初中沪科版24.3.1 圆周角定理课时练习

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题24.7圆周角

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021秋•香坊区校级月考）如图，已知是的直径，于点，，则的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】由垂径定理知，再根据圆周角定理可得答案．

【解析】，，

，

则，

故选：．

2．（2021秋•射阳县月考）如图，点、、是上的三个点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】利用圆周角定理即可解决问题．

【解析】，，

，

故选：．

3．（2021•中江县模拟）如图，是直径，是的弦，如果，则的大小为　　

A． B． C． D．

【分析】根据圆周角定理得出，，求出的度数即可．

【解析】是的直径，

，

，

，

，

故选：．

4．（2021•镇江一模）如图，在中，，点在劣弧上，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】根据圆周角定理得出，求出的度数，再求出答案即可．

【解析】，

，

，

，

故选：．

5．（2021•潍城区二模）如图，是的直径，，是上的两点，且点为优弧的中点，连接，，，与交于点．若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和得出，根据圆心角、弧的关系得到，则，再根据邻补角的定义求解即可．

【解析】连接，

，

，

，

，

，

点为优弧的中点，

，

，

，

故选：．

6．（2020秋•兴化市期末）如图，点，，在上，且，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】在优弧上任取一点，连接，，先由圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理求出的度数即可．

【解析】优弧上任取一点，连接，，

四边形内接与，，

，

．

故选：．

7．（2020秋•耿马县期末）如图，点，，，在圆，是圆的直径，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】先由圆周角定理得到，再由直角三角形的性质得出，然后由圆周角定理即可得出答案．

【解析】是的直径，

，

，

．

故选：．

8．（2019•长春模拟）如图，把一张圆形纸片折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则所对圆心角的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】如图，作于，连接．由，推出即可解决问题．

【解析】如图，作于，连接．

由题意，

，

，

，

，

，

，

故选：．

9．（2021•贵港）如图，点，，，均在上，直径，点是的中点，点关于对称的点为，若，则弦的长是　　

A． B．2 C． D．1

【分析】连接、、、、，过点作于点，根据圆内接四边形的性质得，根据对称以及圆周角定理可得，由点是的中点可得，，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．

【解析】连接、、、、，过点作于点，

，

，

点关于对称的点为，

，

，

点是的中点，

，

，

，，

，，

直径，

，

，

．

故选：．

10．（2021•武汉）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点，再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是　　

A． B． 

C． D．

【分析】如图，连接，，．证明，利用三角形内角和定理求出，可得结论．

【解析】如图，连接，，．

，

，

，

，

，

，

，

是直径，

，

，

，

，

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021•惠山区模拟）如图，已知的直径为，、、三点在上，且，则长　　．

【分析】连接，．证明是等边三角形即可．

【解析】连接，．

，，

，

，

是等边三角形，

，

故答案为．

12．（2021•东莞市一模）如图，四边形是的内接四边形，对角线是的直径，，，则的半径长为　　．

【分析】利用圆周角定理得到，，则可判断为等腰直角三角形，所以，从而得到的半径长．

【解析】是的直径，

，

，

为等腰直角三角形，

，

的半径长．

故答案为．

13．（2019秋•金坛区期中）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则　55　．

【分析】先利用圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解．

【解析】，

，

．

故答案为55．

14．（2020秋•香坊区期末）如图，是四边形的外接圆，是的直径，，，，则的长为　　．

【分析】先根据圆周角定理得到，，再利用勾股定理计算出，然后判断为等腰直角三角形，从而根据等腰直角三角形的性质可计算出的长．

【解析】是的直径，

，

在中，，

，

，

为等腰直角三角形，

．

故答案为．

15．（2021秋•海陵区校级月考）如图，半径为3的中，弦，，设，，则　36　．

【分析】如图，过点作于点交于点．证明，推出，再根据，可得结论．

【解析】如图，过点作于点交于点．

，，

，

，，

，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

，

．

故答案为：36．

16．（2021•铁岭三模）如图，点，，是上三点，，，垂足为，，则的半径的长为 　　．

【分析】连接，，根据三角形内角和得出，根据圆周角定理得出，进而得到为等腰直角三角形，解直角三角形即可得解．

【解析】连接，，

，，

，

，

，

为等腰直角三角形，

，

，

在中，，，

，

，

故答案为：．

17．（2021秋•海陵区校级月考）如图，点在以为直径的半圆内，连接、，并延长分别交半圆于点、，连接、并延长交于点，作直线，下列说法：①；②平分；③；④平分．其中一定正确的序号为 　①③　．

【分析】①③正确，根据是直径，推出，推出，，推出．②④错误，用反证法说明即可．

【解析】是直径，

，

，，

，故①③正确，

假设平分，则，显然不符合题意，

故②错误，

同法④错误，

故答案为：①③．

18．（2019•无锡模拟）为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则线段的长为　　．

【分析】连接，，根据圆周角定理可得出，，故是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．

【解析】连接，，

，

，，

是等腰直角三角形．

，

，

．

故答案为：

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021秋•东台市月考）如图，的直径的长为10，弦的长为6，的平分线交于点．

（1）求弦的长；

（2）求弦的长；

（3）求的长．

【分析】（1）利用勾股定理求解即可．

（2）证明是等腰直角三角形，可得结论．

（3）作于，如图，求出，，可得结论．

【解析】

解：（1）为的直径，

，

在中，，，

；

（2）为的直径，

，

的平分线交于，

，

，

为等腰直角三角形，

；

（3）作于，如图，

，

为等腰直角三角形，

，

在中，，

．

20．（2021秋•海淀区校级月考）如图，，为的直径，、分别交于点、，连接、．

（1）试判断与是否相等，并说明理由；

（2）如果，，求的直径．

【分析】（1）可通过连接，就是等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出，，根据圆周角定理即可得出，便可证得；

（2）设的半径为，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得解．

【解析】（1），理由如下：

连接，

为的直径，

，

，

，

，，

，

，

；

（2）为的直径，

，

，

设的半径为，

则，，

在中，，

在中，，

，

，，

，

，

或（舍去），

，

即的直径为8．

21．（2021秋•海淀区校级月考）如图，是的直径，为上一点，在上，且，的延长线与交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的度数．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是得出，再根据直角三角形的性质及三角形的内角和即可推导得解；

（2）连接并延长交于点，连接，则，，根据勾股定理得出，即可得到，结合，，进而得出，由（1）知，据此即可得解．

【解析】（1）证明：是圆的直径，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

；

（2）解：如图所示，连接并延长交于点，连接，

与都是圆的直径，，

，，

，

，

，

，

是圆的直径，

，

，

，

，

，

又，

，

．

22．（2021秋•盐都区月考）如图，是的直径，是弧的中点，于，交与点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【分析】（1）首先延长交于点，由，根据垂径定理即可得，又由是弧的中点，即可证得，然后由圆周角定理，证得，即可证得；

（2）由是弧的中点，可得，又由是的直径，即可证得，然后由勾股定理求得的长，然后利用三角形的面积，求得高的长．

【解析】（1）证明：延长交于点，

是的直径，，

，

是弧的中点，

，

，

，

；

（2）解：是弧的中点，，

，

是的直径，

，

，

，

，

，

．

23．（2021•黄冈一模）如图，在中，是上的一点，，弦，弦平分交于点，连接，．

（1）求半径的长；

（2）试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）连接、，过作于点，由圆内接四边形的性质求得，再求得，最后解直角三角形得便可；

（2）在上截取，连接，证明，再证明，得，进而得结论．

【解析】（1）连接、，过作于点，如图1，

，

，

，

，

，

，

，

故的半径为2；

（2），理由如下：

在上截取，连接，如图2，

，平分，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

，，

是等边三角形，

，

，

，

，

．

24．（2021•淅川县一模）如图，在中，，经过点，且与边，分别交于点，，点是上一点，且，连接，，．

（1）求证：；

（2）若为的直径，填空：

①当　　时，四边形为菱形；

②当　　时，四边形为正方形．

【分析】（1）先判断出，进而得出，即可得出结论；

（2）①先判断出点是的中点，再利用，点是的中点，即可得出，即可得出结论；

②先判断出，，进而得出，再判断出，即可得出，即可得出结论．

【解析】证明：（1），

，

是圆内接四边形的外角，

，

在和中，，

；

（2）如图，①连接，

是直径，

，，

四边形是菱形，

，，

，

（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），

，

（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），

，

（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），

，

，

是等边三角形，

；

故答案为：；

②四边形是正方形，

，，

，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形．

．

故答案为：．