数学九年级下册24.4.1 直线与圆的位置关系精品习题

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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】专题24.8直线与圆的位置关系姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2021•武进区模拟）已知的半径为5，点到直线的距离为3，则上到直线的距离为2的点共有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行线间的距离相等，先过点作，即可求得上到直线的距离为2的点的个数．【解析】如图，的半径为5，点到直线的距离为3，，过点作，垂足为，交于、两点，且，上到直线的距离为2的点为、、，上到直线的距离为2的点有3个，故选：．2．（2021•嘉兴）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为　　A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．【解析】的半径为，线段，，即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径，点在外，点在上，直线与的位置关系为相交或相切，故选：．3．（2021春•九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径的圆，与直线的位置关系为　　A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【分析】本题应将该点到直线的距离与半径对比即可判断．【解析】点到直线的距离为2，半径为2，则有，这个圆与直线相切．故选：．4．（2019秋•海曙区期末）平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么与轴的位置关系是　　A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是【分析】由题意可求到轴的距离为4，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解．【解析】的圆心坐标为，到轴的距离为4轴与相交故选：．5．（2020秋•中山市期末）圆的直径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是　　A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离，再与半径进行比较．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．【解析】圆的直径为13 ，圆的半径为6.5 ，圆心与直线上某一点的距离是，圆的半径圆心到直线的距离，直线于圆相切或相交，故选：．6．（2021•奉贤区二模）如图，在中，，，，点在边上，且．以点为圆心，为半径作圆，如果与的边有3个公共点，那么下列各值中，半径不可以取的是　　A．6 B．10 C．15 D．16【分析】根据勾股定理得到，求得，，过分别作于，于，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】，，，，，，，过分别作于，于，，，，，，，，，，，，当过点时，连接，根据勾股定理得，如图，以点为圆心，为半径作圆，如果与的边有3个公共点，或10或16或，故选：．7．（2019秋•扬州期中）已知圆心到直线的距离为，的半径，若是方程的一个根，则直线与圆的位置关系为　　A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定【分析】先根据是方程的一个根求出的值，再由直线和圆的位置关系即可得出结论．【解答】解是方程的一个根，．当，时，，直线于圆相交．故选：．8．（2020秋•金山区期末）如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么的半径的取值范围是　　A． B． C． D．【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解析】过点作于点，，．如果以点为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，，当直线与圆相切时，，圆与斜边只有一个公共点，圆与斜边只有一个公共点，，，当直线与圆如图所示也可以有交点，．故选：．9．（2019松江区二模）如图，在中，，，，的半径为1，已知与直线相交，且与没有公共点，那么的半径可以是　　A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由中，，，，利用勾股定理即可求得的长，又由、没有公共点，可得与外离或内含，然后利用两圆位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系求得答案．【解析】中，，，，，、没有公共点，与外离或内含，的半径为1，若外离，则半径的取值范围为：，若内含，则半径的取值范围为，与直线相交，且与没有公共点，半径的取值范围为：或．故选：．10．（2019•青浦区二模）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点，则的取值范围是　　A． B． C． D．【分析】作于，当与边相切时，圆心与重合，即；当时，与交于点，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程得出；即可得出结论．【解析】作于，如图所示：则，，，当与边相切时，切点为，圆心与重合，即；当时，与交于点，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：；以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点，则的取值范围是；故选：．二．填空题（共8小题）11．（2019秋•崇明区期末）已知中，，，．如果以点为圆心的圆与斜边有唯一的公共点，那么的半径的取值范围为　或　．【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．【解析】根据勾股定理求得，当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则．故半径的取值范围是或．故答案为：或．12．（2020•上海）在矩形中，，，点在对角线上，圆的半径为2，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是　　．【分析】根据勾股定理得到，如图1，设与边相切于，连接，如图2，设与边相切于，连接，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】在矩形中，，，，，如图1，设与边相切于，连接，则，，，，，，如图2，设与边相切于，连接，则，，，，，，，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是，故答案为：．13．（2019•静安区二模）已知在中，，，如果以点为圆心的圆与斜边有且只有一个交点，那么的半径是　　．【分析】根据等腰直角三角形的性质和直线与圆的位置关系解答即可．【解析】在中，，，以点为圆心的圆与斜边有且只有一个交点，，，即的半径是故答案为：．14．（2019•顺庆区校级自主招生）在中，，，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 　或　．【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．【解析】如图，，以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．根据勾股定理求得．分两种情况：（1）圆与相切时，即；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即．或．15．（2020秋•抚顺期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与轴的位置关系为　相交　．【分析】可先求出圆心到轴的距离，再根据半径比较，若圆心到轴的距离大于圆心距，轴与圆相离；小于圆心距，轴与圆相交；等于圆心距，轴与圆相切．【解析】依题意得：圆心到轴的距离为：半径4，所以圆与轴相交，故答案为：相交．16．（2020•东台市模拟）在矩形中，，．点为对角线上一点（不与重合），是以点为圆心，为半径的圆，当与矩形各边的交点个数为5个时，半径的范围是　　．【分析】根据与矩形各边的交点个数探索当解答个数为5个时的两个临界点的情况，分两种情况进行计算后得出半径的取值范围．【解析】如图1，当与边相切时，此时为与长方形的边有4个交点的最大临界值，设与边相切于点，连接，则，，，，，，解得，经检验是原方程的根，如图2，当与边相切前，与长方形的边有5个交点，设与边相切于点，连接，则，，，解得，经检验是原方程的根，综上所述，当半径满足时，与矩形各边的交点个数为5个，故答案为：．17．（2021•鼓楼区校级模拟）如图，中，，，，点在边上，以为直径的圆，与边有公共点，则的最小值是 　　．【分析】由题意可证，可得，可求的长，即可求的最小值．【解析】当点是切点且时，则有最小值，如图，，，，，中，，，，，设，，解得，．的最小值为．故答案为．18．（2021•高青县二模）如图，在矩形中，，，是的中点，是上一点．若以点为圆心，为半径作圆．与线段仅有一个公共点，则的长的取值范围是　或　．【分析】因为与线段仅有一个公共点，所以分两种情况进行解答，第一种．与线段相切，第二种，与线段相交，且只有一个公共点，分别画出相应的图形，借助切线的性质，直角三角形的边角关系进行解答即可．【解析】（1）当与线段相切时，如图1，设切点为，则，是的中点，，，在中，，是矩形，，，，又，，，即，，即时，与线段相切，与线段仅有一个公共点；（2）当过线段的端点时，如图2，此时与线段有两个公共点的最小临界值，，当过线段的端点时，如图3，此时与线段有一个公共点的最大临界值，此时，，因此时，与直线相交，而与线段仅有一个公共点，综上所述，当或时，与线段仅有一个公共点，故答案为：或．三．解答题（共6小题）19．如图，在中，，，，若要以为圆心，为半径画，根据下列条件，求半径的值或取值范围．（1）直线与相离．（2）直线与相切．（3）直线与相交．【分析】过作于，根据勾股定理得到，再根据三角形的面积公式得到的长，然后根据圆心到的距离与半径的关系即可得到结论．【解析】过作于，，，，，，（1）直线与相离，则的取值范围是；（2）直线与相切，则的值是；（3）直线与相交，则的取值范围是．20．（2020秋•崇川区月考）在中，，，．（1）若以点为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？（2）若直线与半径为的相切，求的值．（3）若线段与半径为的有唯一公共点，求的取值范围．【分析】（1）由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，作于，由的面积得出，即可得出结论；（2）由切线的性质和三角形面积求出即可；（3）分两种情况：①圆与相切时，即；②点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即．即可得出答案．【解析】（1），，，，是直角三角形，，作于，如图所示：由的面积得：，若以点为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系是相离；（2）若直线与半径为的相切，设切点为，则，由的面积得：，即；（3），以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．分两种情况：①圆与相切时，即；②点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即．的取值范围时或．21．（2020•丰台区模拟）如图，在中，，，，是的中点，到点的距离等于的所有点组成的图形记为，图形与交于点．（1）补全图形并求线段的长；（2）点是线段上的一点，当点在什么位置时，直线与图形有且只有一个交点？请说明理由．【分析】（1）由勾股定理易求得的长；可连接，由圆周角定理知，易知，可得关于、、的比例关系式，即可求出的长．（2）当与相切时，由切线长定理知，则，那么和就是等角的余角，由此可证得，即是的中点．在证明时，可连接，证即可．【解析】（1）如图所示，在中，，，，；连接，为直径，；，，；，； （2）当点是的中点时，与相切；证明：连接，是的中线；，；，；；，与相切．22．（2019•东台市期中）已知：平面直角坐标系中，的圆心在轴上，半径为1，沿轴上向右平移．（1）如图1，当与轴相切时，点的坐标为　和　；（2）如图2，设以每秒1个单位的速度从原点左侧沿轴向右平移，直线与轴交于点，交轴于点，问：在运动过程中与直线有公共点的时间共几秒？【分析】（1）直接可以写出当与轴相切时，点的坐标，（2）在直角三角形中，，，由勾股定理得，设经过秒后与直线相切，过点作的垂线，垂足为，；①当在直线的左边与直线相切时，，根据的成比例线段求解；②当直线的右边与直线切时，，根据的成比例线段求解．【解析】（1）已知圆的半径为1，故当与轴左侧相切时，点的坐标为，故当与右轴左侧相切时，点的坐标为，即当与轴相切时，点的坐标为和， （2），，故，设经过秒后与直线相切，作的垂线，垂足为，则；①当直线的左边与直线相切时，，，，即，解得，②当在直线的右边与直线相切时，；由得，，即，解得，在运动过程中与直线有公共点的时间共秒．23．（2020秋•铁西区期末）如图，为圆的直径，取的中点，过点作交圆于点，在的上方，连接，，点在线段的延长线上，且．（1）求的度数；（2）求直线与圆的公共点个数．【分析】（1）如图，连接，根据等腰三角形的性质得到．推出是等边三角形．得到．于是得到．（2）根据三角形的内角和定理得到．由垂直的定义得到．推出是的切线．于是得到结论．【解析】（1）如图，连接，，点为的中点，，，，是等边三角形，，；（2）如图，，，，，，是的切线，直线与的公共点个数为1．24．（2021•朝阳一模）如图，在中，，，动点从出发，沿以的速度运动，运动到停止，在整个运动过程中，经过、、三点，设运动时间为秒．（1）当时，求的半径；（2）求当为何值时，与所在直线相切．【分析】（1）过点作交于点，首先求出，当时，，此时点恰好在中点，即与点重合，可知此时是直径，即可解答；（2）过点作交于点，于，可知当与所在直线相切时，点点重合，利用特殊角的三角函数求出半径，即可解决问题．【解析】（1）过点作交于点，，，，，，，，当时，，此时点恰好在中点，即与点重合，，，经过、、三点，是的直径，的半径为；（2）如图，过点作交于点，于，，，，，，，当与所在直线相切时，点点重合，在中，由，，可得，在中，由，，得：，，，时，与所在直线相切．