人教版七年级上册第一章 有理数综合与测试复习练习题

2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

1.5  有理数的乘方

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题型变式

【题型1】有理数的乘方运算

1．（2022·江苏·七年级）下列各组数中，相等的是（　　）

A．23和32 B．（﹣3）3和﹣33

C．（﹣3）2和﹣32 D．﹣（﹣2）和﹣|﹣2|

【答案】B

【解析】

【分析】

根据有理数的乘方，相反数和绝对值分别计算各选项中的数，从而得到答案．

【详解】

解：A选项，8和9，故该选项不符合题意；

B选项，﹣27和﹣27，故该选项符合题意；

C选项，9和﹣9，故该选项不符合题意；

D选项，2和﹣2，故该选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了有理数的乘方，相反数和绝对值，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．

【变式1-1】

2．（2022·江苏·七年级）计算：＝_______．

【答案】25

【解析】

【分析】

根据负数的平方是正数来求解．

【详解】

解：（﹣5）2

＝（﹣5）×（﹣5）

＝25．

故答案为：25．

【点睛】

本题主要考查了有理数乘方，理解有理数乘方的运算法则是解答关键．

【题型2】科学计数法

1．（2021·贵州遵义·一模）2020年遵义市国民生产总值超过3720亿元，将数3720亿用科学记数法表示正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a、n的值即可．

【详解】

解：由题意知：3720亿=372000000000=3.72×1011，

故选D．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．

【变式2-1】

2．（2021·湖北襄阳·一模）截上止2021年4月21日，据中国票房知襄阳人贾玲自编自导自演的电影《你好，李焕英》实时票房累计：54.08亿元，数值54.08亿用科学记数法可表示为 _____．

【答案】5.408×109

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【详解】

解：54.08亿＝5408000000＝5.408×109．

故答案为：5.408×109．

【点睛】

本题考查了科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键．

【题型3】近似数

1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）数3.14159精确到百分位约为（       ）．

A．3.14 B．3.15 C．3.141 D．3.142

【答案】A

【解析】

【分析】

精确到百分位看百分位后面的千分位上的数按四舍五入的方法直接得到答案，

【详解】

解：≈．

故选A．

【点睛】

本题考查的近似数的精确度，掌握四舍五入的方法是关键．

【变式3-1】

2．（2022·黑龙江·绥化市第八中学校期中）用四舍五入法将3.145 9精确到百分位的近似值为 __________

【答案】3.15

【解析】

【分析】

利用四舍五入法可以将3.1459精确到百分位，进而得出答案．

【详解】

解：3.1459≈3.15（精确到百分位）．

故答案为：3.15．

【点睛】

本题考查了近似数，解决本题的关键是明确题意，利用四舍五入法进行解答．

【题型4】有理数乘方的逆运算

2．（2022·全国·七年级课时练习）计算的结果是（　　）

A．9 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据乘方的逆运算进行计算．

【详解】

解：原式=

故选B

【点睛】

本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键．

【变式4-1】

2．（2022·江苏南京·七年级期末）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（       ）

A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489

【答案】A

【解析】

【分析】

根据有理数的乘方运算求出x、y即可解答．

【详解】

解：∵x、y、z是三个连续的正整数，

∴y=x+1，

∵x2＝44944=2122，

∴x=212，

∴y=213，

∴y2=2132=45 369，

故选：A．

【点睛】

本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键．

【题型5】乘方的应用

1．（2022·云南昆明·模拟预测）已知m，n都是实数，若，则__________．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据题意直接由绝对值和平方的非负性进行分析计算即可.

【详解】

解：由绝对值和平方的非负性可得：．

又∵，

∴，故．

故答案为：.

【点睛】

本题考查绝对值和平方的非负性，熟练掌握绝对值和平方的非负性即可解决问题.

【变式5-1】

2．（2022·全国·七年级课时练习）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（　　）

A．3 B．9 C．7 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．

【详解】

解：已知31=3，末位数字为3，                    

32=9，末位数字为9，                    

33=27，末位数字为7，                    

34=81，末位数字为1，                    

35=243，末位数字为3，                    

36=729，末位数字为9，                    

37=2187，末位数字为7，                    

38=6561，末位数字为1，                    

…                    

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，                    

又2021÷4=505…1，

所以32019的末位数字与33的末位数字相同是3．                    

故选:A．

【点睛】

此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．

【题型6】含乘方的有理数混合运算

1．（2022·陕西渭南·七年级期末）计算：｜-（-）2-｜+（-1）1000+1÷（-0.25）

【答案】

【解析】

【分析】

先计算乘方，再计算绝对值内的减法、除法，然后化简绝对值，计算加减法即可得．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．

【变式6-1】

2．（2021·吉林辽源·七年级期末）．

【答案】-3

【解析】

【分析】

先求绝对值，计算括号内的，乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．

【详解】

解：原式=12×（-）+（-18）÷9

=-1-2

=-3

【点睛】

本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和法则是解题的关键．

专项训练

一．选择题

1．（2019·北京·中考真题）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（        ）

A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．139×103

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．

故选C．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．（2021·浙江温州·中考真题）计算的结果是（       ）

A．4 B． C．1 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用乘方公式计算即可．

【详解】

解：∵，

故选：A．

【点睛】

本题考查了有理数的乘方运算，解决本题的关键是牢记乘方概念和计算公式，明白乘方的意义是求n个相同因数积的运算即可．

3．（2022·全国·七年级课时练习）下列计算结果为负数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，即可一一判定．

【详解】

解：A、，结果为正数，故该选项不符合题意；

B、，结果为正数，故该选项不符合题意；

C、，结果为负数，故该选项符合题意；

D、，结果为正数，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．

4．（2022·全国·七年级课时练习）计算的结果是（            ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．

【详解】

解：，

=

=，

=，

=，

故选：D．

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．

5．（2022·全国·七年级）有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（       ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【解析】

【分析】

由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答案．

【详解】

解：①；故①错误；

②；故②错误；

③；故③正确；

④；故④正确；

故选：C．

【点睛】

本题考查了有理数的加减乘除、乘方的运算法则，解题的关键是正确掌握运算法则进行判断．

二、填空题

6．（2017·山西·九年级专题练习）计算 的结果为________________．

【答案】2

【解析】

【分析】

原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果．

【详解】

原式，

故答案为2.

【点睛】

本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是注意运算法则：先乘除后加减.

7．（2022·全国·七年级）若│x＋3∣＋(y－2)=0，则=_________．

【答案】-1

【解析】

【分析】

直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．

【详解】

解：∵∣x＋3∣＋(y－2)=0，

∴x+3=0，y-2=0，

∴x=-3，y=2，

∴==-1，

故答案为：-1．

【点睛】

此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．

8．（2020·山东·玉山镇初级中学七年级阶段练习）数字0.064精确到了_____位．

【答案】千分

【解析】

【分析】

根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，即可得出答案．

【详解】

解：数字0.064精确到了千分位，

故答案为：千分．

【点睛】

此题考查了近似数，掌握近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位是本题的关键，是一道基础题．

9．（2018·湖南湘西·中考真题）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算或笔算）

【答案】2

【解析】

【详解】

【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．

【详解】将x=2代入得：

3×22﹣10=12﹣10=2，

故答案为2．

【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．（2020·全国·单元测试）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入的数是20，而结果不大于100时，应把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为________．

【答案】320．

【解析】

【分析】

把20代入程序中计算，判断结果与100大小，依此类推即可得到输出结果．

【详解】

解：把20代入程序中得：，

把代入程序中得：，

把80代入程序中得：，

把代入程序中得：，

则最后输出的结果为320；

故答案为：320．

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．（2021·全国·七年级期中）若、互为相反数，c、d互为倒数，则＝_______．

【答案】-2

【解析】

【分析】

利用相反数，倒数的性质确定出a+b，cd的值，代入原式计算即可求出值．

【详解】

解：根据题意得：a+b=0，cd=1，

则原式=0-2=-2．

故答案为：-2．

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

三、解答题

12．（2020·辽宁大连·七年级期中）计算：．

【答案】3

【解析】

【分析】

根据有理数混合运算的顺序计算即可．

【详解】

解：

=

=

=-1+4

=3．

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．

13．（2022·全国·七年级课时练习）计算

(1)

(2)

【答案】(1)－7

(2)

【解析】

(1)

解：

．

(2)

解：

．

【点睛】

本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．

14．（2019·河北·中考真题）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果．

（1）计算：；

（2）若请推算□内的符号；

（3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．

【答案】（1）-12；（2）-；（3）-20，理由详见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据有理数的加减法法则解答即可；

（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；

（3）先写出结果，然后说明理由即可．

【详解】

（1）1+2﹣6﹣9=3﹣6﹣9=﹣3﹣9=﹣12；

（2）∵1÷2×6□9=﹣6，∴16□9=﹣6，∴3□9=﹣6，∴□内的符号是“﹣”；

（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20，∴这个最小数是﹣20．

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键．

15．（2019·全国·七年级课时练习）阅读材料：

求1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019的值．

解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019，

将等式两边同时乘以2，得

2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22019＋22020，

将下式减去上式得2S－S＝22020－1，

请你仿照此法计算：

(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210；

(2)1＋3＋32＋33＋34……＋3n(其中n为正整数)．

【答案】（1）211－1；（2）(3n＋1－1)

【解析】

【分析】

（1）仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可；

（2）仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可．

【详解】

(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，将下式减去上式得2S－S＝211－1，即S＝211－1，则1＋2＋22＋23＋24＋……＋210＝211－1　

(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①，两边同乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②，②－①得：3S－S＝3n＋1－1，即S＝(3n＋1－1)，

则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝(3n＋1－1)

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．