第二章 一元二次函数、方程和不等式易错训练--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一

这是一份第二章 一元二次函数、方程和不等式易错训练--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二章一元二次函数、方程和不等式易错训练

一、单选题（本大题共19小题，共95.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知实数满足，，则的取值范围是   (    )
A. B. C. D.
2. 已知，且，那么的取值范围是(    )
A. B. C. D.
3. 设实数满足：，则下列不等式中不成立的是(    )
A. B.
C. D.
4. 若非零实数满足，则下列不等式成立的是(    )
A. B. C. D.
5. 给出下列命题：①；    ②；
③；    ④其中正确的命题个数是(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 下列各式中，最小值是2的为(    )
A. B.
C. D.
7. 下列命题正确的是(    )
A. 恒成立
B. 最小值为2
C. 都是正数时，最小值为4
D. 是的充要条件
8. 若，则的最小值是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 若实数a，b满足，则的最小值为(    )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
10. 若正数x，y满足，则的最大值为(    )
A. B. C. D. 1
11. 已知关于x的不等式的解集为空集，则实数t的取值范围是(    )
A. B. 或
C. D.
12. 不等式的解集是   
A. B.
C. 或 D. 或
13. 关于x的不等式恒成立的一个充分不必要条件是(    )
A. B. C. D.
14. 若不等式解集为，则(    )
A. B.
C. 或 D. 或
15. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是(    )
A. 或 B.
C. D.
16. 下列不等式中与不等式有相同解集是   (    )
A. B.
C. D.
17. 若不等式的解集为(    )
A. B.
C. D. 或
18. 不等式的解集是(    )
A. 或 B. 或
C. D.
19. 不等式的解集为.(    )
A. B. C. D.

二、多选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题有多项符合题目要求）
20. 已知实数x，y满足，，则(    )
A. B. C. D.
21. 已知，使得成立的充分不必要条件可为(    )
A. B. C. D.
22. 若非零实数a，b满足，则下列不等式中不一定成立的是  (    )
A. B. C. D.
23. 下列结论正确的是(    )
A. 当时，
B. 当时，的最小值是2
C. 当时，的最大值是1
D. 设，，且，则的最小值是
24. 下列说法中正确的有(    )
A. 不等式恒成立
B. 若，，则
C. 最小值为4
D. 存在a，使得不等式成立
25. 已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有(    )
A. B.
C. D.
26. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是(    )
A. 且
B.
C.
D. 不等式的解集是
27. 不等式的解集为，则实数m的值可能为(    )
A. B. C. D.

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）
28. 已知且，求的取值范围__________.
29. 给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，则；
④，则.
其中正确命题是__________填所有正确命题的序号
30. 已知a，，若，则ab的取值范围是__________.
31. 已知，则的最小值为______.
32. 已知非负实数a，b满足，则的最小值为__________ .
33. 已知，，且，则的最小值为__________
34. 已知x，且，则的最小值为__________.
35.  不等式的解集为R，则实数m的取值范围为__________.
36. 设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是__________；全部不等式的整数解的和为__________.

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
37. 本小题分
实数a，b满足，
求实数a，b的取值范围．
求的取值范围．
38. 本小题分
已知正数满足，求的最小值有如下解法：
解：且
，

判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．
39. 本小题分
已知关于x的不等式
若不等式的解集是，求的值；
若，，求此不等式的解集.
40. 本小题分
解下列不等式：
      
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求范围，属一般题．
设，求解m，n，再根据不等式的性质即可求解.
【解答】
解：由已知可设
，
即，解得，
故得，
则，，
故可得，
因此
故选：
  
2.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质，考查分析问题、解决问题的能力，中档题．
把设为，解出m，n，回代，然后利用不等式的性质，求出的取值范围．
【解答】
解：设，
，
，

，，
，
，

故选
  
3.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查综合法与分析法、不等式的性质，属于中档题.
利用不等式的性质，结合放缩法证明A，B，C结论成立，令，，，分别求出，比较大小可判断D不成立，即可得出结论.
【解答】
解：，，
，
，
不等式右边全部成立；
A. ，成立；
B. 由A可得：，成立；
C.，成立.
D.令，，，则，
，
即，不成立
故选
  
4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题目.
逐一判断即可.
【解答】
解：对于A，取，，则，故A不正确；
对于B，取，则，故B不正确；
对于C，非零实数满足，，，即，故C正确；
对于D，取，，则，故D不正确.
故选
  
5.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式的性质及其应用，也考查了命题的真假判断，属于基础题.
根据不等式的基本性质，对ABCD四个选项逐个判断，进而得到答案.
【解答】
解：由不等式的性质可知，只有当时，才成立，故①②都错误；
对于③，只有当且时，才成立，故③错误；
当，时，，故④错误.
所以四个命题都错误，0个正确；
故选：A
  
6.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
对每个选项，分别判断，即可得，注意使用基本不等式的条件.
【解答】
解：选项只有当时，才有
当且仅当时取等号成立，此时的最小值为2，
当时，没有最小值，因此A是错误的；
选项只有当时，才有
当且仅当时取等号不等式成立，此时的最小值为2，
当时，没有最小值，因此B是错误的；
选项因为，所以
当且仅当时取等号，因此的最小值为2，所以C是正确的；
选项因为，所以，方程无实数根，故不等式取不到等号，因此D是错误的，
故选
  
7.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判定，考查基本不等式成立条件的简单应用，以及充分不必要条件的判定，考查分析推理和运算能力，属于中档题.
根据题意，由已知条件结合基本不等式需满足“一正，二定，三相等”，对各选项进行分析，通过举反例并结合充分不必要条件的定义进行判断，即可得出答案.
【解答】
解：对于A，当时，，当且仅当时，等号成立。当时，，当且仅当时，等号成立。故A不正确；
对于B，可知，则，
当且仅当时，即，即时，等号成立，
而实际上，故B不正确；
对于C，已知，则，
而，
则，所以，当且仅当时，等号成立。
所以，故C正确；
对于D，若时，成立，当且仅当时，等号成立。
而当时，也成立，当且仅当时，等号成立。
所以是的充分不必要条件，故D不正确.
故选：
  
8.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
变形利用基本不等式即可得出．
【解答】
解： ，
 ，

，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值是 
故选
  
9.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
两次利用基本不等式和，注意等号成立的条件.
【解答】
解：因为，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以，
当且仅当即时取等号，
所以，当且仅当，
即或时取等号，
故当或时，取最小值，最小值为
故选

  
10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
【解答】
正数x，y满足，
，解得，
 
，
当且仅当，即时等号成立，
的最大值为
  
11.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查了含参的一元二次不等式的恒成立问题，需要注意二次项系数为0的特殊情况，属于中档题.
先将不等式转化为，然后对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果.
【解答】
解：
①当，即
当时，不等式化为，
其解集为空集，
因此满足题意；
当时，不等式化为，
即，其解集不为空集，
因此不满足题意，应舍去；
②当，即时．
关于x的不等式的解集为空集，
，
解得
综上可得：t的取值范围是
故选：
  
12.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题为一元二次不等式的解集，熟练掌握因式分解是解集问题的关键，属基础题.
原不等式可化为，解得或，可得答案.
【解答】
解：不等式可化为，
即，
解得或，故原不等式的解集为或
故选
  
13.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了不等式恒成立问题，考查了充分条件、必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
关于x的不等式恒成立，时，可得：；时，可得：，解得m范围，结合选项即可得到答案．
【解答】
解：关于x的不等式恒成立，
时，可得：；
时，可得：，解得
综上可得：
关于x的不等式恒成立的一个充分不必要条件是
故选：
  
14.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查不等式恒成立问题及二次不等式的求解，涉及了分类讨论思想，属于基础题.
将问题转化为不等式恒成立，然后分类讨论和求解即可.
【解答】
解：因为不等式的解集为，
所以不等式恒成立，
当即时，，不等式恒成立，所以符合题意；
当时，则，
解得，
综上可得，
故选
  
15.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式恒成立问题的求解，解题的关键是熟练应用二次函数的性质.
当时，不等式可化为不等式，显然成立；
当时，不等式恒成立，则，解不等式可求k的范围.
【解答】
解：当时，不等式可化为，显然恒成立；
当时，若不等式恒成立，
则对应函数的图象开口朝上且与x轴无交点，
则
解得：，
综上k的取值范围是，
故选
  
16.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查分式不等式与一元二次不等式的解法．
由于等价于，解得，再找出与其解集相同的不等式即可.
【解答】
解：由于，等价于，
即可等价为，
解得，即可等价于
故选：
  
17.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查分式不等式的解法.
将原不等式进行等价变形，再解之可得.
【解答】
解：，
，
，

解得，
所以不等式的解集为
故选
  
18.【答案】B 
【解析】
【分析】

对分母的正与负分类讨论，解相应的一次不等式，最后取其并集即可．
本题考查分式不等式的解法，考查分类讨论思想的应用，属于中档题．
【解答】
解：，
当，即时，，
解得：，综上知，；
当，即时，，
解得：，综上知，；
综上所述，或
不等式的解集是或
故选：
  
19.【答案】B 
【解析】
【分析】
 本题考查了分式不等式的解法，是基础题.
解分式不等式过程中一定要注意去分母时分母的正负以及其不为零的情况，故不等式两边同时乘以，最终求得正确答案
【解答】
解：由题意得，
则，
所以不等式的解集为
故选：
  
20.【答案】AC 
【解析】
【分析】
本题考查利用不等式的性质求取值范围.
分别求出x，y的取值范围，再逐项分析即可.
【解答】
解：因为，，
相加得，
所以，A正确;
因为，
相加得，解得，B错误;
因为，
所以，C正确;
因为，
所以，D错误.
故选
  
21.【答案】BCD 
【解析】
【分析】
本题考查充分、必要条件的判定，考查不等式的性质，属于中档题.
由不等式的性质及充分、必要条件的定义逐项判断即可.
【解答】
解：对于A，若，不一定有，如，，不是的充分条件，A错误;
对于B，若，必有，反之不成立，例如，，满足，但不成立，所以是成立的充分不必要条件， B正确;
对于C，若，必有，反之不成立，若，取，则，则是成立的充分不必要条件，C正确;
对于D，若，而，则必有，反之若，不一定有，则是成立的充分不必要条件，D正确;

  
22.【答案】AC 
【解析】
【分析】
本题考查不等式的基本性质，属基础题．
由，利用不等式的性质判断B，D，取，，判断A，C，可得答案．
【解答】
解：因为非零实数a，b满足，
所以，
根据不等式的基本性质有，，故B，D正确；
取，满足，
但，
故A，C不正确，
则不等式中不一定成立的是
故选  
23.【答案】AC 
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值 ，属中档题.
由基本不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，可得选项A，C正确， B，D错误.
【解答】
解：对于选项A，当时，，，
当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；
对于选项B，当时，，
当且仅当时取等号，但，等号取不到，
因此的最小值不是2，故B错误；
对于选项C，因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
即的最大值为1，故C正确；
对于选项D，因为，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D错误.
故选
  
24.【答案】BD 
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式，比较大小，属于中档题.
由题意，逐个进行判断.
【解答】
解：当，时，不等式不成立，所以A不正确；                
B.若，，则恒成立，则，故B正确；
C.，，，等号成立条件为，即，所以不满足等号成立条件，故没有最小值，故C不正确；          
D.存在，使得不等式成立，故D正确.
故选
  
25.【答案】BCD 
【解析】
【分析】
本题主要考查式子的变形及基本不等式的应用，属于中档题．
利用基本不等式逐个选项验证其正误即可．
【解答】
解：，，
，，当且仅当时取“=”，故选项A错误；
，当且仅当时取“=”，故选项B正确；
，，即，当且仅当时取“=”，故选项C正确；
，当且仅当时取“=”，故等号取不到，，故选项D正确，
故选：
  
26.【答案】ABD 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于一般题．
根据题意逐项判断即可.
【解答】
解：对于A，，，2是方程的两个根，所以，所以，所以，所以A正确；
对于B，令，由题意可知当时不等式成立，，所以B正确；
对于C，当时，，所以C错误；
对于D，由题得，因为，所以，所以，
所以不等式的解集是，所以D正确．
故选
  
27.【答案】BC 
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次不等式和二次函数恒成立问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想.
关于x的不等式的解为，可转化成不等式恒成立，然后根据二次图数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围
【解答】
解：因为不等式的解集为，
所以不等式恒成立，
当时，，即，不符合题意；
当时，对任意实数恒成立，
则，即，
解得
  
28.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查不等式性质，考查分析问题解决问题的能力，是较难题．
把设为，解出m，n，然后利用不等式的性质，求出的取值范围．
【解答】
解：设，
，，，
，
，，
，，
，
即
故答案为：
  
29.【答案】①②④ 
【解析】
【分析】
本题考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于中档题.
根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果.
【解答】
解：①若，，则，因此，即①正确；
②若，则，根据不等式性质，可得；即②正确；
③若，，满足，但不满足；③错误；
④若，则，因此，即；故④正确；
故答案为：①②④
  
30.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求取值范围，属于较难题．
先分类讨论，再根据基本不等式，即可求出ab的取值范围．
【解答】
解：，，且，
当时，
，当且仅当或时等号成立，
，当且仅当或时等号成立，
，
当时，不妨设，则，满足题意，
当时，
，
，
，
当且仅当，，或，时等号成立，
，
综上所述，ab的取值范围是
故答案为
  
31.【答案】15 
【解析】
【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
把所求式子化为，利用基本不等式，即可求出结果.
【解答】
解：因为，所以；
所以当且仅当时，等号成立
  
32.【答案】6 
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式求最值，是中档题.
对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，然后利用基本不等式求解．
【解答】
解：因为，
所以


，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为
故答案为：
  
33.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于较易题．
利用，则，再结合基本不等式即可求解.
【解答】
解：，
，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为
  
34.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：
，
当且仅当时等号成立，即，
则的最小值为，
故答案为
  
35.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查了不等式恒成立，考查了分类讨论思想，是一道基础题.
分m为0和m不为0两种情况进行讨论，综合取并集即可.
【解答】
解：①当时，，恒成立，
②时，
由题意得：，
解得：，
综合①②得：，
故答案为
  
36.【答案】或

 
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的求解，考查一元二次函数图象及其性质，属于基础题.
由题意结合函数图象可得，由0是其中一解，代入求得a，再验证即可.
【解答】
解：若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故
设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的 a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，
因为0为其中一个解，所以，即，所以，
又，所以或，
若，则不等式为，解得，因为x为整数，所以，，，，
若，则不等式为，解得，因为 x为整数，所以，，，0，1，2，所以全部不等式的整数解的和为
故答案为：或
  
37.【答案】解：，，，，
，，，；
综上可得：，；
设，
，解得，
，
，，，，
，
即 
【解析】本题考查利用不等式的性质求取值范围，属于中档题.
由不等式的同号相加法则进行化简求范围；
设，则，解得，，由不等式的性质计算即可.

38.【答案】解：错误．
①，当且仅当时等号成立，
又②，当且仅当时等号成立，
而①②的等号同时成立是不可能的，所以错误．
正确解法：因为，，且，

，
当且仅当时，等号成立，
的最小值为 
【解析】在题中所给的解法中，解答过程中两次利用基本不等式，两次的等号不能同时取得，结果取不到等号．由此得到正确的解法，已知条件是一个整式等式，求得式子是分式形式，将分式乘以整式再展开，利用基本不等式求出最值，注意等号是否能取到．
本题考查利用基本不等式求最值，要注意需要考虑的条件：一正；二定；三相等．

39.【答案】解：由题意可得，且1和5是方程的两个实数根，
所以，
解得，，
所以；
，时，不等式为，
可化为，
即；
令，解得，
所以当时，，原不等式的解集为，
当时，，原不等式的解集为，
当时，，原不等式的解集为
综上知，时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为 
【解析】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
由题意知且1和5是方程实数根，由根与系数的关系求出a、b的值，再求；
，时不等式化为，讨论与1的大小，即可写出原不等式的解集．

40.【答案】解：，
即，
由可得，所以解得，
由可得，
求交集可得原不等式的解集为
即，
化为，
即，所以，
可得且，
所以原不等式的解集为 
【解析】本题考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，属于中档题.
原不等式即，分别解不等式，最后求交集即可；
先移项通分，再将分式不等式转化为一元二次不等式，再解不等式，即可得到答案.