数学（人教A版2019A卷）2022-2023学年高一数学下学期期中考前必刷卷

2022-2023学年高一下学期期中考前必刷卷

数学·全解全析

一、单选题

1．在中，点D是线段 (不包括端点)上的动点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设，所以，

所以，所以，

所以，所以，，

又，，

故选：B.

2．欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】根据题意，故，对应点，在第一象限.

故选：A.

3．已知向量，若与方向相同，则等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】解：向量，

若与方向相同，则，解得．

故选：D．

4．中，若，则的面积为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【详解】因为，

又

所以的面积为.

故选：A.

5．设复数满足，在复平面内对应的点到原点距离的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设，

则，所以，即，

所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

所以.

所以复平面内对应的点到原点距离的最大值是.

故选：D

6．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由正弦定理得，则，，又，则，

所以

，

，所以，所以，

所以．

故选：D．

7．已知在中，，的平分线CD把三角形分成面积比为的两部分，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】在中，由正弦定理得：

，

所以，

由角平分线定理得：，即，

又因为的平分线CD把三角形分成面积比为，

所以，即，

所以，

故选：D

8．设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设点、、，

则，，，

由可得，解得，，

所以，，，因此，.

故选：D.

二、多选题

9．已知复数，则下列结论正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【详解】因为，所以A正确；

因为，，所以，所以B错误；

因为，所以C正确；

因为，所以，所以D正确，

故选：ACD..

10．下列命题中正确的是：（    ）

A．两个非零向量，，若，则与共线且反向

B．已知，且，则

C．若，，，为锐角，则实数的取值范围是

D．若非零，满足，则与的夹角是

【答案】AD

【详解】对于A，因，是非零向量，由两边平方得，则与共线且反向，A正确；

对于B，，由得，则与可能垂直，B不正确；

对于C，依题意得，为锐角，则，即，

当时，，即，显然与不共线，则，于是得为锐角时，且，C不正确；

对于D，，是非零向量，由得，则，

，，而，于是得，

即与的夹角是，D正确.

故选：AD

11．如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】ABD

【详解】对于A：，则，故A正确；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C错误；

对于D：由于，故在上的投影为，故D正确。

故选：ABD.

12．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（    ）

A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为

B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米

C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米

D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米

【答案】ACD

【详解】对A选项，设顶角为，则，得，所以顶角为，A正确；

对B选项，因为顶角为，则截面三角形的最大面积为平方厘米，B错误；

对C选项，因为顶角为，则，所以外接球半径等于圆锥母线长，即

则该球的表面积为平方厘米，C正确；

对D选项，设球的最大半径为，因为顶角为，则，所以

，D正确．

故选：ACD

三、填空题

13．若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝________.

【答案】

【详解】因为A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a),所以

因为A，B，C三点共线，所以，故5a－16＝0，所以a＝.

故答案为：.

14．在四边形中，，，则该四边形的面积为________

【答案】5

【详解】因为，，

所以，则，

故四边形的对角线互相垂直，

所以四边形的面积为.

故答案为：5

15．如图，在四面体中，，AC与BD所成的角为60°，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长为______．

【答案】或

【详解】取的中点，连接、，

、分别为、的中点，且，

同理可得且，

为异面直线与所成的角或其补角，则或.

在中，.

若，则为等边三角形，此时，；

若，由余弦定理可得.

综上所述，或.

故答案为：或.

16．如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________.

【答案】

【详解】由已知，，，，得，

又由得，

因为，

所以

所以

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，．

（Ⅰ）若，且，求的值；

（Ⅱ）若与的夹角大小为，求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【详解】（Ⅰ）由题可知．

∵，∴，

∴，解得．

（Ⅱ）设与的夹角为．

由题可知，．

∴．

解得或．

18．已知复数，为虚数单位.

（1）求；

（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值.

【答案】（1）；（2），．

【详解】解：（1）复数

，

．

（2）复数是关于的方程的一个根，

，即

，

解得，．

19．如图，在中，，，，，.

（1）求的长；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1），，，

，，，.

；

（2），，

，

.

20．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量， ，且．

（1）求角的值；

（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）因为，所以，

由正弦定理化角为边可得，

即，由余弦定理可得，又，所以．

（2）由（1）可得，设的外接圆的半径为，

因为，，所以，

则

，

因为为锐角三角形，所以，即，

所以，所以，

所以，故的取值范围为．

21．在复平面内，是原点，，对应的复数分别为，，为虚数单位.设函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若函数在区间上有2个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】由题设知：，，

∴，则，

（1）由在上单调增，

∴在上递增，即递增区间为.

（2）由题设知：在上有2个根，而此时，

∴，即与有两个交点，

∴

22．如图，圆锥的底面半径为，母线长

(1)求该圆锥的侧面积和体积；

(2)若用细绳从底面圆上点绕圆锥一周后回到处，则此时细绳的最短长度为多少？

【答案】(1)侧面积为，体积为

(2)

(1)

因为底面半径为，母线长，

故圆锥的高为，

故圆锥的体积为，

而侧面积为.

(2)

该圆锥的侧面展开图如图所示：

该扇形的弧长为，故其圆心角为，

若用细绳从底面圆上点绕圆锥一周后回到处，

则此时细绳的最短长度为展开图中弦的长度，

由余弦定理可得，

故细绳的最短长度为.