解函数不等式与函数方程--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

解函数不等式与函数方程

一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    定义在的函数满足下列两个条件：任意的都有；任意的，当，都有，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知函数，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    设为偶函数，在是单调函数，则满足的所有之和为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）

6.    函数，则下列结论正确的是(    )

A. 是偶函数 B. 的值域是
C. 方程的解只有 D. 方程的解只有

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

7.    已知函数满足，且对任意的时，恒有成立，则当时，实数的取值范围为          ．
8.    设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为          ．

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

9.    本小题分

定义在的函数满足：，

求证：；

如果，且当时，恒有

求证：在上单调递增；

解不等式：．

10. 本小题分
    已知函数．
    用定义证明：在区间上是减函数；
    解不等式．
11. 本小题分

已知为上的奇函数，当时，．

若，求的解析式；

求方程的所有实数解构成的集合．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的不等式，注意函数性质的应用，属于中档题．

满足为奇函数，满足在上单调递减，根据对称性和函数的连续性，可得在上单调递减，将不等式等价转化为自变量关系，即可求解．

【解答】

解：任意的都有，则为奇函数，
任意的，当，设，

则，
由

在上单调递减，
又为奇函数，

所以在上单调递减，故在上单调递减，
则等价于，解得，

所以不等式的解集为．

故本题选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用单调性求解不等式，属于中档题．
先判断出的单调性，再根据函数的单调性即求得不等式的解集．

【解答】

 解：由

得时，的对称轴为，

故在上单调递增，且，

时，的对称轴为，

故在上单调递增，且，

故在上单调递增，

，即，

即，

解得：，

即．

故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要函数奇偶性和单调性的性质，考查了函数的单调性和奇偶性与方程根的联系，属于基础题．
为偶函数推出，时是单调函数，所以若或，再利用根与系数的关系进行求解．

【解答】

解：为偶函数，

当时是单调函数，
又满足，
，或，
可得，或，两个方程都有解．
或，
，
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的奇偶性，利用单调性解不等式，属于中档题．
首先根据函数奇偶性与单调性，得到时，，当时，，再根据，得到不等式组或或，最后求并集得结果．

【解答】

解：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，且，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
由是定义在上的偶函数，且在上单调递减，可得在上单调递增，由，可得，对进行讨论，可得的解集．

【解答】

解：由是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
可得在上单调递增，
由，可得，
当或时，，
当或时，，
的解集为．
故选

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性、值域，函数零点与方程的根，属于中档题．
根据相关知识对给出的四个选项进行分析判断即可．
【解答】
解：，当为有理数时，有；当为无理数时，有，所以函数为偶函数，故A正确；
，由题意得函数的值域为，故B正确；
，若为有理数，则方程恒成立，若为无理数，则方程，此时无满足条件的，故方程的解为任意有理数，故C错误；
，若为有理数，则方程，此时，若为无理数，则方程，此时无满足条件的，故方程的解只有，故D正确．
故选ABD．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的对称性和单调性，属中档题．
由已知等式和是函数图象的对称轴，由已知不等式得函数的单调性，然后利用对称性和单调性解不等式．

【解答】

解：由函数满足，知函数图像关于对称，又对任意的时，恒有成立，知函数上单调递增

又

故

故答案为：

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用单调性解不等式，属于中档题．
由函数奇偶性的性质，我们根据已知中奇函数在上为增函数，且，易判断函数在，，，上的符号，进而得到不等式的解集．

【解答】

解：若奇函数在上为增函数，则函数在上也为增函数，
且，

又，

，

则当上时，，；

当上时，，；

则不等式的解集为．

故答案为：．

9.【答案】解：因为，

且，

所以；

设，则，，

，

即，

所以在上单调递增；

因为，

所以，

则不等式等价于

，

又在上单调递增，

所以，解得，

所以不等式的解集为

【解析】本题考查抽象函数的单调性，以及不等式组的求解，考查运算能力，属于较难题．
由已知得，由此即可求证；

用单调性的定义证明即可；

不等式等价于，结合单调性求解即可

10.【答案】证明：任取、，且，即，
则，
，，，，，，．
，即，
因此，函数在区间上是减函数．
由，可知为奇函数．
 由可知，函数是定义域为的减函数，
由，得，
所以，解得．
因此，不等式的解集为． 

【解析】任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数单调性的定义的应用及利用函数的单调性及奇偶性求解不等式．
 

11.【答案】解：当时，，由时，，

可得，

由为上的奇函数，可得，

则时，；

方程等价为或

解得或或，

所以．

【解析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及二次方程的解法，考查转化思想和运算能力属于中档题．

由函数的奇偶性的定义和已知函数的解析式，可得所求解析式；

对讨论，分，，结合二次方程的解法，可得集合．