对勾、反比例、双刀等函数--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

对勾、反比例、双刀等函数

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    函数在区间上有最大值最小值分别为(    )

A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，无最小值  

3.    若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.    已知函数，下列说法正确的是(    )

A.
B. 函数的值域为
C. 函数的单调递增区间为
D. 设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是

5.    对于函数，下列说法错误的是(    )

A. 若，则函数的最小值为
B. 若，则函数的单调递增区间为
C. 若，则函数是单调函数
D. 若，则函数是奇函数

三、填空题（本大题共1小题，共5.0分）

6.    已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

7.    本小题分

已知函数，，．

若集合为单元素集，求实数的值；

求函数在的最小值；

在的条件下，对任意，存在，使成立，试求实数的取值范围．

8.    本小题分

设函数．

证明函数在区间上是增函数；

设函数，其中，若对任意的，，都有，试求实数的取值范围．

9.    本小题分

已知函数是定义在上的奇函数，且．

求的值；

用定义法证明在上的单调性，并求出在上的最大值和最小值．

10. 本小题分

已知函数．

判断的奇偶性，并证明；

用定义证明在上为减函数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性及单调性，不等式的恒成立问题，属于中档题．
当时，可得在上单调递增，由于对任意实数，都有，即恒成立，又是定义在上的偶函数，可得，转化为，利用一次函数的性质即可得出．

【解答】

解：当时，，
在上单调递增，
对任意实数，都有，
即恒成立，
又是定义在上的偶函数，
，
，对任意实数恒成立，

解得或，
则实数的取值范围是．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数最值的求解，基本不等式的应用，属于中档题．
对函数进行变形，结合基本不等式可得到答案． 

【解答】

解：在区间上，函数，
令，由于，则，
所以，当且仅当，即时，取等号，
当时，取最小值，
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查由函数的单调性求参数，属于中档题．

【解答】

解：，
因为函数在区间上是增函数，
所以，所以．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数及函数的值域、单调性及恒成立问题，属于较难题．
根据解析式代入即可判断；利用基本不等式即可判断；根据解析式即可判断，根据数形结合即可判断．

【解答】

解：由已知，正确；
当时，
当时，，当且仅当时等号成立．
的值域为，B正确；

因为函数，所以
根据函数解析式结合对勾函数的性质可得函数在单调递减，在 单调递增，在单调递减，在单调递增，故C错误；
令，当时，取最小值，最小值为，的图象是斜率为的折线，
当时，函数的最小值在时取到，最小值为，
所以函数和的图象如图所示

所以要使恒成立，
当时，应满足，解得
当时，恒成立
当时，应满足，解得，
综上所述，的取值范围是故D正确；
故选ABD．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，奇偶性，最值等知识，属于中档题．
结合函数的性质，对选项逐一分析判断可得．

【解答】

解：选项：若，当时函数值为负，故A错误
选项：若，由对勾函数性质可知B正确
选项：若，，则函数在，是单调递增函数，而不是整个定义域上的单调函数，故C选项错误
选项：若，因为，且函数定义域关于原点对称，则函数是奇函数，故D选项正确则说法错误的是．
故选AC．

6.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查复合函数的单调性问题，属于较难题。
当时，分，，求得的范围，再由，在上单调递减，求得的范围，取交集，同理，求得的范围，再由，在上单调递减，求得的范围，取交集，最后取并集．

【解答】

解：当时，当，即时，，解得，此时，

当，即时，解得，不成立，

当，即时，，解法，不成立，

所以，

又因为，在上单调递减，

所以由对勾函数的性质得，

解得，此时，．

综上：．

当时，当，即时，，解得，不成立，

当，即时，解得，此时，

当，即时，，解得，此时，

综上：

此时，在上单调递减，

所以

综上：实数的取值范围为或

故答案为：或

7.【答案】解：由题意知，有唯一实数解，
即有两个相等的实数根，
所以，；
二次函数的对称轴为．
当，即时，在上单调递增，当时，有最小值
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值
当，即时，在上单调递减，当时，有最小值
综上：
，设时，

，
因为，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
，
当任意，存在，使成立，
存在，使成立，即，
同理上述证明易得函数在上单调递增，

的取值范围为． 

【解析】本题考查集合中元素的个数问题、不等式的恒成立问题、函数的单调性与单调区间、函数的最值，属于较难题．
根据题意得出有两个相等的实数根，利用，即可求出结果；
二次函数的对称轴为，对对称轴分类研究即可解题；
利用单调性求出，根据题意得出，即可求出结果．
 

8.【答案】解：方法一：对于任意的，，且，

当时，，即，

所以，即，

因此，函数在区间上是增函数．

方法二：对于任意的，，且，

当时， ，，
从而，

即，即，

因此，函数在区间上是增函数．

由知，在区间上是增函数，
所以，当时，的最小值是．

所以，对任意的，，都有，等价于函数在区间上的最大值不大于．
方法一：

因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上的最大值为．

由得即．

所以，实数的取值范围是．

方法二：

对任意的，都有，

即，即．

同可证函数在区间上单调递增，
从而当时，取得最大值．

所以，实数的取值范围是．

【解析】本题考查函数的单调性与单调区间、二次函数、不等式的恒成立问题．
可用定义法直接证明，在证明时，
方法一，借助反比例函数的单调性和复合函数的单调性证明，即，即可得出结论；
方法二，运用定义法中的做差法进行证明；
方法一，由的最小值是，且对任意的，，都有，转化为函数在区间上的最大值不大于，根据二次函数的性质可得在区间上的最大值为，即可得解；
方法二，转化为不等式，并借助函数在区间上单调递增直接求解．
 

9.【答案】解：由函数是定义在上的奇函数，得，
所以，
因为，所以，解得，

此时，，符合题意，
所以，；

设，

由可知，故，

所以在上单调递减，此时．

【解析】本题考查函数奇偶性，单调性，函数最值，属于中档题．
由题意得，，即可求出，，再验证即可；
由函数单调性定义可证明在上单调递减，由单调性即可求最值．
 

10.【答案】解：函数的定义域为，关于原点对称，

又，

是奇函数．

证明：设是上的任意两数，且，

则  ，

且，
 

，

即．

在上为减函数．

【解析】本题主要考查了函数奇偶性的判定以及利用定义法求证函数的单调性，属于中档题．
首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用可得是奇函数；

利用函数单调性的定义设是上的任意两数，且，讨论的符号即可证明函数在上为减函数．