高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.4 函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质第一课时课时练习

课时跟踪检测(四十六)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

[A级　基础巩固]

1．若函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图象，则(　　)

A．f(x)＝cos 2x　　　　　 B．f(x)＝sin 2x

C．f(x)＝－cos 2x  D．f(x)＝－sin 2x

解析：选A　依题意得f(x)＝sin＝sin＝cos 2x.故选A.

2．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　)

A．2　　　 B．  

C．4　　　　 D.

解析：选B　由题意可知得到图象的解析式为y＝cos x，所以ω＝.

3．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，则最终所得函数图象对应的解析式为(　　)

A．y＝cosx　　　　　　 B．y＝sin 2x

C．y＝sinx  D．y＝cos 2x

解析：选D　函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos 2x的图象．

4．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数f(x)的图象，只需将函数g(x)＝sin ωx的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

解析：选A　由f(x)的最小正周期是π，得ω＝2，即f(x)＝sin＝sin，因此它的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到．故选A.

5．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin能构成“和谐”函数的是(　　)

A．f(x)＝sin

B．f(x)＝2sin

C．f(x)＝sin

D．f(x)＝sin＋2

解析：选D　将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝sin＋2的图象，故选D.

6．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的曲线对应的解析式为________．

解析：y＝sin 2xy＝sin 2.

答案：y＝sin

7．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．

解析：A＝3>1，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y＝3sin的图象．

答案：伸长　3

8．已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．若g＝，则f的值为________．

解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin 2x.将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x．∵g＝，∴g＝Asin ＝A＝，∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x.∴f＝2sin＝2sin ＝2×＝.

答案：

9．已知函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，求函数y＝f(x)的解析式．

解：y＝2sin x的图象

y＝2sin的图象

即f(x)＝－cos 2x.

10．已知函数f(x)＝2sin，将函数f(x)图象上点的横坐标伸长为原来的4倍，再向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象．

(1)画出函数g(x)在上的大致图象；

(2)求函数f(x)在上的单调递减区间．

解：(1)将函数f(x)的图象的横坐标伸长为原来的4倍，得到y＝2sin的图象，

再向右平移个单位长度后，得到g(x)＝2sin－]＝2sin的图象，列表如下：

故函数g(x)在上的大致图象如图所示．

(2)令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，

得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0，得≤x≤，令k＝1，得≤x≤，

故函数f(x)在上的单调递减区间为和.

[B级　综合运用]

11．为了得到函数g(x)＝cos的图象，只需将函数f(x)＝sin图象上所有的点(　　)

A．横坐标缩短到原来的

B．横坐标伸长到原来的倍

C．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度

D．横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度

解析：选A　由题可得f(x)＝sin＝sin＝cos，故只需将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的，即可得到函数g(x)＝cos的图象．故选A.

12．(多选)已知曲线C1：y＝sin x，C2：y＝sin，下列说法中正确的是(　　)

A．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C2

B．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C2

C．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2

D．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2

解析：选BD　由函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到y＝sin，故A错误，B正确．

由函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到y＝sin 2x，再向左平移个单位长度，得到y＝sin 2＝sin，故C错误，D正确．

13．给出下列六种图象变换的方法：

①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；

②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；

③图象向右平移个单位长度；

④图象向左平移个单位长度；

⑤图象向右平移个单位长度；

⑥图象向左平移个单位长度．

请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin的图象，那么这两种变换正确的标号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)

解析：y＝sin x的图象y＝sin的图象y＝sin的图象，或y＝sin x的图象y＝sin 的图象y＝sin＝sin的图象．

答案：④②或②⑥

14．设f(x)＝4sin＋.

(1)求f(x)在上的最大值和最小值；

(2)把y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调减区间．

解：(1)当x∈时，2x－∈.

当x＝0时，函数f(x)有最小值，

f(x)min＝f(0)＝4sin＋＝－；

当x＝时，函数f(x)有最大值，

f(x)max＝f＝4sin＋＝4＋.

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝4sin＋的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝4sin＋的图象，

所以g(x)＝4sin＋.

由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.

所以g(x)的单调减区间是(k∈Z)．

[C级　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω＞0.

(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；

(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个对称中心，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．

解：(1)因为ω＞0，

根据题意有⇒0＜ω≤.

所以ω的取值范围是.

(2)由f(x)＝2sin 2x可得，g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，

g(x)＝0⇒sin＝－⇒x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，

即g(x)的对称中心间隔依次为和，

故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个对称中心，

则b－a的最小值为14×＋15×＝.