F\S\DO(2))＝EQ \F(1,2)a3aEQ \F(2\R(,2),3)＝EQ \R(,2)，解得a＝1，所以实轴长为2a＝2，故答案选B．
6、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知圆：上恰有两个点到直线：的距离为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设圆心到直线的距离为.
因为圆：上恰有两个点到直线：的距离为，
故，所以，解得，
故倾斜角的范围为 ，
故选：B.
7、(2022·南京9月学情【零模】)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：eq \f(x\s\up6(2),a\s\up6(2))－\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2))＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与C交于P，Q两点，F1Q与y轴的交点为R，F1Q⊥PR，则C的离心率为
A．eq \r(,2) B．eq \r(,3) C．2 D．eq \r(,5)
【答案】B
【解析】法一：由题意可设点P在第一象限，则P(c，EQ \F(b\S(2),a))，Q(c，－EQ \F(b\S(2),a))，又F1(－c，0)，F2(c，0)，则可得F1Q的直线方程为：y＝－EQ \F(b\S(2),2ac)(x＋c)，令x＝0，可得R(0，－EQ \F(b\S(2),2a))，所以EQ \\ac(\S\UP7(→),PR)＝(－c，－EQ \F(3b\S(2),2a))，EQ \\ac(\S\UP7(→),F\S\DO(1)Q)＝(2c，－EQ \F(b\S(2),a))，因为F1Q⊥PR，所以EQ \\ac(\S\UP7(→),PR)·EQ \\ac(\S\UP7(→),F\S\DO(1)Q)＝(－c，－EQ \F(3b\S(2),2a))·(2c，－EQ \F(b\S(2),a))＝0，化简得－2c2＋EQ \F(3b\S(4),2a\S(2))＝0，即2ac＝EQ \R(,3)b2＝EQ \R(,3)(c2－a2)，解得e＝EQ \F(c,a)＝eq \r(,3)或－EQ \F(1,\R(,3))(舍去)，故答案选B．
法二：连结RF2，由题意可得，F1F2垂直平分PQ，又F1Q⊥PR，所以RF2＝EQ \F(1,2)PQ，而在△F1F2Q中，OR＝EQ \F(1,2)F2Q，所以点R为F1Q的中点，则PR垂直平分F1R，则△PF1Q为等边三角形，所以在Rt△PF1F2中，PF2＝2ctan30°，即EQ \F(b\S(2),a)＝EQ \F(2\R(,3),3)c，则2ac＝EQ \R(,3)b2＝EQ \R(,3)(c2－a2)，解得e＝EQ \F(c,a)＝eq \r(,3)或－EQ \F(1,\R(,3))(舍去)，故答案选B．
法三：连结RF2，由题意可得，F1F2垂直平分PQ，又F1Q⊥PR，所以RF2＝EQ \F(1,2)PQ，而在△F1F2Q中，OR＝EQ \F(1,2)F2Q，所以点R为F1Q的中点，则PR垂直平分F1R，则△PF1Q为等边三角形，所以在Rt△PF1F2中，PF1＝EQ \F(2c,cs30°)＝EQ \F(4c,\R(,3))，PF2＝EQ \F(2c,sin30°)＝EQ \F(2c,\R(,3))，由双曲线的定义可得，PF1－PF2＝2a，即EQ \F(2c,\R(,3))＝2a，解得e＝EQ \F(c,a)＝eq \r(,3)，故答案选B．
8、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)设双曲线eq E：x\s\up6(2)－\f(y\s\up6(2),3)＝1的左右焦点为F1，F2，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限内的一点，直线MF1交双曲线E的左支于点N，若NA∥MF2，则|MF2|＝
A．eq \f(7,4) B．eq \f(5,2) C．eq \f(8,3) D．eq \f(11,4)
【答案】B
【解析】由题意，取MF1的中点为点P，则PO∥NA∥MF2，且PO＝EQ \F(1,2)MF2，NA＝EQ \F(1,2)PO，所以NA＝EQ \F(1,4)MF2，则F1N＝EQ \F(1,4)F1M，可设M(m，n)( m＞0，n＞0)，则N(EQ \F(m－6,4)，EQ \F(n,4))，且点M，N在双曲线上，所以有EQ \B\lc\{(\a\al(m\S(2)－\F(n\S(2),3)＝1,\b\bc\((\l(\F(m－6,4)))\s\up12(2)－\F(\b\bc\((\l(\F(n,4)))\s\up12(2),3)＝1))，解得EQ \B\lc\{(\a\al(m＝\F(7,4),n＝\F(3\R(,11),4)))，所以M(EQ \F(7,4)，EQ \F(3\R(,11),4))，又F2(2，0)，则|MF2|＝EQ \R(,\b\bc\((\l(\F(7,4)－2))\s\up12(2)＋\b\bc\((\l(\F(3\R(,11),4)－0))\s\up12(2))＝eq \f(5,2)，故答案选B．
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）
9、（南阳中学2022-2023学年秋学期第一次学情检测） 已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，设点M到直线的距离为d，对于A，，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意；
对于B，，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意；
对于C，，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意；
对于D，，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，故D不符合题意．
故选：BC
10、（2021·海南高三其他模拟）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
11、（南阳中学2022-2023学年秋学期第一次学情检测） 已知直线：和直线：，则（ ）
A. 若，则或B. 若在轴和轴上的截距相等，则
C. 若，则或2D. 若，则与间的距离为
【答案】CD
【解析】若，由，解得或，
经检验当时，，重合，当时，，
所以，故A错误；
若在轴和轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，则或，故B错误；
若，则，解得或2，故C正确；
当时，，则：，：，
即：，则与间的距离为，故D正确．
故选：CD．
12、（海安中学高二年级第一次学情检测2022-2023学年高二年级阶段性考试） 已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】如图，
连接，，设交椭圆于，则，
，故正确；
设，，，
，，
，故错误；
设，，则，
又△的面积为，，即，
，又，，故正确；
由，，
两式作商可得：，故正确．
故选：ACD
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
13、 已知两条平行直线：x+2y+3=0，：3x+by+c=0间的距离为，则b+c=_____.
【答案】0或30
【解析】∵两条平行直线：x+2y+3=0，：3x+by+c=0，
则，解得；
所以直线：x+2y+3=0，即，：3x+6y+c=0；
则两平行线间的距离为，
解得或．
故答案为：0或．
14、(2022·江苏省第一次大联考)直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝ ．
【答案】8
【解析】由题意可知，焦点F为(1，0)，即eq \f(p,2)＝1，解得p＝2，则抛物线C：y2＝4x，与直线y＝x－1联立可得，x2－6x＋1＝0，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．
15、(2022·江苏如皋期初考试)已知点是直线：上的动点，过点作圆：的切线，切点分别为，，则切点弦所在直线恒过定点___________.
【答案】(1，－1)
【解析】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：eq x\s\up6(2)＋y\s\up6(2)＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有eq \B\lc\{(\a\al(x＋y＝0,4x－4＝0))，解得eq \B\lc\{(\a\al(x＝1,y＝－1))，则直线AB恒过定点(1，－1).
16、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、（在右侧），若，则的离心率为______.
【答案】
【解析】由得，
又由题意可得，为双曲线左支上的点，为双曲线右支上的点，
根据双曲线的定义可得，，，
所以，因此，
因为直线的斜率为，所以，
又，
所以，
即，所以，解得或（舍，双曲线的离心率大于1）.故答案为：.
四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）
17、（2022河北邢台期中·）求与直线，
（1）平行，且在两坐标轴上截距之和为1直线的方程；
（2）垂直，且在两坐标轴上截距之和为1的直线的方程.
【解析】
（1）直线展开，
设的方程为=0，则在轴轴的截距分别为，由，
得=12，所以的方程为即
（2）直线的斜率为两直线垂直，直线的斜率为-，
设直线的方程为，则在轴轴的截距分别为，
则，得 故直线方程为 ，
故答案为
18、(2022·湖南省长郡中学开学考试)已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
【解析】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；
（2）设圆心到直线到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意；
当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即，
故直线l的方程为或.
19、（2021·全国高二课时练习）如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
【解析】：（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
20、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(12分)已知椭圆C：EQ \F(y\S(2),a\S(2))＋EQ \F(x\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的焦距与椭圆eq \f(x\s\up6(2),3)＋y\s\up6(2)＝1的焦距相等，且C经过抛物线eq y＝(x－1)\s\up6(2)＋\r(,2)的顶点．
(1)求C的方程；
(2)若直线y＝kx＋m与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：x＋ty＋1＝0对称，O为C的对称中心，且△AOB的面积为eq \f(\r(,10),3)，求k的值．
【解析】
(1)由题意：eq \B\lc\{(\a\al(\f(2,a\s\up6(2))＋\f(1,b\s\up6(2))＝1,a\s\up6(2)－b\s\up6(2)＝2))解得：eq a\s\up6(2)＝4，b\s\up6(2)＝2，所以C的方程为eq \f(y\s\up6(2),4)＋\f(x\s\up6(2),2)＝1；
(2)因为直线y＝kx＋m与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：x＋ty＋1＝0对称，
所以k＝t，
联立eq \B\lc\{(\a\al(y＝kx＋m,\f(y\s\up6(2),4)＋\f(x\s\up6(2),2)＝1))，可得eq (k\s\up6(2)＋2)x\s\up6(2)＋2kmx＋m\s\up6(2)－4＝0，
设eq A(x\s\d(1)，y\s\d(1))，B(x\s\d(2)，y\s\d(2))，AB的中点为eq P(x\s\d(0)，y\s\d(0))，
则＝8(2k2＋4－m2)＞0，x0＝－EQ \F(km,k\S(2)＋2)，y0＝kx0＋m＝EQ \F(2m,k\S(2)＋2)，
因为eq P(x\s\d(0)，y\s\d(0))在直线l：x＋ky＋1＝0上，所以eq －\f(km,k\s\up6(2)＋2)＋\f(2km,k\s\up6(2)＋2)＋1＝0，
即eq m＝－(k＋\f(2,k))，所以＝8(k2－EQ \F(4,k\S(2)))＞0，即k2＞2，
所以eq |AB|＝\r(,k\s\up6(2)＋1)\f(\r(,Δ),k\s\up6(2)＋2)＝\f(2\r(,2(k\s\up6(2)＋1)(k\s\up6(2)－2)),(k\s\up6(2)＋1))，
则O到直线AB的距离eq d＝\f(|m|,\r(,k\s\up6(2)＋1))＝EQ \F(k\S(2)＋2,\R(,k\S(2)\b\bc\((\l(k\S(2)＋1))))，
所以eq S\s\d(△AOB)＝\f(1,2)|AB|d＝\f(\r(,2(k\s\up6(2)－4)),k\s\up6(2))＝\f(\r(,10),3)，解得：eq k\s\up6(2)＝3，k＝±\r(,3)．
21、(2022·江苏如皋期初考试) 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
（1）求线段AB的中点P的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
（3）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
【解析】
（1）设，，点A在圆，所以有：，
P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；
（2）联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，
设到直线MN得距离为d，则,
所以，；
（3）作出关于轴得对称点，
如图所示；
连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，
此时，所以的最小值为.
22、已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程恒有两个交点，且满足若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.
【解析】
（1）设圆的半径的，则，
所以的轨迹是以的焦点的椭圆，
则，，所以，，，
故动圆圆心轨迹方程为.
（2）假设存在圆心在原点圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，
设，，当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为，
由方程，可得，
则，
所以，由，，
则，
，，则，即，
即，即，所以且，
故，解得或，
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，
则，故，所以所求圆的方程为，
此时圆的切线都满足或，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，
所以切线与椭圆，的两个交点为，，
满足.
综上所述，存在圆心在原点的圆满足条件