第三章 抽象函数的单调性与奇偶性练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

抽象函数的单调性与奇偶性

一、单选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     已知定义在R上的函数，满足，且时，，则下列说法不正确的是(    )

A.
B. 在R上单调递减
C. 若，的解集为
D. 若，则

2.     已知定义在R上函数，对任意的且，都有，若函数为奇函数，且，则(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

3.     已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，都有；③下列选项成立的(    )

A.
B. 若，则
C. 若，则
D. ，，使得

4.     已知为定义在R上的函数，对任意的，都有，并且当时，有，则(    )

A.
B. 若，则
C. 在上为增函数
D. 若，且，则实数a的取值范围为

5.     函数对任意总有，当时，，，则下列命题中正确的是(    )

A. 是偶函数
B. 是R上的减函数
C. 在上的最小值为
D. 若，则实数x的取值范围为

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

6.     设函数是定义在R上的奇函数，且若对任意的，，当时，都有成立，则不等式的解集为__________
7.     已知函数满足：，；当时，且，则不等式的解集是__________.

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

8.     本小题分
   已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有
   求的值；
   求证：在R上为增函数；
   若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.
9.     本小题分

已知函数的定义域为R，值域为，且对任意m，，都有

求的值，并证明为奇函数．

若，，且，证明为R上的增函数，并解不等式

10. 本小题分
    已知的定义域为，且满足，对任意，，都有，当时，
    求；              
    证明在上是增函数；
    解不等式
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了抽象函数的理解与应用，主要考查了函数恒等式的应用，函数奇偶性的判断、函数单调性定义的应用，对于恒等式问题，赋值法是常用的解题方法，构造函数是解题的关键，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于较难题．
构造函数，从而得到恒等式，利用赋值法取和，即可判断选项A，利用已知条件以及函数单调性的定义，即可判断选项B，将不等式转化为，然后利用的单调性去掉“g”，求解即可判断选项C，利用恒等式将，转化为表示，从而求出，即可判断选项

【解答】

解：构造函数，
因为，
则，
对于A，取，则，所以，
取，则，
即，
所以函数为奇函数，
故，
所以，
故选项A正确；
对于B，由已知条件可知，当时，，
任取，且，
则，
所以，
故函数在R上为单调递减函数，
所以函数为R上的单调递减函数，
故选项B正确；
对于C，因为，则，
由，可得，
所以，
所以，可得，解得，
故选项C正确；
对于D，因为，
所以，
，
所以，
因此，
故选项D错误．
故选：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的单调性与奇偶性，属于中档题.
由题意得，在单调递减，由为奇函数，得出在R上的单调性，设，则，，从而得出结论.

【解答】

解：由题知，函数在区间上单调递减，

函数为奇函数，则，

当时，，即，

又图象关于原点对称，则图象关于点对称，

函数在R上单调递减，

，
设，则，

，

又，函数为奇函数，
，
，
，则，
，
所以
故选

3.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查了抽象函数，不等式求解，函数的最值，函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性和数形结合思想.
结合题目条件得函数为偶函数，在上单调递减，利用偶函数在上单调递减对A进行判断，利用偶函数在上单调递减，结合题目条件得，再利用不等式求解，对B进行判断，利用题目条件作出函数的图象，再利用数形结合和不等式求解，对C进行判断，利用C的图象，结合函数的最值，对D进行判断，从而得结论.

【解答】

解：因为函数定义在R上的函数，
所以由①：，得函数为偶函数.
又因为由②知：，，当时，都有，
因此，，不妨设 ，有，即，
所以函数在上单调递减.
对于A、因为函数为偶函数，所以，
而函数在上单调递减，因此，
即，因此A正确；
对于B、因为定义在R上的偶函数在上单调递减且连续，且，
所以，解得或，因此B不正确；
对于C、因为，函数为偶函数，所以
因为函数为偶函数，在单调递减，
所以作函数的可能图象如下：

所以由，得或，因此C正确；
对于D、由C知：是函数的最大值，
因此，，使得，因此D正确，
故选

4.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性与奇偶性以及抽象函数的运用，属于中档题.
运用特殊值法和单调性定义和一元二次不等式的解法逐项进行判断即可求解.

【解答】

解：A中，令，则，即，解得，故A正确；
B中，令，则有，即，
故函数为奇函数，则，故B错误；
C中，取，，令，则，
由题得，
则，即在上单调递增，故C正确；
D中，，
，
则即为，
可知函数在R上单调递增，
则，解得，
即实数a的取值范围为，故D正确.
故选

5.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的性质，属于较难题.
首先可取、，求出，然后令，即可证得函数是奇函数，然后通过定义法判断函数的单调性，即可得出函数是R上的增函数，最后根据增函数得出函数在上的最小值为，根据求出，根据增函数性质将转化为，解不等式.

【解答】

解：取，，则，解得，

令，则，

即，且函数定义域是R，所以函数是奇函数，故A错误;

令，且，则，

因为当时，，所以，

则，

即，函数是R上的增函数，故B错误;

因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，

，，

，

故，在上的最小值为，故C正确;

，即，

因为函数是R上的增函数，

所以，，实数x的取值范围为故D正确.
故选

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意构造新函数
根据题意，设，分析可得为偶函数且在上为减函数，据此可得在上，，在上，，结合x的范围可得在上，，在，，结合函数的奇偶性，分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，设，
若函数是定义在R上的奇函数，即，
则，则为R上的偶函数，
若，则，
又由对任意的，，当时，都有成立，
则在上为减函数，
则在上，，
在上，，
则在上，，
在，，
又由为奇函数，在上，，
综合可得：的解集为，
故答案为

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的单调性，以及利用单调性解不等式，属于中档题.
赋值法令，可得，由给定的性质，证明及的单调性，再由单调性解不等式.

【解答】

解：令得；

令，则，

且，则，

即，

所以在R上单调递减.

又，
所以，即，

，

故不等式的解集是
故答案为：

8.【答案】解：由，令，则，则；
由可知，任取，，不妨设，

则，
，，，，
故此，函数为R上增函数；
由可知，

故此，，

又在R上是单调增函数，
，，令
由已知，须有，
①当时，即，在单调递增，
，
，
②当时，即时，在先递减后递增，

，即
综上， 

【解析】本题考查抽象函数条件下的函数的单调性的证明，不等式恒成立时的参数范围的求解方法．属于中档题．
利用赋值法可求解；
由已知条件结合函数单调性的定义可证明函数单调性；
由已知条件和函数单调性可得，令，须有，分情况讨论可求解a的取值范围.
 

9.【答案】解：令，得，
值域为，，，
的定义域为R，的定义域为
又，，
，
为奇函数；
任取，  且，
则 ，
，，
时，，，
，
又值域为，所以，
，
为R上的增函数；
，

又为R上的增函数，
故的解集为 

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性及不等式求解，考查分析与计算能力，属于较难题.
令，得，结合值域为，即可得结果；再由定义证明奇偶性即可.
任取，  且，可得，根据时， ，及值域为，可得，从而可证明其单调性；，由单调性可得结果.
 

10.【答案】解：对任意，，
都有，
令，
，
则
设，且，
对任意，，都有，
则，
，
，又当时，，
，即，
在上是增函数；
令，则，
令，，则，
，
结合的定义域为，恒成立，
，
 

【解析】本题考查的是抽象函数及其应用，函数的单调性证明，以及赋值法的应用，属于中档题.
由已知中，令，可得的值；
由，可得，结合时，及增函数的定义可证得结论；
令，可得，，，可得，结合的定义域为，，及中函数的单调性，可将不等式转化为一个关于x的不等式组．