2023-2024学年山东省淄博市周村区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市周村区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.多项式6a3b2−3a2b3因式分解时，应提取的公因式为( )
A. 3a2b2 B. 3a3b2 C. 3a2b3 D. 3a3b3
3.下列因式分解错误的是( )
A. 3x2−6xy=3x(x−2y)B. x2−9y2=(x−3y)(x+3y)
C. x2+x−2=(x+2)(x−1)D. 4x2+4x+1=2(x+1)2
4.不改变分式0.2x−10.4x+3的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为( )
A. 2x−14x+3B. x−52x+15C. 2x−14x+30D. 2x−10x+3
5.解方程1x−1−2=3x1−x去分母，两边同乘(x−1)后的式子为( )
A. 1−2=−3xB. 1−2(x−1)=−3x
C. 1−2(1−x)=−3xD. 1−2(x−1)=3x
6.在分式方程2x−1x2+x22x−1=5中，设2x−1x2=y，可得到关于y的整式方程为( )
A. y2+5y+5=0B. y2−5y+5=0C. y2+5y+1=0D. y2−5y+1=0
7.如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A. 点M
B. 格点N
C. 格点P
D. 格点Q
8.学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动.小明随机调查了本校八年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是( )
A. 8，9B. 10，9C. 7，12D. 9，9
9.近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为( )
A. 10x−7(1+40%)x=1060B. 10x−7(1+40%)x=10
C. 7(1+40%)x−10x=1060D. 7(1+40%)x−10x=10
10.在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE/​/BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE=∠BDC.其中正确的序号是( )
A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试，规定笔试成绩占40%，面试成绩占60%.应聘者小刘的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，他的最终得分是______ 分.
12.若关于x的方程2−xx−5+mx−5=0有增根，则m的值是______．
13.若一组数据x1，x2，x3，⋯，xn的方差为2，则数据x1+3，x2+3，x3+3，⋯，xn+3的方差是______ ．
14.已知对于正数x，我们规定：f(x)=11+x，例如：f(2)=11+2=13，则f(2023)+f(202)+f(202)+…+f(2)+f(1)+f(12)+f(13)+…+f(12021)+f(12022)+f(12023)= ______ ．
15.如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A(−2,0)，B(1,2)，C(1,−2).已知N(−1,0)，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，按照此规律，则点N2023的坐标为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
分解因式：
(1)25−16x2；
(2)x(x−6)+9．
17.(本小题10分)
计算：
(1)aa+1+a−1a2−1；
(2)(−a2bc)3⋅(−c2a2)2÷(−bca)4．
18.(本小题10分)
解方程：
(1)102x−1+51−2x=2；
(2)16x2−4−x+2x−2+1=0．
19.(本小题10分)
某校八年级一班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷.在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x(次/分钟)，分为如下五组：A组：50≤x<75，B组：75≤x<100，C组：100≤x<125，D组：125≤x<150，E组：150≤x<175.其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图(如图所示)，请结合统计图解答下列问题：

(1)A组数据的中位数是______ 次，众数是______ 次；
(2)C组频数是______ ，在统计图中B组所对应的扇形圆心角是______ 度：
(3)一般运动的适宜心率为100≤x<150(次/分钟)，该校共有2000名学生，依据此次跨学科研究结果，估计学校大约有______ 名学生达到适宜心率．
20.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0,4)，B(0,2)，C(3,2)．
(1)将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为(2,2)，请画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)求△A1C1C2的面积．
21.(本小题12分)
观察下列方程的特征及其解的特点；
①x+2x=−3的解为x1=−1，x2=−2．
②x+6x=−5的解为x1=−2，x2=−3．
③x+12x=−7的解为x1=−3，x2=−4；
解答下列问题；
(1)请你写出一个符合上述特征的方程为______，其解为______．
(2)根据这类方程特征，写出第n个方程为______，其解为______．
(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x+n2+nx+3=−2(n+2)(其中n为正整数)的解．
22.(本小题13分)
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的12.问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
23.(本小题13分)
如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E在BC上，∠DAE=45°，将△AEC绕点A顺时针旋转90°后得到△AFB，连接DF．

(1)求证：△AFD≌△AED：
(2)猜想图1中BD，DE，CE之间存在的等量关系，并说明理由；
(3)如图2，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D，E在BC上，∠DAE=60°，∠ADE=45°，探究BD，DE，CE之间存在的等量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，图形是中心对称图形，符合题意；
C、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合，根据中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：多项式6a3b2−3a2b3因式分解时，6a3b2−3a2b3=3a2b2(2a−b)，
故应提取的公因式为：3a2b2．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：A、原式=3x(x−2y)，不符合题意；
B、原式=(x−3y)(x+3y)，不符合题意；
C、原式=(x−1)(x+2)，不符合题意；
D、原式=(2x+1)2，符合题意，
故选：D．
各式分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了因式分解−十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：原式=10(0.2x−1)10(0.4x+3)
=2x−104x+30
=x−52x+15
故选：B．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
5.【答案】B
【解析】解：分式方程的两侧同乘(x−1)得：1−2(x−1)=−3x．
故选：B．
根据分式方程的解法，两侧同乘(x−1)化简分式方程即可．
本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：设2x−1x2=y，则x22x−1=1y，
分式方程2x−1x2+x22x−1=5可变为：y+1y=5，
去分母得：y2+1=5y，
整理得：y2−5y+1=0，
故选：D．
设2x−1x2=y，则x22x−1=1y，原方程可变为：y+1y=5，再去分母得y2+1=5y，即可得出结论．
本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
【解答】
解：如图，
连接N和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故选B．
8.【答案】D
【解析】解：数据排序后，第15个和第16个数据均为9，
∴中位数为9，
∵9出现的次数最多，
∴众数为9，
故选：D．
根据中位数：“将数据按照顺序排列后，中间一位或中间两位的平均数即为中位数”，众数：“出现次数最多的数据”，进行判断即可．
本题考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵走路线b的平均车速比走路线a能提高40%，且走路线a的平均速度为x千米/时，
∴走路线b的平均速度为(1+40%)x千米/时．
根据题意得：10x−7(1+40%)x=1060．
故选：A．
根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为(1+40%)x千米/时，利用时间=路程÷速度，结合走路线b比走路线a全程少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
①由旋转的性质推出BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；②根据等边三角形的性质和旋转的性质得到∠BAE=∠ABC=60°，再根据平行线的判定方法即可证得AE/​/BC；③由等边三角形得到DE=BD=4，由旋转的性质得到AE=CD，推出△AED的周长=AC+BD；④求出∠BDC>60°，于是得到∠ADE<60°，则可判断∠ADE≠∠BDC．
【解答】
解：
如图，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE/​/BC，所以②正确；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=5+4=9，所以③正确，
由△BDE是等边三角形，得∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°，
∴由平角的定义，∠ADE=180°−∠BDE−∠BDC=120°−∠BDC<60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；
故选：D．
11.【答案】92
【解析】解：95×40%+90×60%=92(分)．
故答案为：92．
根据题意，利用加权平均数的计算公式进行计算即可．
本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解答本题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：去分母得：2−x+m=0，
解得：x=2+m，
由分式方程有增根，得到x−5=0，即x=5，
把x=5代入得：m=3，
故答案为：3
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13.【答案】2
【解析】解：∵数据x1，x2，x3，⋯，xn的方差是2，
∴数据x1+3，x2+3，x3+3，⋯，xn+3的波动幅度不变，
∴数据x1+3，x2+3，x3+3，⋯，xn+3的方差为2，
故答案为：2．
当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍
本题考查了方差的定义，解题的关键是掌握相关运算．
14.【答案】202212
【解析】解：由题干中已知条件可得f(x)+f(1x)=1，f(1)=11+1=12，
原式=f(1)+[f(2)+f(12)]+[f(3)+f(13)]+…+[f(2023)+f(12023)]
=12+1+1+…+1
=12+1×2022
=202212，
故答案为：202212．
由题干中的数据总结出f(x)+f(1x)=1，然后将原式整理计算即可．
本题考查代数式求值，有理数的运算及规律探索题目，由题意总结出规律是解题的关键．
15.【答案】(−3,0)
【解析】解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为(−1,0)，
N点关于A点对称的N1点的坐标为(−3,0)，
N1点关于B点对称的N2点的坐标为(5,4)，
N2点关于C点对称的N3点的坐标为(−3,8)，
N3点关于A点对称的N4点的坐标为(−1,8)，
N4点关于B点对称的N5点的坐标为(3,−4)，
N5点关于C点对称的N6点的坐标为(−1,0)，此时刚好回到最开始的点N处，
∴其每6个点循环一次，
∴2023÷6=337⋯⋯1，
∴N2023的坐标与N1点的坐标相同，其坐标为(−3,0)．
故答案为：(−3,0)．
先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．
本题考查了平面直角坐标系内点的规律探究问题．解题的关键是推出规律．
16.【答案】解：(1)25−16x2
=52−(4x)2
=(5+4x)(5−4x)；
(2)x(x−6)+9
=x2−6x+9
=(x−3)2．
【解析】(1)平方差公式法因式分解即可；
(2)完全平方公式法因式分解即可．
本题考查因式分解，掌握公式法进行因式分解，是解题的关键．
17.【答案】解：(1)aa+1+a−1a2−1
=aa+1+1a+1=a+1a+1=1；
(2)(−a2bc)3⋅(−c2a2)2÷(−bca)4
=−a6b3c3⋅c4a4÷b4c4a4
=−a6b3c3⋅c4a4⋅a4b4c4
=−a6bc3．
【解析】(1)先约分，再根据同分母分式的运算法则计算；
(2)先算乘方，再把除法转化为乘法约分即可．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)去分母得到：10−5=4x−2，
解得：x=74，
经检验x=74是分式方程的解；
(2)去分母得：16−(x+2)2+x2−4=0，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】69 74 30 54 1500
【解析】解：(1)将A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
∴中位数为68+702=69；
∵74出现的次数最多，
∴众数是74；
故答案为：69，74，
(2)8÷8%=100，
360°×15100=54°
∴在统计图中B组所对应的扇形圆心角是54°，
100−8−15−45−2=30
∴C组的人数为30，
故答案为：30，54；
(3)2000×30+45100=1500(人)，
∴大约有1500名学生达到适宜心率．
故答案为：1500．
(1)根据中位数和众数的概念求解，
(2)根据总人数减去其他组的人数，即得出C组的频数；先求出总人数，然后求出B组所占的百分比，最后乘以360°即可求出在统计图中B组所对应的扇形圆心角；
(3)根据样本估计总体的方法求解即可．
本题主要考查频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

(3)8×4−12×8×2−12×5×4−12×3×2=32−8−10−3=11．
【解析】(1)根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(2)根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
(3)利用割补法解答即可．
本题考查作图−旋转变换，坐标与图形变化−平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)x+20x=−9；x1=−4，x2=−5；
(2)x+n2+nx=−2n−1；x1=−n，x2=−n−1；
解：(3)x+n2+nx+3=−2(n+2)，
x+3+n2+nx+3=−2(n+2)+3，
(x+3)+n2+nx+3=−(2n+1)，
∴x+3=−n或x+3=−(n+1)，
即：x1=−n−3，x2=−n−4．
【解析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．
(1)观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
(2)仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
(3)方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
解：(1)x+20x=−9，其解为：x1=−4，x2=−5，
故答案为：x+20x=−9，x1=−4，x2=−5；
(2)x+n2+nx=−(2n+1)，其解为：x1=−n，x2=−n−1，
故答案为：x+n2+nx=−(2n+1)，x1=−n，x2=−n−1；
22.【答案】解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为(x+0.3)万元，
根据题意得15x=20x+0.3，
解得x=0.9，
经检验x=0.9是原方程的解，x+0.3=1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，
根据题意，得：0.9m+1.2(25−m)≤2625−m≥12m，
解得：403≤m≤503．
∵m为整数，
∴m=14，15，16．
∴该停车场有3种购买充电桩方案，
方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；
方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；
方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用=16×0.9+1.2×9=25.2(万元)．
【解析】(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为(x+0.3)万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，根据购买总费用不超过26万元且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的12，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各购买方案，再由两种充电桩的单价之间的关系可找出购买方案总费用最少的方案及最少总费用．
本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
将△AEC绕点A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴∠FAE=90°，△AEC≌△AFB，
∴AF=AE，
又∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAE−∠DAE=45°，
在△AFD和△AED中，
AF=AE∠FAD=∠EADAD=AD，
∴△AFD≌△AED(SAS)；
(2)解：BD2+CE2=DE2；理由如下：
由(1)知，△AFD≌△AED，
∴FD=DE，
将△AEC绕点A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△AEC≌△AFB，
∴∠ABF=∠ACE=45°，FB=EC，
∴∠FBD=∠ABF+∠ABD=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得，BD2+BF2=DF2；
∵BF=CE，DF=DE，
∴BD2+CE2=DE2；
(3)解：BD2+DE2=CE2；理由如下：
将△AEC绕点A顺时针旋转120°后得到△AFB，连接DF.如图2，

∴△AEC≌△AFB，
∴BF=CE，
又∵∠DAE=60°，
∴∠FAD=∠FAE−∠DAE=120°−60°=60°，
在△AFD和△AED中，
AF=AE∠FAD=∠EADAD=AD，
∴△AFD≌△AED(SAS)，
∴FD=DE，∠ADF=∠ADE，
又∠ADE=45°，
∴∠FDE=45°+45°=90°，即∠BDF=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得，BD2+DF2=BF2；
∵DF=DE，BF=CE，
∴BD2+DE2=CE2．
【解析】(1)旋转，得到AE=AF，∠FAE=90°，进而得到∠FAD=∠FAE−∠DAE=45°，利用SAS证明△AFD≌△AED，即可；
(2)全等的性质，得到DF=DE，CE=BF，∠ABF=∠ACE=45°，进而得到∠FBD=∠ABF+∠ABD=90°，勾股定理得到BD2+BF2=DF2，即可得出结论；
(3)将△AEC绕点A顺时针旋转120°后得到△AFB，连接DF，得到△AEC≌△AFB，证明△AFD≌△AED(SAS)，得到FD=DE，∠ADF=∠ADE，推出∠BDF=90°，勾股定理即可得出结论．
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理．掌握半角模型，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．课外书数量(本)
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