第二章 一元二次函数、方程和不等式素养练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一

第二章一元二次函数、方程和不等式素养练习

一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    我国古代数学著作九章算术中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何”

译文：“假设有头牛、只羊，值金两；头牛、只羊，值金两．问：每头牛、每只羊各值金多少两”(    )

A.  B.  C.  D.

2.    如图，电路中电源的电动势为，内阻为，为固定电阻，是一个滑动变阻器已知消耗的电功率为当消耗的电功率最大时，，，之间的关系是(    )

A.
B.
C.
D.

3.    定义：为实数中较小的数，已知，其中均为正实数，则的最大值是．(    )

A.  B.  C.  D.

4.    对于实数，当且仅当时，规定，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为．(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

6.    十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列命题正确的有(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若，则

7.    若，，，则下列说法正确的有(    )

A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

8.    不等式，对满足恒成立，写出符合要求的一个的值可以是          ．
9.    研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，解法为：由得，令，则，所以不等式的解集为参考上述解法，已知关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为          ．
10. 2021年湖北高考中政治、地理、化学、生物按照等级赋分，规则如下：原始分按照比例转换成A，B，C，D，E五个等级，然后利用等级赋分公式将原始分转换为赋分，例如B等级赋分公式如下：，其中为原始分，为赋分，（）为各等级原始分区间的下限和上限，小王地理考了81分，等级为 B，地理B等级原始分区间为75~86，可以列式，计算出79分即为赋分，假设高考中小明地理、化学原始分均为，等级均为B，地理B等级原始分区间为a~c，化学B等级原始分区间为b~c(b≥a)，转换后，地理赋分为，化学赋分为，则          (空格处填“”或“”).
11. 孙子算经是我国南北朝时期公元世纪的数学著作在孙子算经中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个正整数为，当时，符合条件的所有有          个．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

12. 本小题分

合肥一中生活区拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一，游泳池平面图形为矩形且面积为平方米，池的四周墙继建造单价为每米元，中间一条墙壁与矩形的一边所在直线平行建造单价为每米元，池底建造单价每平方米元池壁厚忽略不计：方案二，游泳池平面图形为圆且面积为平方米，池的四周墙继建造单价为每米元，中间一条隔壁为圆的直径建造单价为每米元，池底建造单价每平方米元池壁厚忽略不计．

如采用方案一，游泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低？

方案一以最低价计算，选择哪种方案的总造价更低？

13. 本小题分

对平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：如果，那么称点是点的“上位点”，同时称点是点的“下位点”．

试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标．

设，，，均为正数，且点是点的“上位点”，请判断点是否既是点的“下位点”，又是点的“上位点”如果是，请证明；如果不是，请说明理由．

14. 本小题分
    一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好．
    若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
    若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请用数学知识说明你的理由．
15. 本小题分

已知正实数，满足．

是否存在正实数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．

求证：，并说明等号成立的条件．

16. 本小题分

设不等式的解集为，且，．
试比较与的大小；
设表示集合中的最大数，且，求的取值范围．

17. 本小题分

在一次函数的图象过，两点，关于的不等式的解集为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．

问题：已知___________，求关于的不等式的解集．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二元一次方程组的应用，属于中档题．
要求每头牛、每只羊各价值多少两金，就要分别设未知数，再根据题目所给的两个条件列方程组求解即可．

【解答】

解：设每头牛值两金，每只羊值两金，
可列方程组为
解方程组得，
所以每头牛值两金，每只羊值两金．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
由题意可得，利用基本不等式求出最值，找到等号成立的条件即可．

【解答】

解：由题意


由，
所以，
当且仅当取等号．
所以当消耗的电功率最大时，，，之间的关系是．
故答案选：．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查用基本不等式求最值的方法，属于较难题．
先利用基本不等式得到，比较与的大小即可求出的最大值．

【解答】

解：均为正实数，

，当且仅当，即时，等号成立，

当即时，，故，

当时，，

综上所述，的最大值为．

故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了不等式的解法及新定义运算，属于中档题．
根据不等式先解出，进而根据的定义即可得到答案．

【解答】

解：由

，
根据的定义可知：不等式的解集是．
故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式，对图像的观察能力，属于基础题．
根据大正方形的面积大于或等于四个直角三角形面积之和可得答案．

【解答】

解：由勾股定理可知，大正方形的边长为，
所以大正方形的面积为，
又因为每个直角三角形的面积为
根据图像特征，大正方形的面积大于或等于四个直角三角形面积之和
即
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的性质，属于中档题．
用作差法比较大小，根据选项一一判断，在选项中取判断即可．

【解答】

解：因为，所以，则，故A正确；

因为，所以，所以，故B正确；

因为且，所以

故，所以C正确；

当时，有，所以错．

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

分别对选项的式子进行分析，创造出基本不等式求最值的条件，注意一正，二定，三相等的检验．
本题考查了基本不等式在求最值上的灵活应用，属于难题．

【解答】

解：，，，，，
：，当且仅当时取等号，
，同理，
，A错误
：，
当且仅当时取等号，
的最大值为，B正确
：，
当且仅当，时取等号，
的最小值为，C正确
：，
，
当且仅当，时取等号，
，
的最大值为，D正确
故选：．

8.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】

本题主要考查根据基本不等式求最值的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型．
根据题意，得到，根据基本不等式求出即可．

【解答】

解：由得，

因为，所以，，，
则，

因此

，当且仅当，即时取等号；

为使原不等式成立，只需取的任意一个值即可．

故答案为：答案不唯一

9.【答案】或 

【解析】

【分析】

解本题的关键是新方法学习的迁移与阅读能力，灵活用替换求解，需注意的是解不等式或直接去分母易错考查逻辑推理与数学运算素养．

【解答】

解：用替换中的，
得，
可得或，
可得或，
即所求解集为或

10.【答案】​​​​​​​ 

【解析】

【分析】

本题考查不等式比较大小以及学生的信息获取能力，属于拔高题.
根据题意表示出，，利用作差法比较大小即可求解.

【解答】

解：由题意可得,解得,
,所以,
,
因为,
所以，即，
故答案为.

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．
设，，，则，，，然后对进行分类讨论可得，即可求出的取值范围，从而求出答案；

【解答】

解：  由题设，，，则，，，

当时，不存在；
当时，不存在；

当时，，满足题意；

当时，不存在；

当时，不存在，其中．

故，
解得，
即符合条件的共有个．
故答案为．

12.【答案】解：方案一：设出矩形的长为，则宽为，总造价为，

或者，

当造价为

元，当且仅当，即时取等号；

当造价为

元，当且仅当，即时取等号；

方案二：总造价元，

所以选择方案一的总造价更低．

答：游泳池的长度为米或时总造价最低；

方案一的总造价更低．

【解析】本题重点考查基本不等式的实际应用，属于拔高题．
设出矩形的长为，则宽为，总造价为，或者，然后利用基本不等式分情况求解即可；
求出方案二的总造价，对比方案一即可．
 

13.【答案】解：由题意，，
可知点的一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为．

点是点的“上位点”， 
又，，，均为正数，．
，即，
是点的“下位点”．
，即，
是点的“上位点” 
综上，既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．

【解析】本题考查新定义和比较大小，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
利用“上位点”和“下位点”的定义即可解答；
通过作差法比较大小，利用“上位点”和“下位点”的定义即可解答．
 

14.【答案】解：设窗户面积为，则地板面积为．
由题意知，解得，

又由题知，，
所以有，

所以窗户面积至少为．

设窗户面积为，地板面积为，增加的面积为．
因为，，，且，
所以，即，
所以公寓的采光效果变好了． 

【解析】本题考查了不等式的解法，考查不等式的基本性质．
设窗户面积为，列出不等式组，解出的范围即可；
根据作差法比较大小即可．
 

15.【答案】解：因为，
所以，当且仅当时取等号，
故不存在正实数，使得；

证明：由，

故

，

当且仅当，即时，等号成立．

【解析】本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．
利用基本不等式可知，即可得到结论
利用基本不等式求得的最小值为，然后求解等号成立的条件．
 

16.【答案】解：由，解得，

原不等式的解集．

，，，．

，

．

，，，．

不妨设，则，

．

又．

故最大，即．

的取值范围为．

【解析】本题考查了不等式的基本性质，利用作差法比较代数式的大小，属于中档题．
求出解集，
利用作差法比较代数式的大小即可；
不妨设，可得，放缩法可得，即可得到最大，可得结果．
 

17.【答案】解：选择，一次函数的图象过，两点，
代入可得，解得

将代入所求不等式整理得：，

解得或，
所以不等式解集为或．

选，因为不等式的解集为，

所以，解得

将代入不等式整理得，

解得或，

故原不等式的解集为或．

选，
若，解得，不符合条件；

若，解得，则，符合条件．

将代入不等式整理得，

解得或，

故原不等式的解集为或．

【解析】本题考查一元二次不等式求法，涉及一次函数性质、一元一次不等式、集合间的关系，属于基础题．
选择，利用待定系数法求出，，解具体的不等式即可；
选择，利用不等式解集与方程根的关系，求得，，解具体的不等式即可；
选择，利用集合间的关系，求得，然后解不等式即可．