函数值域的常见类型--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

函数值域的常见类型

一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    设，用表示不超过的最大整数则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知定义在上的函数的值域为，则函数的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知函数，，则的值域为 (    )

A.  B.
C.  D.

4.    若点在幂函数的图象上，则函数的值域是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    函数在上的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

6.    已知函数的定义域为，值域为，那么          ，          ．
7.    已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围为          ；若在上的值域为，则实数的取值范围为          ．
8.    若函数，则          ，函数的值域为          ．
9.    函数的值域为          ．

三、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

10. 本小题分
    已知为二次函数，且的两个零点为和，为幂函数，且和都经过点．
    求函数的定义域；
    当时，求函数的值域．
11. 本小题分

已知函数为偶函数．

求实数的值；

当时，若函数的值域为，求，的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的值域的应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用及转化能力，属于中档题．
按，，三类讨论，分别求函数的取值范围，从而求函数的值域，再求函数的值域即可．

【解答】

解：当时，，
当时，当且仅当时，等号成立，
故，
当时，当且仅当时，等号成立，
故，
故函数的值域为，
故函数的值域为，
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用换元法，判断二次函数的最值问题，属于中档题．
由的值域可知的值域，先用换元法设将转化为关于的二次函数，再结合二次函数的性质即可求出的值域．

【解答】

解：上的函数的值域为，则的值域也为，
故，
设，则，
，，
由二次函数的性质可知：
当时，取最大值；
当时，取最小值；
的值域为，
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数定义域与值域，函数的性质和函数的单调性与单调区间，属于基础题．
利用函数的图象得函数的值域，再利用函数的单调性求值域，计算得结论．

【解答】

解：因为由对勾函数的图象知：函数的值域为
而函数在是单调递减函数，且值域为，
所以的值域为．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的值域的求法，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由点在幂函数的图象上，求出，，从而函数，推导出，，进而求得的值域．
【解答】
解：点在幂函数的图象上，

解得，，
函数，
 

，

因为，所以，

所以，

所以函数的值域为．

故选 B．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用对勾函数求值域，属于基础题．
由题可知，由对勾函数性质得出其单调性及最值，即可得出值域．

【解答】

解：依题意，，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数有最小值，因为，
故所求值域为，
故选C．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查已知函数值域求参数，属于中档题．
根据函数的定义域为，值域的范围为，整理成关于的一元二次方程，利用判别式法进行转化求解即可．

【解答】

解：函数的定义域为，
，即，
当时，，有解，
当时，，
，
不等式的解集为，
则，且，，
，．
故答案为；．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查二次函数与分段函数的单调性，动轴动区间分类讨论求解范围，属于中档题．
由已知结合二次函数及分段函数的单调性可求的范围；由二次函数闭区间上的最值与函数在区间上单调性的关系对对称轴分类讨论可求．

【解答】

解：由题意可得，，解得，

当时，由在上的值域为可得，，

解得，舍，

又，

所以，

当时，在单调递减，此时时取得最大值，不符合题意，

故，

故答案为：；．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查根据分段函数求函数值和值域，属于中档题．
利用解析式，赋值即可求的值分段求出最小值，比较即可得解．

【解答】

解：由题意，得
当，此时最小值为；
当时，，
当且仅当时，取等号，此时最小值为，
综上，函数的值域为
故答案为．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的值域，二次函数的性质，换元法，属于中档题．
，换元转化二次函数问题，注意的取值范围，根据二次函数的性质求解．

【解答】

解：设，，，
函数可转化为，，
的图象开口方向向下，对称轴为，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又当时，，
函数的值域是，
故答案为．

10.【答案】解：设，，
又过点，
，解得，
，
设 为常数，由过点知，
，
，
，
，
解得：或，
函数的定义域为：．
令，
，，
，
当时，；当时，，
所以函数的值域为． 

【解析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，考查了二次函数的性质，是中档题．
先利用待定系数法求出函数和的解析式，
得到函数的解析式，求出函数的定义域即可．
得到函数的解析式，令，则，所以，利用二次函数的性质即可求出函数的值域．
 

11.【答案】解：根据题意，函数为偶函数，

则有对恒成立，

即对恒成立

解得；

，

当时，为增函数，则有：

即、是方程的两个根，

又由，则，则，．

【解析】本题考查函数奇偶性的应用，属中档题．
由偶函数的性质即可求出；

判断出的单调性，根据定义域和值域列出方程即可求解．