高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.4直线的交点坐标与距离公式【八大题型】(原卷版+解析)

这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.4直线的交点坐标与距离公式【八大题型】(原卷版+解析)，共21页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26620" 【题型1 求两直线的交点坐标】 PAGEREF _Tc26620 \h 1
\l "_Tc18232" 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 PAGEREF _Tc18232 \h 2
\l "_Tc6229" 【题型3 由直线的交点求参数】 PAGEREF _Tc6229 \h 3
\l "_Tc4287" 【题型4 三线能围成三角形的问题】 PAGEREF _Tc4287 \h 3
\l "_Tc31667" 【题型5 两点间的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc31667 \h 4
\l "_Tc14319" 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc14319 \h 5
\l "_Tc24291" 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc24291 \h 5
\l "_Tc7742" 【题型8 与距离有关的最值问题】 PAGEREF _Tc7742 \h 5
【知识点1 两条直线的交点坐标】
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
【题型1 求两直线的交点坐标】
【例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线x+2y−4=0与直线2x−y+2=0的交点坐标是（ ）
A．(2,0)B．(2,1)
C．(0,2)D．(1,2)
【变式1-1】（2023·江苏·高二假期作业）直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（ ）
A．(-9，-10)B．(-9，10)C．(9，10)D．(9，-10)
【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)直线l1:2x−3y+10=0,l2:3x+4y−2=0；
(2)直线l1:nx−y=n−1,l2:ny−x=2n．
【变式1-3】（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【例2】（2023秋·天津西青·高二校考期末）过直线l1:x−2y+4=0与直线l2:x+y+1=0的交点，且过原点的直线方程为（ ）
A．2x−y=0B．2x+y=0C．x−2y=0D．x+2y=0
【变式2-1】（2023春·广东韶关·高二校考期中）经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x−y=1的交点，且直线的一个方向向量v=(−3,2)的直线方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．2x+y−3=0
C．3x−2y−5=0D．2x+3y−5=0
【变式2-2】（2023秋·广东广州·高一校考期中）过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线y=13x平行的直线方程为（ ）
A．x+3y+5=0B．x+3y−5=0
C．x−3y+5=0 D．x−3y−5=0
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）已知直线l1:x−y+1=0，l2:x−2=0，则过l1和l2的交点且与直线3x+4y−5=0垂直的直线方程为（ ）
A．3x−4y−1=0B．3x−4y+1=0
C．4x−3y−1=0D．4x−3y+1=0
【题型3 由直线的交点求参数】
【例3】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ）
A．k≠1或k≠9B．k≠1或k≠−9C．k≠1或k≠9D．k≠1且k≠−9
【变式3-1】（2022秋·广东惠州·高二校考期中）已知直线mx+5y−3=0与x−3y+n=0互相垂直，且交点为p,1，则m+n+p=（ ）
A．24B．20C．18D．10
【变式3-2】（2023·高二课时练习）若直线kx−y=k−1与直线ky−x=2k相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（ ）
A．k>1B．k<12C．0【变式3-3】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线2x+y−4=0，x−y+1=0与ax−y+2=0共有两个交点，则实数a的值为（ ）
A．1B．-2C．1或-2D．-1
【题型4 三线能围成三角形的问题】
【例4】（2023·高二课时练习）若三条直线x+y=0，x−y=0，x+ay=3构成三角形，则a的取值范围是( )
A．a≠±1 B．a≠1，a≠2 C．a≠−1 D．a≠±1，a≠2
【变式4-1】（2022·高二课时练习）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a≠−2B．a≠±1
C．a≠−2且a≠±1D．a≠−2且a≠1
【变式4-2】（2022秋·新疆喀什·高二校考阶段练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1B．13C．﹣2D．﹣1
【变式4-3】（2022秋·浙江金华·高二期中）已知三条直线ax+2y+8=0、4x+3y=10和2x−y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【知识点2 距离公式】
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
4．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型5 两点间的距离公式的应用】
【例5】（2023秋·广西防城港·高二统考期末）已知点A0,3,B3,−1，则AB为（ ）
A．5B．26C．32D．4
【变式5-1】（2023秋·高二课时练习）已知点A−2,−1，Ba,3，且AB=5，则a的值为
A．1B．−5C．1或−5D．−1或5
【变式5-2】（2023秋·高二课时练习）已知A(−1,2),B(0,4)，点C在x轴上，且AC=BC，则点C的坐标为（ ）
A．−112,0B．0,−112C．0,112D．112,0
【变式5-3】（2022·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都不是
【题型6 点到直线的距离公式的应用】
【例6】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线3x+4y−2=0的距离是（ ）
A．1B．2C．5
【变式6-1】（2023秋·高二课时练习）已知A(4,0)到直线4x−3y+a=0的距离等于3，则a的值为（ ）
A．−1B．−13或−19C．−1或−31D．−13
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知实数a>0,b<0，则3b−aa2+b2的取值范围是（ ）
A．[−2,−1)B．(−2,−1)
C．(−2.−1]D．[−2,−1]
【变式6-3】（2023秋·广东河源·高二校考期末）过点P−1,1引直线，使A2,3，B4,−5，两点到直线的距离相等，则直线方程是（ ）
A．2x+y+1=0B．x+2y−1=0
C．2x+y+1=0或4x+y+3=0D．x+2y−1=0或4x+y+3=0
【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】
【例7】（2023秋·高二课时练习）两条平行直线2x−7y+8=0与2x−7y−6=0间的距离为（ ）
A．5314B．2C．14D．145353
【变式7-1】（2023春·河南驻马店·高二校考期中）已知a<0，若直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：x+a+1y−4=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．724B．522C．5D．5或724
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）与直线2x+y−1=0的距离等于55的直线方程为
A．2x+y=0B．2x+y−2=0
C．2x+y=0或2x+y−2=0D．2x+y=0或2x+y+2=0
【变式7-3】（2023秋·重庆渝北·高二校考期末）已知直线l1:2x+y+n=0，l2:4x+my−4=0互相平行，且l1,l2之间的距离为355，则m+n=（ ）
A．−3或3B．−2或4C．−1或5D．−2或2
【题型8 与距离有关的最值问题】
【例8】（2023春·上海宝山·高二校考开学考试）点M2,1到直线l:2λ+1x+1−λy+3=0,λ∈R的距离的最大值为（ ）
A．355B．5C．3D．32
【变式8-1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线l1:λ+2x+1−λy+2λ−5=0，l2:k+1x+1−2ky+k−5=0，且l1//l2，当两平行线距离最大时，λ+k=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式8-2】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：mx+ny=0mn>0，点A1,2，则点A到直线l的距离的取值范围为（ ）
A．0,2B．1,5C．1,2D．0,5
【变式8-3】（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知0≤x≤1,0≤y≤1，则x2+y2+x2+(1−y)2+(1−x)2+y2+(1−x)2+(1−y)2的最小值为（ ）
A．2B．22C．2+2D．3
专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26620" 【题型1 求两直线的交点坐标】 PAGEREF _Tc26620 \h 1
\l "_Tc18232" 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 PAGEREF _Tc18232 \h 3
\l "_Tc6229" 【题型3 由直线的交点求参数】 PAGEREF _Tc6229 \h 4
\l "_Tc4287" 【题型4 三线能围成三角形的问题】 PAGEREF _Tc4287 \h 6
\l "_Tc31667" 【题型5 两点间的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc31667 \h 8
\l "_Tc14319" 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc14319 \h 9
\l "_Tc24291" 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 PAGEREF _Tc24291 \h 11
\l "_Tc7742" 【题型8 与距离有关的最值问题】 PAGEREF _Tc7742 \h 12
【知识点1 两条直线的交点坐标】
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
【题型1 求两直线的交点坐标】
【例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线x+2y−4=0与直线2x−y+2=0的交点坐标是（ ）
A．(2,0)B．(2,1)
C．(0,2)D．(1,2)
【解题思路】解方程组x+2y−4=02x−y+2=0即可得解.
【解答过程】解方程组x+2y−4=02x−y+2=0得x=0y=2，
即直线x+2y−4=0与直线2x−y+2=0的交点坐标是(0,2)．
故选：C.
【变式1-1】（2023·江苏·高二假期作业）直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（ ）
A．(-9，-10)B．(-9，10)C．(9，10)D．(9，-10)
【解题思路】直接解方程组可得.
【解答过程】解方程组2x+y+8=0，x+y-1=0，得x=-9，y=10，即交点坐标是(-9，10)，
故选：B.
【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)直线l1:2x−3y+10=0,l2:3x+4y−2=0；
(2)直线l1:nx−y=n−1,l2:ny−x=2n．
【解题思路】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系；
（2）分类讨论n，解方程组可得答案.
【解答过程】（1）联立2x−3y+10=03x+4y−2=0，解得x=−2y=2，
所以两直线相交，交点坐标为(−2,2).
（2）当n=−1时，l1:x+y−2=0，l2:x+y−2=0，
联立x+y−2=0x+y−2=0，方程组有无数组解，故两直线重合，
当n=1时，l1:x−y=0，l2:x−y+2=0，
联立x−y=0x−y+2=0，方程组无解，故两直线平行，
当n≠±1，联立nx−y=n−1ny−x=2n，解得x=nn−1y=2n−1n−1，
所以两直线相交，交点坐标为(nn−1,2n−1n−1).
综上所述：当n=−1时，两直线重合；当n=1时，两直线平行；当n≠±1时，两直线相交，交点坐标为(nn−1,2n−1n−1).
【变式1-3】（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【解题思路】两个直线方程列方程组求解，方程组有解即得交点坐标，方程组无解则两直线平行（有无数解，则两直线重合）．
【解答过程】（1）解方程组2x+y+3=0x−2y−1=0得x=−1y=−1所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
（2）解方程组x+y+2=02x+2y+3=0①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.
所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2.
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【例2】（2023秋·天津西青·高二校考期末）过直线l1:x−2y+4=0与直线l2:x+y+1=0的交点，且过原点的直线方程为（ ）
A．2x−y=0B．2x+y=0C．x−2y=0D．x+2y=0
【解题思路】先求出直线l1:x−2y+4=0与直线l2:x+y+1=0的交点坐标，然后可得出答案
【解答过程】联立方程{x−2y+4=0x+y+1=0得x=−2,y=1，即l1与l2的交点为(−2,1)
又直线过原点
所以此直线的方程为：x+2y=0
故选：D.
【变式2-1】（2023春·广东韶关·高二校考期中）经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x−y=1的交点，且直线的一个方向向量v=(−3,2)的直线方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．2x+y−3=0
C．3x−2y−5=0D．2x+3y−5=0
【解题思路】先求出两直线的交点坐标，再利用直线的方向向量求出斜率，利用点斜式求出直线方程.
【解答过程】联立直线l1与l2，x+y=22x−y=1，解得：x=1y=1，
所以直线l1：x+y=2，l2：2x−y=1的交点为1,1，
又直线的一个方向向量v=(−3,2)，所以直线的斜率为−23，
故该直线方程为：y−1=−23x−1，即2x+3y−5=0
故选：D.
【变式2-2】（2023秋·广东广州·高一校考期中）过两直线x+y−3=0,2x−y=0的交点，且与直线y=13x平行的直线方程为（ ）
A．x+3y+5=0B．x+3y−5=0
C．x−3y+5=0 D．x−3y−5=0
【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线y=13x平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.
【解答过程】由x+y−3=02x−y=0解得x=1y=2，则直线x+y−3=0,2x−y=0的交点1,2，
又直线y=13x的斜率为13，则所求直线方程为y−2=13x−1，整理得x−3y+5=0.
故选：C.
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）已知直线l1:x−y+1=0，l2:x−2=0，则过l1和l2的交点且与直线3x+4y−5=0垂直的直线方程为（ ）
A．3x−4y−1=0B．3x−4y+1=0
C．4x−3y−1=0D．4x−3y+1=0
【解题思路】由于所求出直线与直线3x+4y−5=0垂直，所以设所求直线为4x−3y+m=0，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出m，从而可求出直线方程
【解答过程】由于所求出直线与直线3x+4y−5=0垂直，所以设所求直线为4x−3y+m=0，
由x−y+1=0x−2=0，得x=2y=3，即l1和l2的交点为(2,3)，
因为直线4x−3y+m=0过点(2,3)，
所以8−9+m=0，得m=1，
所以所求直线方程为4x−3y+1=0，
故选：D.
【题型3 由直线的交点求参数】
【例3】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ）
A．k≠1或k≠9B．k≠1或k≠−9C．k≠1或k≠9D．k≠1且k≠−9
【解题思路】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.
【解答过程】因直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，则3(2k−3)−k[−(k+2)]≠0，
即(k+9)(k−1)≠0，解得k≠1且k≠−9，
所以实数k的值为k≠1且k≠−9.
故选：D.
【变式3-1】（2022秋·广东惠州·高二校考期中）已知直线mx+5y−3=0与x−3y+n=0互相垂直，且交点为p,1，则m+n+p=（ ）
A．24B．20C．18D．10
【解题思路】首先根据两条直线垂直求m，再根据两条直线过交点p,1，代入后分别求p,n.
【解答过程】因为两直线互相垂直，所以m+5×−3=0，得m=15，直线为15x+5y−3=0，代入交点p,1，得15p+5−3=0，p=−215，再将交点−215,1代入直线x−3y+n=0，即−215−3+n=0，得n=3+215=4715，
所以m+n+p=18.
故选：C.
【变式3-2】（2023·高二课时练习）若直线kx−y=k−1与直线ky−x=2k相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（ ）
A．k>1B．k<12C．0【解题思路】先根据直线相交求k的取值范围，再联立方程求出交点坐标列式求解即可.
【解答过程】若直线kx−y=k−1与直线ky−x=2k平行或重合，则k2−1=0，解得k=±1，
若直线kx−y=k−1与直线ky−x=2k相交，可得k≠1且k≠−1，则有：
联立方程kx−y=k−1ky−x=2k，解得x=kk−1y=2k−1k−1，即交点坐标kk−1,2k−1k−1，
由题意可得：kk−1<02k−1k−1>0，解得0综上所述：k的取值范围为0,12.
故选：C.
【变式3-3】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线2x+y−4=0，x−y+1=0与ax−y+2=0共有两个交点，则实数a的值为（ ）
A．1B．-2C．1或-2D．-1
【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求.
【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，
∵直线x−y+1=0和直线2x+y−4=0不平行，
∴直线x−y+1=0和直线ax−y+2=0平行或直线2x+y−4=0和直线ax−y+2=0平行，
∵直线x−y+1=0的斜率为1，直线2x+y−4=0的斜率为−2，直线ax−y+2=0的斜率为a，
∴a=1或a=−2.
故选：C.
【题型4 三线能围成三角形的问题】
【例4】（2023·高二课时练习）若三条直线x+y=0，x−y=0，x+ay=3构成三角形，则a的取值范围是( )
A．a≠±1 B．a≠1，a≠2 C．a≠−1 D．a≠±1，a≠2
【解题思路】由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得a的范围．
【解答过程】解：∵三条直线x+y=0，x−y=0，x+ay=3构成三角形，
故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．
而直线x+y=0和x−y=0交于原点，无论a为何值，直线x+ay=3总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，
所以a≠±1，
故选：A．
【变式4-1】（2022·高二课时练习）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a≠−2B．a≠±1
C．a≠−2且a≠±1D．a≠−2且a≠1
【解题思路】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得．
【解答过程】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，
若a=0，则三条直线围成三角形，
若a≠0，则a1≠1a，a1≠11，解得a≠±1，
a≠±1时，由ax+y+1=0x+y+a=0，得x=1y=−(a+1)，代入x+ay+1=0得1−a(a+1)+1=0，a=1或a=−2，因此a≠−2
综上：a≠±1且a≠−2．
故选：C．
【变式4-2】（2022秋·新疆喀什·高二校考阶段练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1B．13C．﹣2D．﹣1
【解题思路】分析可得直线l1,l2一定相交，联立两方程，求得交点坐标为(1,2)，当a=0时，直线l3为x=3，分析可得不满足题意，当a≠0时，当直线l3分别与直线l1、l2平行时，以及过直线l1,l2交点(1,2)时，均满足题意，分别求解，即可得答案.
【解答过程】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为−12，所以直线l1,l2一定相交，交点坐标是方程组3x−y=1x+2y=5的解，解得交点坐标为：(1,2).
当a=0时，直线l3与x轴垂直，方程为：x=3不经过点(1,2)，所以三条直线能构成三角形；
当a≠0时，直线l3的斜率为：1a.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即1a=3⇒a=13，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即1a=−12⇒a=−2，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l3过直线l1,l2交点(1,2)时，三条直线不能构成三角形，即有1−2a−3=0⇒a=−1，所以实数a的取值不可能为1.
故选：A.
【变式4-3】（2022秋·浙江金华·高二期中）已知三条直线ax+2y+8=0、4x+3y=10和2x−y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【解题思路】由三条直线过同一点，求得a，并判断不重合即得．
【解答过程】由已知得三条直线必过同一个点，则联立4x+3y=102x−y=10，解得这两条直线的交点为(4，−2)，
代入ax+2y+8=0可得a=−1，此时没有两条直线重合．
故选：A.
【知识点2 距离公式】
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
4．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型5 两点间的距离公式的应用】
【例5】（2023秋·广西防城港·高二统考期末）已知点A0,3,B3,−1，则AB为（ ）
A．5B．26C．32D．4
【解题思路】由距离公式求解.
【解答过程】AB=0−32+3+12=5.
故选：A.
【变式5-1】（2023秋·高二课时练习）已知点A−2,−1，Ba,3，且AB=5，则a的值为
A．1B．−5C．1或−5D．−1或5
【解题思路】利用两点间距离公式构造方程求得结果.
【解答过程】由题意知：AB=a+22+3+12=5，解得：a=1或−5
故选：C.
【变式5-2】（2023秋·高二课时练习）已知A(−1,2),B(0,4)，点C在x轴上，且AC=BC，则点C的坐标为（ ）
A．−112,0B．0,−112C．0,112D．112,0
【解题思路】设Ca,0，因为AC=BC，由两点间的距离公式求解即可.
【解答过程】因为点C在x轴上，设点Ca,0，则AC=BC，
所以a+12+22=a2+42，
化简可得：a=112，所以C112,0.
故选：D.
【变式5-3】（2022·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都不是
【解题思路】计算出AB,BC,AC，由此确定三角形的形状.
【解答过程】AB=−3−32+0+22=210，
BC=−1−32+2+22=42，
AC=−1+32+2−02=22，
AC2+BC2=AB2，
所以三角形ABC是直角三角形.
故选：C.
【题型6 点到直线的距离公式的应用】
【例6】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线3x+4y−2=0的距离是（ ）
A．1B．2C．5
【解题思路】直接利用点到直线的距离公式得到答案.
【解答过程】d=3+4−232+42=55=1，
故选：A.
【变式6-1】（2023秋·高二课时练习）已知A(4,0)到直线4x−3y+a=0的距离等于3，则a的值为（ ）
A．−1B．−13或−19C．−1或−31D．−13
【解题思路】由距离公式，解方程得出a的值.
【解答过程】由距离公式可得，4×4−3×0+a42+32=3，即a+16=15,解得a=−1或a=−31.
故选：C.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知实数a>0,b<0，则3b−aa2+b2的取值范围是（ ）
A．[−2,−1)B．(−2,−1)
C．(−2.−1]D．[−2,−1]
【解题思路】根据题意设直线l：ax+by=0，点A1,−3，利用点到直线的距离公式得点A到直线l的距离为d=a−3ba2+b2，由直线l的斜率不存在得d>1，由OA⊥l得dmax=2，化简即可求解.
【解答过程】根据题意，设直线l：ax+by=0恒过原点，点A1,−3，
那么点A1,−3到直线l的距离为：d=a−3ba2+b2，
因为a>0,b<0，所以d=a−3ba2+b2，且直线l的斜率k=−ab>0，
当直线l的斜率不存在时，d=a−3ba2+b2=1，所以d>1，
当OA⊥l时，dmax=OA=1+3=2，
所以1因为3b−aa2+b2=−a−3ba2+b2，所以−2≤3b−aa2+b2<−1.
故选：A.
【变式6-3】（2023秋·广东河源·高二校考期末）过点P−1,1引直线，使A2,3，B4,−5，两点到直线的距离相等，则直线方程是（ ）
A．2x+y+1=0B．x+2y−1=0
C．2x+y+1=0或4x+y+3=0D．x+2y−1=0或4x+y+3=0
【解题思路】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在，由点到直线距离公式列出方程，求出直线斜率，得到直线方程.
【解答过程】若直线斜率不存在，即x=−1，此时A2,3，B4,−5两点到直线的距离分别为3和5，故距离不相等，舍去；
若直线斜率存在时，设直线方程为y−1=kx+1，
由3k−21+k2=5k+61+k2得：k=−4或−12，
故直线方程为y−1=−4x+1或y−1=−12x+1，
整理得4x+y+3=0或x+2y−1=0.
故选：D.
【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】
【例7】（2023秋·高二课时练习）两条平行直线2x−7y+8=0与2x−7y−6=0间的距离为（ ）
A．5314B．2C．14D．145353
【解题思路】由距离公式求解即可.
【解答过程】由距离公式可知，所求距离为d=8−−622+−72=145353.
故选：D.
【变式7-1】（2023春·河南驻马店·高二校考期中）已知a<0，若直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：x+a+1y−4=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．724B．522C．5D．5或724
【解题思路】根据题意结合两直线平行求得a=−2，再代入两平行线间距离公式运算求解.
【解答过程】若直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：x+a+1y−4=0平行，则aa+1−2=0，解得a=1或a=−2，
当a=1时，直线l1：x+2y+1=0与直线l2：x+2y−4=0平行；
当a=−2时，直线l1：2x−2y−1=0与直线l2：x−y−4=0平行；
综上所述：若直线l1与直线l2平行，则a=1或a=−2.
∵a<0，则a=−2，此时直线l1：2x−2y−1=0，直线l2：2x−2y−8=0，
故直线l1、l2之间的距离d=−1−−822+−22=724.
故选：A.
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）与直线2x+y−1=0的距离等于55的直线方程为
A．2x+y=0B．2x+y−2=0
C．2x+y=0或2x+y−2=0D．2x+y=0或2x+y+2=0
【解题思路】本题考查平行直线间的距离公式．
【解答过程】设直线方程为2x+y+c=0，两平行直线间的距离为d=c+15，解得c=0或-2．
直线的方程为 2x+y=0或2x+y−2=0
故选C．
【变式7-3】（2023秋·重庆渝北·高二校考期末）已知直线l1:2x+y+n=0，l2:4x+my−4=0互相平行，且l1,l2之间的距离为355，则m+n=（ ）
A．−3或3B．−2或4C．−1或5D．−2或2
【解题思路】先根据两直线平行由系数的关系求出参数m，然后由平行线间的距离公式求出参数n，最后由m+n即可求出答案.
【解答过程】由l1//l2可得2×m=1×4，解得m=2，
则直线l2的方程为2x+y−2=0，
由n+25=355，即n+2=3，解得n=1或n=−5，
故m+n=2+1=3或m+n=2−5=−3，即m+n=±3.
故选：A.
【题型8 与距离有关的最值问题】
【例8】（2023春·上海宝山·高二校考开学考试）点M2,1到直线l:2λ+1x+1−λy+3=0,λ∈R的距离的最大值为（ ）
A．355B．5C．3D．32
【解题思路】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.
【解答过程】由直线l:2λ+1x+1−λy+3=0,λ∈R，整理可得2x−yλ+x+y+3=0，
令2x−y=0x+y+3=0，解得x=−1y=−2，
点M2,1到直线l距离的最大值为点M2,1到定点−1,−2的距离，则2+12+1+22=32，
故选：D.
【变式8-1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线l1:λ+2x+1−λy+2λ−5=0，l2:k+1x+1−2ky+k−5=0，且l1//l2，当两平行线距离最大时，λ+k=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】求出l1,l2恒过的定点A,B，故l1，l2距离的最大值为AB=5，所以−λ+21−λ=−k+11−2k=−1kAB=2，求解即得出答案.
【解答过程】l1:λx−y+2+2x+y−5=0，由x−y+2=02x+y−5=0，
解得x=1y=3，故l1过定点A1,3．
l2:kx−2y+1+x+y−5=0，由x−2y+1=0x+y−5=0，
解得x=3y=2，故l2过定点B3,2，
故l1，l2距离的最大值为AB=5．
此时，−λ+21−λ=−1kAB=2，则λ=4，−k+11−2k=2，
解得k=1，故λ+k=5．
故选：C．
【变式8-2】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：mx+ny=0mn>0，点A1,2，则点A到直线l的距离的取值范围为（ ）
A．0,2B．1,5C．1,2D．0,5
【解题思路】由题意可确定直线l：mx+ny=0mn>0，则直线过原点，且斜率为−mn<0，由此可确定点A1,2到直线l的距离大于1，再确定当l与OA垂直时，点A到直线l的距离最大，即可求得答案.
【解答过程】由题意直线l：mx+ny=0mn>0，则直线过原点，且斜率为−mn<0，

当直线l无限靠近于y轴时，点A1,2到直线l的距离无限接近于1，
故点A1,2到直线l的距离大于1，
当l与OA垂直时，点A到直线l的距离最大，最大值为12+22=5，
故点A到直线l的距离的取值范围为1,5，
故选：B.
【变式8-3】（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知0≤x≤1,0≤y≤1，则x2+y2+x2+(1−y)2+(1−x)2+y2+(1−x)2+(1−y)2的最小值为（ ）
A．2B．22C．2+2D．3
【解题思路】利用两点间距离公式及线段和的性质求解.
【解答过程】如图，设P(x,y)，O(0,0)， A(0,1)，B(1,1) ，C(1,0)
x2+y2表示点P(x,y)与O(0,0)之间的距离；
x2+(1−y)2表示点P(x,y)与A(0,1)之间的距离；
(1−x)2+y2表示点P(x,y)与C(1,0)之间的距离；
(1−x)2+(1−y)2表示点P(x,y)与B(1,1)之间的距离；
所以x2+y2+x2+(1−y)2+(1−x)2+y2+(1−x)2+(1−y)2
=PO+PA+PB+PC，
其中P(x,y)是以1为边长的正方形OABC内任意一点，
PO+PB≥OB=2，PA+PC≥AC=2；
故PO+PA+PB+PC≥22，
当且仅当时，x=y=12，等号成立，所以原式的最小值为22.
故选：B.
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行