专题3-4 圆锥曲线定点问题-(人教A版2019选择性必修第一册) (学生版+教师版)

圆锥曲线定点问题

1 定点问题的含义

其实我们早已接触过了定点问题

① 二次函数过定点，

   理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点；

② 指数函数过定点，

   理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点；

③ 对数函数过定点；

   理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点；

④ 直线方程点斜式:斜率为，过点的直线方程为；

   那直线，由于斜率不确定，它表示的不是一条确定的直线，而是“直线

   簇”，但过定点，与的取值无关；

⑤ 圆，由于的不确定，它表示的不是一个确定的圆，而是“圆簇”，但过

   定点，与的取值无关.

Eg：曲线恒过定点         .

解 从数的角度分析，，

即当取什么值时，不管取任何值方程均成立，

故由，解得或，

所以曲线恒过定点

2 求定点问题的方法

① 方程恒成立法

先求出满足特定条件的方程其中是变量，是参数，再证明当时，不管取任何值方程恒成立；

Eg求证：直线：恒过某一定点并求该定点的坐标.

证明：直线是一条动直线，它会随着的变化而变化，

若直线恒过一定点，即不管取任何值，该点都在直线上，

；

不管取任何值，方程恒成立，

只有，同时成立才行，解得

故恒过定点.

点拨：利用方程思想，把某曲线过一定点转化为方程恒成立问题；

② 特殊值法

通过特殊情况确定定点(一个也可能多个)，再证明它们满足特定条件.

Eg求证：直线：恒过某一定点并求该定点的坐标.

证明：直线是一条动直线，它会随着的变化而变化，

当时，直线：； 当时，直线：；

由，解得，即直线与直线的交点为，

若直线：恒过某一定点，则该点只能是，

显然满足直线方程，即点在直线上；

故直线恒过定点.

点拨：通过两条特殊直线，求出交点，确定交点只能是定点，再证明交点满足直线.

③ 几何法

通过平几知识点，确定某点符合某种运动规律.

注：众多定点问题均与极点极线有关，若有所了解，有利于更快找到解题思路.

【题型一】求某直线(或曲线)过定点

【典题1】 是抛物线上的两点，且求证：直线经过一个定点.

【典题2】 如图，椭圆的两焦点与短轴两端点构成∠为

面积为的菱形．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【典题3】 已知椭圆，直线过的右焦点．

当时，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的倍．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点使得当变化时，总有

∠∠为坐标原点)？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

【典题4】如图等边三角形的边长为，且三个顶点均在抛物线上．

(1)求抛物线的方程；

(2)设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点．

【典题5】 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为右焦点为．设过点的直线与椭圆分别交于点其中．求证：直线必过轴上的一定点(其坐标与无关)．

【典题6】 设抛物线的焦点为经过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴．证明直线必过轴上的一定点．

【题型二】某动点在定直线(或曲线)上

【典题1】设椭圆：的焦点在轴上，设分别是椭圆的左、右焦点为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点并且证明：当变化时，点在某定直线上．

巩固练习

1(★★) 已知定点在抛物线上，动点且，

求证：弦必过一定点．

2(★★) 已知椭圆的右焦点为离心率为．设为椭圆上关于原点对称的两点的中点为的中点为若原点在以线段为直径的圆上．证明点在定圆上.

3(★★) 已知抛物线：上横坐标为的一点到焦点的距离为．

(1)求抛物线的方程；

(2)设直线的斜率分别为且，证明：直线经过定点，求出定点的坐标．

4(★★★) 过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点．

(1)若直线的斜率为，求线段的长；

(2)不过点的动直线交抛物线于两点，且以为直径的圆经过点，问动直线是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．

5 (★★★) 已知椭圆：经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆的右焦点的直线与轴不重合)与椭圆交于两点．是否存在一定点使得x轴上的任意一点(异于点到直线的距离相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

6(★★★) 已知椭圆：1的离心率为且经过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作直线与椭圆相交于两点，试问在轴上是否存在定点使得两条不同直线恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

7(★★★) 已知椭圆：的离心率为过左焦点的直线与椭圆交于两点，且线段的中点为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为过点与垂直的直线为求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．

 8(★★★) 已知椭圆的离心率为，点分别是的左、右、上、下顶点，且四边形的面积为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知是的右焦点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，求证：点在定直线上，并求出直线的方程．

9(★★★)  作斜率为的直线与椭圆：交于两点(如图所示)，且在直线的左上方．证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；