人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀第1课时同步练习题

2.2 第1课时 基本不等式的证明

 基  础  练                                                                                  

      巩固新知    夯实基础

1.对x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　)

A．x＋≥2   B．x＋≤－2

C.≥ D.≥2

2.已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(　　)

A.              B.       C.    D.

3.设M＝a＋(2＜a＜3)，N＝x(4－3x)，则M，N的大小关系为(　　)

A．M＞N           B．M＜N        C．M≥N          D．M≤N

4.下列不等式的推导过程正确的是________．

①若x＞1，则x＋≥2＝2.

②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4.

③若a，b∈R，则＋≥2＝2.

5.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号)．

①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.

6.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.

7.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤1.

8.已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.

 能  力  练                                                                                

综合应用   核心素养

9.若0<a<b，a＋b＝1，则a，，2ab中最大的数为(　　)

A．a　　     B．2ab         C.   D．无法确定

10.（多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．a＋b＋≥2    B.≥      C.≥a＋b      D．(a＋b)≥4

11.已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)

A．2                 B．4             C．6           D．8

12.给出下列结论：

①若a>0，则a2＋1>a.

①若a>0，b>0，则≥4.

③若a>0，b>0，则(a＋b)≥4.

④若a∈R且a≠0，则＋a≥6.

其中恒成立的是________．

13.设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．

14.设y＝x＋，求y的取值范围．

15.已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：≥8.

16.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9.

【参考答案】

1.D 解析：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.

2.C解析：解法一：∵x＋y>2，∴<，排除D；∵＝＝>＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>，排除A.

解法二：取x＝1，y＝2.则＝；＝；＝；＝＝.其中最小．

3.A 解析：M＝a＋＝a－2＋＋2＞4，N＝x(4－3x)＝×3x(4－3x)≤×2＝4.

∴M＞N.

4.② 解析：①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．

5.③ 解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．

6.证明: 因为a，b，c都是正数，所以，，也都是正数．所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，

三式相加得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．

7.∵≤，≤，≤，

∴＋＋≤＝1.

故原不等式成立．

8.证明: ∵x，y，z都是正数，

∴x＋y≥2，y＋z≥2，z＋x≥2，

∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥2·2·2＝8xyz.

当且仅当x＝y＝z时，等号成立．

9. C 解析：选C.因为0<a<b，a＋b＝1，所以a<，

因为ab<＝，所以2ab<，则a，，2ab中最大的数为，故选C.

10. ACD 解析：选B.因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A一定成立．

因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥不一定成立，故B不成立．

因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，

所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，

所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立．

因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选B.

11.B 解析：(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2.∵(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，∴(＋1)2≥9.∴a≥4.

12.①②③ 解析：因为(a2＋1)－a＝2＋>0，所以a2＋1>a，故①恒成立．

因为a>0，所以a＋≥2，因为b>0，所以b＋≥2，所以当a>0，b>0时，≥4，故②恒成立．

因为(a＋b)＝2＋＋，又因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2，所以(a＋b)≥4，故③恒成立．

因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件，故＋a≥6是错误的．　

13.解：由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.

因此，原不等式等价于＋≥m.

要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．

因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，

当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．

所以m≤4，即m∈{m|m≤4}．

14.解：当x＞0时，y＝x＋≥2＝2.

当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”．

当x＜0时，y＝x＋＝－[(－x)＋]

∵(－x)＋≥2

∴－[(－x)＋]≤－2.

当且仅当x＝时，即x＝－1时取“＝”．

∴y的取值范围为{y|y≤－2或y≥2}．

 15.证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，所以＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，

所以≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．

16.证明: 证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，

故＝＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号)．

证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，

ab≤2＝，于是≥4，≥8，因此≥1＋8＝9.