数(式)大小比较练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一第二章重难点突破

数(式)大小比较

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买克黄金，售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克的砝码放在天平右盘中，再出取一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金(    )

A. 大于克 B. 小于克 C. 等于克 D. 不能判断大小

2.    已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若，，则，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 由的取值确定

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

5.    多选设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.    王老师往返两地的速度分别为和，全程的平均速度为，则(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共1小题，共5.0分）

7.    两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定。则第          种购物方式比较经济．

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

8.    本小题分

如果用糖制出糖溶液，则糖的质量分数为若在上述溶液中再添加糖

Ⅰ此时糖的质量分数增加到多少？请用分式表示

Ⅱ请将这个事实抽象为数学问题，并给出证明．

9.    本小题分
   设，试比较与的大小

已知，，，且，，求证：．

10. 本小题分

设．

当时，比较的大小；

当时，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式的应用，考查了作差法比较两个数的大小，属于较难题．

由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为不妨设，先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，利用杠杆的平衡原理可得，，再利用作差法比较与的大小即可．

【解答】

解：由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为不妨设，

先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，

由杠杆的平衡原理：，，

解得，，

则，

下面用作差法比较与的大小，

，

又，，

，

顾客实际购买的黄金大于克．

故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．
根据不等式的基本性质逐步分析求解即可．

【解答】

解：因为，所以，故
因为，所以，
故，，
因为，
所以，故
故选

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查运用作差法比较大小，属于较易题．
分别用作差法比较大小即可．

【解答】

解：，
又，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，．
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查代数式比较大小的方法，属于基础题．
平方作差即可求解．

【解答】

解：依题意，

，
又因为，
所以，
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的性质，属于中档题．
利用作差法逐项比较即可得到答案．

【解答】

解：对于：，，，
，，
所以不正确；
对于，，，
，
所以，所以，所以B正确；
对于：
，
，

所以
所以C正确；
对于：，
当时，，
所以，
所以，故D不正确．
故选BC．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的实际应用，属于中档题．
设学校到家的路程为，则小王从学校到家往返的时间分别为和，则，又，利用作差法可比较大小．

【解答】

解：设学校到家的路程为，
则小王从学校到家往返的时间分别为和，
小王从学校到家往返的平均时速，
又，则，
且，
．
故选BD．

7.【答案】二 

【解析】

【分析】

本题考查均值不等式及其应用，是较难题。
设第一次和第二次购物时价格分别为，每次购，根据条件，求得按第一种策略购买的平均价格，若按第二种策略，设每次花钱元钱，则可求得按第二种策略购买的平均价格，利用作差法，即可比较，的大小，进而可求得答案．

【解答】

解：设第一次和第二次购物时价格分别为，

按第一种策略，每次购，按这种策略购物时，两次的平均价格，

若按第二种策略，第一次花元钱，能购物物品，第二次仍花元钱，能购物物品，

两次购物的平均价格，

比较两次购物的平均价格，

因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，

故答案为：二

8.【答案】解：Ⅰ 糖再添加糖，则糖的总量为，
糖溶液又加入糖，则溶液的总量为，
所以糖的质量分数为．

Ⅱ本例反映的事实实质上是数学问题，由浓度概念糖水加糖甜更甜可知：

若，则．

证明： ，
由，

得，
，即 ．

【解析】 本题主要考查不等式、不等式的应用等基础知识．
Ⅰ由题可知糖的总量为，溶液的总量为，即可得解糖的质量分数．
Ⅱ由浓度概念糖水加糖甜更甜可知，若，则根据加糖前后糖水的浓度，利用作差法得答案．
 

9.【答案】解：

，
因为，
所以，
所以；
证明：，
因为且，，
所以，
又因为，
所以，所以，
所以． 

【解析】本题考查利用作差法进行比较大小，属于基础题．
本题考查不等式的证明，利用作差法进行比较即可；
同，利用作差法进行比较即可；
 

10.【答案】解：当时，，

则
 

所以．

，则

【解析】本题主要考查了利用作差法比较两数的大小，属于基础题．
用作差法比较大小，代入，然后化简，判断它与的大小关系，进而判断的大小；

因为，则，化简可得答案．