2022-2023学年山东省威海市经开区新都学区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省威海市经开区新都学区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用配方法解方程时，原方程变形为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，若，，，则的长度是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  方程  的解是(    )

A.  B. 或 C.  D. 或 

8.  如图，四边形和四边形相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

9.  关于的一元二次方程的根的情况为(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的异号实数根
C. 有两个不相等的同号实数根 D. 没有实数根

10.  我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形的边上取一点，使得，连接，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在矩形中，点的坐标是，点的横坐标为，则矩形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，在中，，点以每秒的速度从点出发，沿折线运动，到点停止，过点作，垂足为，的长与点的运动时间秒的函数图象如图所示，当点运动秒时，的长是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  已知点在第四象限内，且在其角平分线上，则 ______ ．

14.  若是方程的根，计算______．

15.  某种药品原来售价元，连续两次降价后售价为元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是______．

16.  若满足等式，则的值为______．

17.  若关于的方程的两根互为倒数，则______．

18.  如图，点在的内部，，与互补．若，，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解方程：．

21.  本小题分
若一元二次方程的两个根分别是与，求的值．

22.  本小题分
已知关于的一元二次方程有实根．
求的取值范围；
如果方程的两个实数根为，，且，求的值．

23.  本小题分
如图，用一段米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个米的门，墙的最大可用长度为米．
如果羊圈的总面积为平方米，求边的长；
羊圈的总面积能为平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由．

24.  本小题分
某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，第档次最低档次的产品一天能生产件，每件利润元．每提高一个档次，每件利润增加元，但一天产量减少件．
若生产第档次的产品一天的总利润为元为正整数，且，求关于的函数关系式；
若生产第档次的产品一天的总利润为元，求该产品的质量档次．

25.  本小题分
如图，矩形中，点在上，，与相交于点与相交于点．
证明：∽；
若，，求的长度．

26.  本小题分
【问题呈现】
如图，和是等边三角形，连接，．
求证：．
【类比探究】
如图，和是等腰直角三角形，，连接，．
求的值．
如图，和是直角三角形，，连接，若，请直接写出此时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：：不能继续化简，所以是最简二次根式；
：是三次根式，所以不是最简二次根式；
：，所以不是最简二次根式；
：，所以不是最简二次根式．
故选：．
最简二次根式是指被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，同时也不含有分母，利用定义即可判定．
本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是把握好定义的两个要求．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据比例的性质进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【解答】
解：，
，
，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，
，
配方得：，
即，
故选：．
先移项，再配方，最后得出选项即可．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，即，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
把代入方程得，然后解关于的方程．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

6.【答案】 

【解析】解：数轴可得，且，




．
故选：．
由数轴可得，，则利用二次根式的化简的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的性质与化简，数轴，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程移项得：，
分解因式得：，
解得：或，
故选：．
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形∽四边形，
相似比，
故选：．
根据相似多边形的性质求解即可．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
设的两根为，，则，
与异号，
故选：．
先求出，判断有两个不相等的实数根，再由根与系数的关系，得出两根之积为，可知两根异号．
本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，
矩形为黄金矩形，
，
，
，
故选：．
设，根据黄金矩形的概念求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，作轴于点，轴于点，
由∽得，，
，
，
在中，
，
在中，
，
矩形的面积．
故选：．
先利用相似求出，再根据勾股定理求出和即可得到答案．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是求出．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可得，，，
当时，如图所示：
，
此时，故B，
，
．
故选：．
根据图可判断，，则可确定时的值，利用的值，可求出．
本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据图得到、的长度，此题难度一般．
 

13.【答案】 

【解析】解：点在第四象限内，
，
解得；
又点在第四象限的角平分线上，
，即，
不合题意，舍去，．
故答案是：．
根据点的坐标，列出关于的一元二次方程，然后利用配方法解方程即可．
本题主要考查了点的坐标与解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

14.【答案】 

【解析】解：是方程的根，
，
，，



．
故答案为：．
利用整体代入的思想解决问题即可．
本题考查一元一次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：设平均每次下降的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
平均每次下降的百分率为．
故答案为：．
设平均每次下降的百分率为，利用经过两次降价后的售价原价平均每次下降的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再利用绝对值的性质计算即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式中的被开方数是非负数确定的取值范围．
 

17.【答案】 

【解析】解：，两根互为倒数，
，
解得或；
方程有两个实数根，，
当时，，舍去，
故的值为．
故答案为：．
根据已知和根与系数的关系得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的的值．
本题考查了根与系数的关系，根据，是关于的一元二次方程为常数的两个实数根，则，进行求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：，与互补，
，，
，，
，，
，，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：．
通过证明∽，可得，可求的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明∽是本题的关键．
 

19.【答案】解：




；




． 

【解析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，再算减法即可；
先根据完全平方公式，平方差公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可
本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用因式分解法求解即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
 

21.【答案】解：，，
．
给方程两边同时除以得，
．
方程的两个根互为相反数，
，
．
一元二次方程的两个根分别是与．
又，
，
． 

【解析】由利用直接开平方法得，又方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，据此求的值即可．
本题考查代数式求值，熟练运用直接开方法解一元二次方程是解答关键；
 

22.【答案】解：关于的一元二次方程有实根，
，即，解得；
方程的两个实数根为，，
，，
，
，
，解得或，
，
． 

【解析】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根判别式与方程根的关系是解题的关键．
由方程有实根，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
利用根与系数的关系可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值．
 

23.【答案】解：设的长为米，
由题意可得：，
解得：，，
当时，，故不合题意，
当时，，
的长是米；
羊圈的总面积不能为平方米，理由如下：
设的长为米，
由题意可得，
，
，
羊圈的总面积不能为平方米． 

【解析】设的长为米，由羊圈的总面积为平方米，可列方程，即可求解；
根据题意列出方程，由根的判别式可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：第一档次的产品一天能生产件，每件利润元，每提高一个档次，每件利润加元，但一天生产量减少件．
第档次，提高的档次是档．
，
即其中是正整数，且；

由题意可得：
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：该产品的质量档次为第档． 

【解析】根据题意得出第档次，提高的档次是档，进而利用每提高一个档次，每件利润加元，但一天生产量减少件得出等式即可；
利用进而解方程求出即可．
本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，得出与的函数关系式是解题关键．
 

25.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
∽．
解：∽，，，
，
设，则，
，
由得，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
解得，不符合题意，舍去，
，
的长度是． 

【解析】由四边形是矩形，得，则，由，得，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽；
先由∽，求得，设，则，推导出，再证明∽，得，即，可列方程，解方程求出符合题意的的值，再求出的长即可．
此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识与方法，由∽，求得是解题的关键．
 

26.【答案】【问题呈现】证明：
和都是等边三角形，
，，，
，
即．
≌，
；
【类比探究】解：和都是等腰直角三角形，，
，
∽，
，
，
，
，
即，
∽，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
；
，，
∽，
，，
，
∽，
． 

【解析】【问题呈现】证明≌，即可得；
【类比探究】证明∽，可推导出，再证明∽，可得，设，则，在中，求出，则；
由已知可证∽，则，再证∽，即可得．
本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．