【期中知识点归纳】人教A版2019 2023-2024学年高一数学 必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式（知识归纳 题型突破）试卷

第二章 一元二次函数、方程和不等式

（知识归纳+题型突破）

1.了解并掌握等式及不等式性质，或熟练运用性质判断或证明不等式大小关系，会表示不等关系．

2.掌握基本不等式的基本公式，会熟练运用基本不等式求最值及其应用．

3.掌握一元二次不等式的相关计算及其应用．

1. 等式的性质

2. 作差法比较大小关系

，，

3. 不等式的性质

4. 基本不等式

，当且仅当时取等号

其中叫做正数，的算术平均数，

叫做正数，的几何平均数

通常表达为：（积定和最小）

应用条件：“一正，二定，三相等”

5. 二次函数的图象与性质

6. 一元二次方程求根公式及韦达定理

一元二次方程求根公式

的根为：

韦达定理（根与系数的关系）

的两根为，；则

7. 解一元二次不等式

“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系

ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．

ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．

8. 解分式不等式

①             ②

③            ④

9. 解单绝对值不等式

或，

题型一 用不等式或不等式组表示不等关系及用不等式的性质求取值范围

【例1】（1）（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ）

A．且 B．且

C．且 D．且

（2）（2023春·广东揭阳·高一统考期末）已知，且，则的取值范围是      ．

巩固训练：

1．（2022·全国·高一专题练习）某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（    ）

A． B．

C． D．

2．（2023·全国·高一假期作业）已知，，则的取值范围是      ．

题型二　比较代数式大小及不等式证明

【例2】（1）（2023春·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

（2）（2023秋·陕西西安·高一统考期末）设，，则与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

（3）（2023·高一课时练习）阅读材料：

（1）若，且，则有

（2）若，则有．

请依据以上材料解答问题：

已知a，b，c是三角形的三边，求证：．

巩固训练

1．（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）已知，则（    ）

A． B． C． D．无法确定

2．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

3．（2023·高一课时练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；

（2）已知c>a>b>0，求证：

题型三　基本不等式之直接求最值

【例3】（1）（2023春·江西宜春·高一江西省丰城拖船中学校考期末）已知，，则的最大值为（    ）

A．6 B．9 C．12 D．36

（2）（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）若都是正数，且，则的最小值是      .

巩固训练

1．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

2．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知，则的最小值为          ．

题型四　基本不等式之妙用“1”求最值

【例4】（1）（2023秋·吉林延边·高一统考期末）已知，，且，则的最小值是（    ）

A．23 B．26 C．22 D．25

（2）（2023秋·河南安阳·高一统考期末）若，，且，则的最小值为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

（3）（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知，，且满足，则的最大值为（    ）

A．9 B．6 C．4 D．1

巩固训练

1．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知，且，则的最小值为            .

2．（2023秋·新疆喀什·高一校联考期末）若，且，则的最小值为        ．

3．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知正数，满足，则的最小值为          .

题型五　基本不等式之拼凑求最值

【例5】（1）（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）函数的最小值为（    ）

A．12 B．10 C．8 D．4

（2）（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

（3）（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）（多选）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

（4）（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校考期末）已知正实数，满足，则的最小值为      .

巩固训练

1．（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）若，则的最小值为          ．

2．（2023秋·天津南开·高一天津大学附属中学校考期末）已知，则的最小值为          ．

3．（2023秋·山东济南·高一校考期末）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是            ．

4．（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知，则的最小值为          .

5．（2023秋·天津静海·高一静海一中校考期末）已知，且，则的最小值是          .

题型六　基本不等式之商式分离或换元求最值

【例6】（1）（2023·全国·高一专题练习）若，则有（    ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2

（2）（2023·全国·高一专题练习）若函数在处取最小值，则（    ）

A． B．2 C．4 D．6

（3）（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为           .

巩固训练

1．（2023·全国·高一专题练习）若 ，则有（    ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值

2．（2023·全国·高一专题练习）若，则函数的最小值为           .

3．（2023秋·高一单元测试）函数的最小值为         ．

7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的最小值是      ．

题型七　基本不等式的应用

【例7】（1）（2023·全国·高一假期作业）已知，，，求证：.

（2）（2023秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.

(1)当时，求海报纸的面积；

(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

（3）（2023春·云南玉溪·高一统考期末）一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放个单位的药剂，它在海水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为（投放当天），其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．

(1)若一次投放2个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？

(2)若第一次投放4个单位的药剂，6天后再投放（第二次投放）个单位的药剂，要使第二次投放后的5天（含投放当天）能够持续有效治污，试求的最小值．

巩固训练

1．（2023·江苏·高一假期作业）已知，，，且．求证：．

2．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

3．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．

(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？

(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．

题型八　一元二次不等式的解法

【例8】（1）（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）求解下列不等式的解集：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5).

（2）（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）已知不等式的解集为,则不等式的解集为(   )

A．或 B．

C． D．或

（3）（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．

巩固训练

1．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)

2．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A．   B．{或} 

C．                     D．或

3．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）关于的不等式：

(1)当时，解关于的不等式；

(2)当时，解关于的不等式.

题型九　一元二次不等式的关联知识点综合

【例9】（1）（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知集合，非空集合.

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.

（2）（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考期末）已知，，关于x的不等式的解集为

（1）求m，n的值；

（2）正实数a，b满足，求的最小值．

巩固训练

1．（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：

已知集合，若__________，求实数的取值范围.

2．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知命题是假命题.

(1)求实数的取值集合；

(2)设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

题型十　一元二次不等式的应用

【例10】（1）（2022秋·湖北黄冈·高一校联考阶段练习）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．

（1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；

（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围．

巩固训练

1．（2022秋·北京·高一东直门中学校考阶段练习）如图所示，已知边长为的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中，.为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上.

(1)设，矩形的面积为，试写出的取值范围及与的关系式；

(2)要使矩形的面积不小于，试求的取值范围.