专题3-5 圆锥曲线定值问题-(人教A版2019选择性必修第一册) (学生版+教师版)

圆锥曲线定值问题

1 定值问题

 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征.

Eg

① 一个球在水平面上无论怎么滚动，球心到水平面的距离都是半径长；

② 椭圆上一动点到两焦点的距离之和为一定值；

2 解决此类问题的基本策略

定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口.

① 参数法

把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关；

解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值.

② 由特殊到一般法

把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关.

③ 几何法

根据几何关系确定相关几何量的不变.

【方法一】参数法

【典题1】 已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．

求椭圆的方程；

过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．

【典题2】 椭圆：的离心率为为的长轴上的一个动点，过点斜率为的直线交于两点．当时.

求的方程；求证：为定值．

【典题3】 已知是椭圆上的两点，且其中为椭圆的右焦点．

求实数的取值范围；

在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．

  【典题4】 一束光线从点出发，经直线：上一点反射后，恰好穿过点．

求点的坐标；

求以为焦点且过点的椭圆的方程；

设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点的坐标；若不存在，请说明理由．

【典题5】 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点．

(1)求椭圆的方程；

(2)求的最小值，并求此时圆的方程；

(3)设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点为坐标原点，求证：为定值．

【方法二】“由特殊到一般”法

  【典题1】 已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．

求双曲线的方程；

若直线分别与直线交于两点，证明为定值；

是否存在常数，使得∠∠恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【方法三】几何法

【典题1】 已知抛物线:经过点．

求抛物线的方程及其相应准线方程；

过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点，其中．设线段和的中点分别为，过点作，垂足为．证明：存在定点，使得线段长度为定值．

 【典题2】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为,．已知和)都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

求椭圆的方程；

设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．

若求直线的斜率；求证：是定值．

巩固练习

1 (★★★) 如图，已知椭圆：过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，．则在下列命题中，正确的是(　　)

A．若记直线的斜率分别为则的大小是定值为 

B．的面积是定值

C．线段长度的平方和是定值

D．设则

2(★★) 在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点，且满足过两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为．

(1)求：的值；(2)证明为定值．

3(★★) 已知，椭圆过点两个焦点为．

(1)求椭圆的方程；

(2)是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值．

4 (★★★) 已知椭圆：的长轴长为，上顶点为，左、右焦点分别为，且∠，为坐标原点．

(1)求椭圆的方程；

(2)设点为椭圆上的两个动点，若，问：点到直线的距离是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由．

5(★★★) 已知离心率为的椭圆与直线交于两点，记直线的斜率为直线的斜率为．

(1)求椭圆方程；

(2)若则三角形的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

6(★★★) 已知椭圆和圆：过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．

(1)①若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；

②若椭圆上存在点，使得∠，求椭圆离心率的取值范围；

(2)设直线与轴、轴分别交于点，求证：为定值．

7(★★★) 已知点，点满足：直线的斜率为，直线的斜率为，且．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)过点的直线交曲线于两点，问在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

8 (★★★) 已知椭圆：上动点为原点：

(1)若求证：为定值；

(2)点若求证：直线过定点；

(3)若求证：直线为定圆的切线．

9(★★★★) 已知是圆：上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为．

(1)求出轨迹的方程，并讨论曲线的形状；

(2)当时，在x轴上是否存在一定点，使得对曲线的任意一条过的弦为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．