2022-2023学年山东省威海市乳山市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案解析）

这是一份2022-2023学年山东省威海市乳山市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案解析），共12页。试卷主要包含了25a2C，【答案】B，【答案】D，【答案】C，【答案】A等内容，欢迎下载使用。

下列分解因式正确的是( )
A. −a+a3=−a(1+a2)B. −a2+4b2=(2b+a)(2b−a)
C. a2−4=(a−2)2D. 2a−4b+2=2(a−2b)
如果分式2xx+3有意义，那么x的取值范围是( )
A. x≠0B. x≠3C. x≠−3D. x≠0且x≠−3
多项式x2y+2xy与x2y−4y的公因式是( )
A. yB. x+2C. x−2D. y(x+2)
某班级的7名同学向贫困山区的孩子捐款，他们捐款的数额分别是50，20，50，30，25，50，55(单位：元)，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 50，20B. 50，40C. 50，50D. 55，50
下列多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. a2b2−1B. 4−0.25a2C. −a2+1D. −a2−b2
为了解某公司员工的年基本工资情况，小王随机调查了10名员工，其年基本工资(单位：万元)如下：3，3，3，4，5，5，6，7，8，20.下列统计量中，能合理反映该公司员工年基本工资中等水平的是( )
A. 方差B. 众数C. 中位数D. 平均数
小丽周二在某面包店花15元买了几个面包，周六再去买时，恰好该面包店搞优惠酬宾活动，同样的面包每个比原来便宜1元，结果小丽比上次少花了1元，却比上次多买了2个面包．若设她周二买了x个面包，根据题意可列方程为( )
A. 15x=15−1x+2−1B. 15x−1=15−1x+2
C. 15x+2=15−1x−1D. 15x=15−1x−1+2
设p=aa+1−bb+1，q=1a+1−1b+1，则p，q的关系是( )
A. p=qB. p>qC. p=−qD. p某排球队6名场上队员的身高分别为：180，184，188，190，192，194(单位：cm).现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大
若关于x的分式方程m−1x−1=2的解为非负数，则m的取值范围是( )
A. m>−1B. m≥1C. m>−1且m≠1D. m≥−1且m≠1
一组数据：−1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是______.
若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为______.
已知一组数据的方差s2=14[(x1−6)2+(x2−6)2+(x3−6)2+(x4−6)2]，那么这组数据的总和为______.
若关于x的方程m2x−x2=x−1x−xx−1有增根，则m的值为______.
当多项式−x2−12x+14存在最大值时，x的值为______.
计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×⋯×(1−120222)=______.
解方程：1x−2+3=x−1x−2.
因式分解：
(1)2m2n−nm−m3n；
(2)(x−2)(x−3)−2.
先化简，再求值：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x，其中x=−4.
甲、乙两位同学参加数学质量测试活动，各项成绩如下(单位：分)
(1)学生甲成绩的中位数是______，学生乙成绩的众数是______；
(2)如果将“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“综合与实践”四项成绩按3：3：2：2的比例确定最终成绩，通过计算说明学生甲、乙谁的成绩较高．
某工厂原计划生产24000台小型空气净化器，甲车间独立生产一半后，由于雾霾天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了15000台．为了按时完成生产任务，乙车间也加入了该小型空气净化器的生产．若乙车间每天生产的空气净化器的数量比甲车间多100台，则正好可以按时完成生产任务．求甲车间每天生产多少台空气净化器．
王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率为98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图(如图).
(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
(2)试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？
【信息阅读】
我们已经学过利用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解．其实，因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等．
①分组分解法
如：x2−2xy+y2−4=(x2−2xy+y2)−4=(x−y)2−4=(x−y+2)(x−y−2).
②拆项法
如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4=(x+3)(x−1).
【问题解决】
(1)选用上述方式对下列多项式进行因式分解：
①4x2+4x−y2+1；
②x2−6x+8.
(2)若a，b，c是△ABC的三条边，且a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，求△ABC的周长．
【特例观察】
11×2=1−12；
12×3=12−13；
13×4=13−14；
…
【探索发现】
(1)19×10=______；
(2)1n(n+1)=______.
【拓广应用】
(3)计算：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)；
(4)解方程：1x(x+2)+1(x+2)(x+4)+⋯+1(x+48)(x+50)=1x+50.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.−a+a3=−a(1−a2)=−a(1+a)(1−a)，故此选项不合题意；
B.−a2+4b2=(2b+a)(2b−a)，故此选项符合题意；
C.a2−4=(a−2)(a+2)，故此选项不合题意；
D.2a−4b+2=2(a−2b+1)，故此选项不合题意；
故选：B.
直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式，进而判断得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，得x+3≠0，
解得x≠−3，
故选：C.
分式有意义的条件是分母不为零，根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：x2y+2xy=xy(x+2)，x2y−4y=y(x+2)(x−2)，
∴多项式x2y+2xy与x2y−4y的公因式是y(x+2).
故选：D.
先对多项式式x2y+2xy与x2y−4y进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．
本题主要考查运用公式法进行因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中50是出现次数最多的，故众数是50；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是50，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是50.
故选：C.
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．命题立意：本题以给地震灾区捐款为背景，考核了统计概率的相关知识．本题在考核数学知识的基础上向学生渗透爱心教育，是一道很不错的题目．
5.【答案】D
【解析】解：A、原式=(ab−1)(ab+1)，不符合题意；
B、原式=(2−0.5a)(2+0.5a)，不符合题意；
C、原式=(1−a)(1+a)，不符合意义；
D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意，
故选：D.
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，了解这家公司的员工的平均工资时，结合员工情况表，即要全面的了解大多数员工的工资水平，故最应该关注的数据的中位数，
故选：C.
根据题意，结合员工工资情况，从统计量的角度分析可得答案．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7.【答案】B
【解析】解：设她周二买了x个面包，则这次买了(x+2)个，
根据题意得15x−1=15−1x+2，
故选：B.
由设她周二买了x个面包，，则这次买了(x+2)本，然后可求得两次面包的价格，由等量关系：每个比原来便宜1元，即可得到方程．
此题考查了分式方程的应用．注意准确找到等量关系是关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵p=aa+1−bb+1，q=1a+1−1b+1，
∴p−q
=aa+1−bb+1+(1a+1−1b+1)
=aa+1−bb+1+1a+1−1b+1
=a+1a+1−b+1b+1
=1−1
=0，
∴p−q=0，
即p=−q.
故选：C.
把两式进行相加运算即可判断．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：原数据的平均数为16×(180+184+188+190+192+194)=188，
则原数据的方差为16×[(180−188)2+(184−188)2+(188−188)2+(190−188)2+(192−188)2+(194−188)2]=683，
新数据的平均数为16×(180+184+188+190+186+194)=187，
则新数据的方差为16×[(180−187)2+(184−187)2+(188−187)2+(190−187)2+(186−187)2+(194−187)2]=593，
所以平均数变小，方差变小，
故选：A.
分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，再进行比较即可得出答案．
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式．
10.【答案】D
【解析】解：m−1x−1=2，
去分母得：m−1=2x−2，
解得：x=m+12，
由题意得：m+12≥0且m+12≠1，
解得：m≥−1且m≠1，
故选：D.
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0.
11.【答案】3
【解析】解：∵一组数据：−1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，
∴x=3，∴此组数据为−1，2，3，3，5，
∴这组数据的中位数为3，
故答案为3.
先根据数据的众数确定出x的值，即可得出结论．
此题主要考查了数据的中位数，众数的确定，掌握中位数和众数的确定方法是解本题的关键．
12.【答案】−1
【解析】解：由题意可得x2−1=0且x−1≠0，
解得x=−1.
故答案为−1.
分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
13.【答案】24
【解析】解：∵s2=14[(x1−6)2+(x2−6)2+(x3−6)2+(x4−6)2]，
∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，
∴这组数据的总和为4×6=24；
故答案为：24.
根据方差公式S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2].
14.【答案】±1
【解析】解：方程两边都乘x(1−x)，得：m2=(x−1)(1−x)+x2
∵原方程有增根，
∴最简公分母x(1−x)=0，
解得：x=0或x=1，
当x=0时，m2=−1不成立，
当x=1时，m2=1，
解得：m=±1，
故答案为：±1.
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x(1−x)=0，得到x=0或x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15.【答案】−14
【解析】解：−x2−12x+14=−(x+14)2+516，
∵−(x+14)2≤0，
∴−(x+14)2+516≤516，
∴当x=−14时，多项式−x2−12x+14取得最大值．
故答案为：−14.
首先把多项式利用完全平方公式变为−(x+14)2+516的形式，进一步利用非负数的性质解决问题．
本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16.【答案】20234044
【解析】解：原式=(1−12)×(1+12)×(1−13)×(1+13)×(1−14)×(1+14)×…×(1−12022)×(1+12022)
=12×32×23×43×34×54×…×20212022×20232022
=12×20232022
=20234044.
故答案为：20234044.
直接利用平方差公式因式分解，再进一步找出规律计算即可．
此题考查利用平方差公式因式分解，注意算式的特点，灵活计算．
17.【答案】解：方程两边都乘(x−2)，得
1+3(x−2)=x−1，
解得x=2.
经检验x=2为增根，原方程无解．
【解析】本题的最简公分母是(x−2).方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．
18.【答案】解：(1)2m2n−nm−m3n
=−mn(−2m+1+m2)
=−mn(m−1)2；
(2)(x−2)(x−3)−2
=x2−5x+6−2
=x2−5x+4
=(x−4)(x−1).
【解析】(1)先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可；
(2)先整理多项式，然后运用十字相乘法进行因式分解即可．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的常用方法并灵活运用．x2+(p+q)x+pq型的式子的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
19.【答案】解：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x
=x2−(x−1)2x−1÷(2x−1)21−x
=2x−1x−1⋅−(x−1)(2x−1)2
=−12x−1，
当x=−4时，原式=−12×(−4)−1=19.
【解析】先根据分式的加减进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】90 94
【解析】解：(1)甲的成绩排序为89，90，90，93，
∴甲成绩的中位数是90+902=90(分)，
甲成绩的众数是93分，
乙成绩的众数是94分，
故答案为：90，94；
(2)(2)3+3+2+2=10
甲90×310+93×310+89×210+90×210
=27+27.9+17.8+18
=90.7(分)
乙94×310+92×310+94×210+86×210
=28.2+27.6+18.8+17.2
=91.8(分)
∵甲的数学综合素质成绩为90.7分，乙的数学综合素质成绩为91.8分，
∴乙的成绩较高．
(1)由众数和中位数的定义即可求解；
(2)由加权平均数的定义列式计算即可．
此题考查了中位数和加权平均数，用到的知识点是中位数和加权平均数，掌握它们的计算公式是本题的关键．
21.【答案】解：设甲车间每天生产x台空气净化器，则乙车间每天生产(x+100)台空气净化器，
24000×12=12000(台)，
由题意得：24000x=12000x+12000+15000x+x+100，
解得：x=400.
经检验，x=400是原方程的解，且符合题意．
答：甲车间每天生产400台空气净化器．
【解析】设甲车间每天生产x台空气净化器，则乙车间每天生产(x+100)台空气净化器，由题意：甲车间独立生产一半后，生产任务的数量增加了15000台．乙车间也加入了该小型空气净化器的生产．则正好可以按时完成生产任务．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)x甲−=14×(50+36+40+34)=40(千克)，x乙−=14×(36+40+48+36)=40(千克)，
总产量为40×100×98%×2=7840(千克)；
答：甲、乙两山样本的平均数分别是40千克，40千克，甲、乙两山杨梅的产量总和为7840千克；
(2)S甲2=14×[(50−40)2+(36−40)2+(40−40)2+(34−40)2]=38，
S乙2=14×[(36−40)2+(40−40)2+(48−40)2+(36−40)2]=24，
S甲2>S乙2.
答：乙山上的杨梅产量较稳定．
【解析】(1)根据平均数的求法求出平均数，再用样本估计总体的方法求出产量总和即可解答；
(2)要比较哪个山上的杨梅产量较稳定，只要求出两组数据的方差，再比较即可解答．
本题考查了折线统计图、平均数与方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
23.【答案】解：(1)①4x2+4x−y2+1
=(4x2+4x+1)−y2
=(2x+1)2−y2
=(2x+1+y)(2x+1−y)；
②x2−6x+8=(x−2)(x−4)；
(2)∵a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，
∴(a2−4a+4)+(b2−4b+4)+(c2−6c+9)
=(a−2)2+(b−2)2+(c−3)2
=0，
∴a=2，b=2，c=3，
∴a+b+c=2+2+3=7，
∴△ABC的周长为7.
【解析】(1)①利用分组分解法和完全平方公式法进行因式分解即可；
②利用十字相乘法因式分解即可；
(2)利用完全平方公式和拆项法进行因式分解即可．
本题考查因式分解的应用，熟练掌握分组分解法、公式法、十字相乘法、拆项法进行因式分解的方法是解题的关键．
24.【答案】19−110 1n−1n+1
【解析】解：(1)19×10=19−110；
故答案为：19−110；
(2)1n(n+1)=1n−1n+1；
故答案为：1n−1n+1；
(3)11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)
=1−12+12−13+13−14+…+1n−1n+1；
=1−1n+1
=nn+1；
(4)1x(x+2)+1(x+2)(x+4)+⋯+1(x+48)(x+50)=1x+50，
12(1x−1x+2+1x+2−1x+4+…+1x+48−1x+50)=1x+50，
12(1x−1x+50)=1x+50，
1x=3x+50，
解得x=25，
经检验，x=25是原方程的根．
(1)仿照已知等式变形即可；
(2)归纳总结得出规律；
(3)由规律计算即可得出结果；
(4)先根据规律将方程左边计算，再解分式方程即可．
本题考查了解分式方程，根据规律把方程化简是解题的关键．
数与代数
空间与图形
统计与概率
综合与实践
学生甲
90
93
89
90
学生乙
94
92
94
86