数学（人教A版2019B卷）2022-2023学年高一下学期期中考前必刷卷

2022-2023学年高一下学期期中考前必刷卷

数学·全解全析

一、单选题

1．在中，，则此三角形的解的情况是（    ）

A．有两解 B．有一解 C．有无数个解 D．无解

【答案】D

【详解】如图，

则，而，∴这样的三角形无解.

故选:D.

2．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ）

A．且 B． C． D．

【答案】D

【详解】对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；

对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；

对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；

对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，

所以是成立的充分条件，故选项D正确；

故选：D.

3．已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设外接球半径为，则，解得,

将正四面体恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，

则正四面体的外接球即为正方体的外接球，

则正方体的体对角线等于外接球的直径，

故，解得，正方体棱长为 ，

故该正四面体的体积为，

故选：A．

4．一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【详解】根据题意，正四棱台是由原正四棱锥过侧棱的中点且与底面平面的平面截得的，

如下所示：

对原正四棱锥，，故其高，

又△△，其相似比为，故正四棱台的高.

故选：.

5．设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【详解】解：，是平面内不共线的两个向量，

对A，与不共线，故可以作为基底，故A错误；

对B，与不共线，故可以作为基底，故B错误；

对C，，故与共线，

不可以作为基底，故C正确；

对D，与不共线，故可以作为基底，故D错误；

故选：C.

6．如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为

A． B． C． D．1

【答案】D

【详解】选取为基底，

则，

又，

将以上两式比较系数可得．

故选D．

7．三棱锥的侧棱上分别有E，F，G，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设的面积为，设的面积为，

则，，又，

，

∴  ，

过点作平面，过点作平面，

则，∴与相似，

又，∴，

∵  ，，

∴ ，

∴ 三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是.

故选：A.

8．已知△ABC的三边为3，4，5，其外心为O，则的值为（    ）

A．-25 B． C．0 D．

【答案】A

【详解】解：如图，的三边长为3，4，5，其外心为，三角形是直角三角形，

所以为斜边的中点，

所以

故选：．

二、多选题

9．已知复数，则下列结论正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【详解】因为，所以A正确；

因为，，所以，所以B错误；

因为，所以C正确；

因为，所以，所以D正确，

故选：ACD.

10．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，，，则有两解

C．若为锐角三角形，则

D．若，，则面积的最大值为

【答案】BCD

【详解】对于A：取，，满足，但，故选项A不正确；

对于B：因为，，，由正弦定理得，即，

故，因为，所以，故为锐角或钝角，有两解，故选项B正确；

对于C：为锐角三角形，则角为锐角，由余弦定理可得：，所以，故选项C正确；

对于D：因为，，由余弦定理得：

，

当且仅当时取等号，故，所以面积，即最大值为，故选项D正确．

故选：BCD．

11．给出下列四个命题，其中正确的选项有（    ）

A．

B．若，则

C．若，则为等腰三角形

D．非零向量，满足，则与的夹角是

【答案】CD

【详解】对于A中，因为，，

例如向量与不共线时，一定有，所以A不正确；

对于B中，若，此时满足，但与不一定相等，所以B不正确；

对于C中，由，可得，

即，可得，所以为等腰三角形，所以C正确；

对于D中，由，可得，

可得，可得

又由，

可得，所以D正确.

故选：CD.

12．引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，，，下列说法正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】A．因为，所以，故正确；

B．因为，故正确；

C．，此时不恒成立，故错误；

D．因为，，

所以，

所以，且，，所以，故正确，

故选：ABD.

三、填空题

13．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则实数________.

【答案】

【详解】解：由题意可知：存在，使 ，

即，

解得：，

又，

.

故答案为：.

14．已知非零向量与满足且，若，则的面积为___________．

【答案】

【详解】

在中，取的中点为，若，

则角的平分线垂直于边，

所以是等腰三角形，且，

又因为，所以，

因为，所以，

因为，可得，

在中，，

所以的面积为，

故答案为：.

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝6，2acos C＋c＝2b，则△ABC面积的最大值是________．

【答案】

【详解】由，

得，

化简得，

又，所以，

即，

，

当且仅当b＝c＝6时，取“＝”．

故答案为：

16．锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是__________.

【答案】

【详解】，

又锐角中，，且，，

将代入上面三个不等式，

得到且，

，令，则，

所以在上单减，在上单增，

又当时，的值为，

当或时，的值为，

故答案为：

四、解答题

17．已知向量．

（1）若点不能构成三角形，求应满足的条件；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】因为，

所以，

.

（1）因为点不能构成三角形，

所以共线，

所以，即，

所以应满足的条件：；

（2）因为，

所以，解得：.

所以.

18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin2A+sin2B﹣sin2C＝sinAsinB．

（1）求cosC的值；

（2）若c＝3，a+b＝5，求a、b的值．

【答案】（1）（2）或.

【详解】（1）因为sin2A+sin2B＝sinAsinB，

所以由正弦定理得，即，即.

（2）由余弦定理得，所以，

所以，由，解得或.

19．如图，在中，为线段上一点，且.

若，求，的值；

若，，，且与的夹角为，求的值.

【答案】；.

【详解】解：若，则，

即，故.

若，则，

即，

所以

.

20．如图，四边形ABCD中，．

(1)若，求△ABC的面积；

(2)若，，，求∠ACB的值．

【答案】(1)

(2)∠ACB=

（1）

在△ABC中，，

因为，所以．

．

（2）

设，则，，．

在△ACD中，由，得．

在△ABC中，由，得．

联立上式，并由得，

整理得，所以，

因为，所以，

所以，解得，即∠ACB的值为．

21．如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为4，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点，设.

(1)若点为的中点，试求的正弦值；

(2)求面积的最大值及此时的值.

【答案】(1)；

(2)面积的最大值为，此时.

【详解】（1）如图，做，因，，则

四边形为平行四边形，则，有.

当点为的中点，又，则

，又

，则

.解得：

（2）因，则，

则，

则，其中.

，当且仅当

，即时取等号.

故面积的最大值为，此时.

22．“精准扶贫，修路先行”，为解决城市A和山区B的物流运输问题，方便B地的农产品运输到城市A交易，计划在铁路AD间的某一点C处修建一条笔直的公路到达B地．示意图如图所示，千米，千米，．已知农产品的铁路运费为每千米1百元，公路运费为每千米2百元，农产品从B到A的总运费为百元．为了求总运费的最小值，现提供两种方案建立函数关系，方案1：设千米；方案2：设．

（1）试将分别表示为关于、的函数关系式和；

（2）请只选择一种方案，求出总运费的最小值以及此时的长度．

【答案】（1）；；（2）选择见解析；千米时，总运费的最小值为百元．

【详解】（1）在△ABD中，由余弦定理得，

得，或 (舍去)

方案①：在△ABD中，由正弦定理，，得

，

在△ABC中，设，由余弦定理，

∴

方案②：在△BCD中，由正弦定理，，得

又，得，

∴

（2）若选择方案①，令，得

整理得，

由得，，得或(舍)

∴，此时

即千米时，总运费的最小值为百元

若选择方案②，令，则，得，

，得，又，∴

令，得，，时，

此时，千米

总运费的最小值为百元