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2022-2023学年山东省烟台市芝罘区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省烟台市芝罘区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省烟台市芝罘区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 3x2+1=0 B. 3x+2y−1=0
C. (x+1)(x−2)=x2 D. 1x2−x−1=0
2. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 12 B. x2+1 C. 15 D. a2
3. 已知ab=23，则下列等式不成立的是( )
A. a+bb=53 B. 3a=2b C. ab=a+2b+2 D. a2=b3
4. 下列四组线段中成比例线段的是( )
A. a=2，b= 5，c= 15，d=2 3
B. a= 2，b=3，c=2，d= 3
C. a=4，b=6，c=5，d=10
D. a=12，b=6，c=20，d=15
5. 用配方法解方程x2−4x−3=0时，原方程应变形为( )
A. (x−2)2=7 B. (x+2)2=7 C. (x+4)2=19 D. (x−4)2=13
6. 已知关于x的方程x2+kx−2=0的一个根为x=−2，则它的另一个根及k的值分别是( )
A. −1和−1 B. −1和1 C. 1和−1 D. 1和1
7. 若关于x的一元二次方程(k−5)x2−2x+2=0有实数根，则整数k的最大值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 若y− x−2022= 2022−x−2023，则(x+y)2023的结果是( )
A. 1 B. 0 C. −1 D. 2023
9. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )
A. 200(1+x)2=1000 B. 200+200×2x=1000
C. 200+200×3x=1000 D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
10. 如图所示，在△ABC中，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式正确的是( )
A. ADDB=DEBC
B. BFBC=EFAD
C. AEEC=BFFC
D.
11. 已知x=2是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )
A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10
12. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD中点，BE的延长线与AC交于点F，则AF：AC等于( )
A. 1：2 B. 2：3 C. 1：3 D. 2：5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13. 计算： 2÷ 18的结果是______ ．
14. 方程x2=−2x的解是______ ．
15. 若x3=y5=z7，则y+z3x−y的值是______ ．
16. 如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1//l2//l3，AB=4，AC=6，DF=10，则DE= ．
17. 若x=2 3−1，则代数式x2+2x−3的值是______ ．
18. 若关于x的二次方程x2−3x+n=0的两根x1和x2满足x1+x2−2=x1⋅x2，则n的值是______ ．
19. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为______米．
20. 如图，四边形ABCD是边长为3的菱形，对角线AC、BD的长度分别是关于x的一元二次方程x2−mx−x+2m=0的两实数根，DH⊥AB于点H，则DH的长度是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
计算：
(1) 8+2 3−( 27− 2)；
(2)( 2+1)( 2−1)−( 3−2)2．
22. (本小题8.0分)
解方程：
(1)3x+6=(x+2)2；
(2)3x2+x−5=0．
23. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE//BC，EF//AB.若AB=8，BD=3，BF=4，求FC的长．
24. (本小题8.0分)
已知x= 5− 3，y= 5+ 3，求x2+y2−3xy−5x+5y的值．
25. (本小题10.0分)
随着“共享经济”概念的迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租货公司年初在某地投放了一批共享汽车
(1)据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次.若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
(2)一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价5元，平均每月全天包车数增加8次，尽可能的减少租车次数.当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？
26. (本小题10.0分)
关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在k的值，使k为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
27. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，AC=10cm.点M、N分别在AB、BC上，且点M以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点N以1cm/s的速度由点B向点C运动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为t(s)．
(1)当MN//AC时，求t的值；
(2)在运动过程中，是否存在一个时刻t，使线段MN的长度为2 5cm？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.方程3x2+1=0是一元二次方程，选项A符合题意；
B.方程3x+2y−1=0是二元一次方程，选项B不符合题意；
C.原方程可变形为x+2=0，该方程是一元一次方程，选项C不符合题意；
D.方程1x2−x−1=0是分式方程，选项D不符合题意．
故选：A．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，即可进行解答．
【解答】
解：A、 12=2 3不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、 x2+1是最简二次根式，故B符合题意；
C、 15= 55不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、 a2=|a|不是最简二次根式，故D不符合题意，
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：A、a+bb=ab+1=23+1=53，故A不符合题意；
B、由ab=23，得到3a=2b，故B不符合题意；
C、由ab=23，得不到ab=a+2b+2，故C符合题意；
D、由ab=23，推出a2=b3，故D不符合题意．
故选：C．
由比例的性质，即可解决问题．
本题考查比例的性质，关键是掌握比例的基本性质．
4.【答案】A
【解析】A.∵a=2，b= 5，c= 15，d=2 3，∴2× 15= 5×2 3，故本选项正确，
B.∵a= 2，b=3，c=2，d= 3，∴ 2×3≠2× 3，故本选项错误，
C.∵a=4，b=6，c=5，d=10，∴4×10≠6×5，故本选项错误，
D.∵a=12，b=6，c=20，d=15，∴6×15≠12×20，故本选项错误，
故选：A．
根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，分别进行计算，即可求出答案．
此题考查了比例线段的概念．对于四条线段，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段．注意用最大的和最小的相乘，中间两数相乘．
5.【答案】A
【解析】解：x2−4x−3=0，
x2−4x=3，
x2−4x+4=3+4，
(x−2)2=7，
故选：A．
移项，配方，变形后即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：设方程的另一根为t，
根据题意得−2+t=−k，−2t=−2，
解得t=1，k=1．
故选：D．
设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到−2+t=−k，−2t=−2，然后先求出t的值，再计算k的值．
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程的解．
7.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−5)x2−2x+2=0有实数根，
∴k−5≠0(−2)2−4(k−5)×2≥0，
解得：k≤112且k≠5．
∵k为整数，
∴k的最大值为4．
故选：A．
根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再结合k为整数即可找出最大的k值．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵y− x−2022= 2002−x−2023，
∴x−2022≥0，2022−x≥0，
∴x=2022，
∴y=−2023，
∴(x+y)2023=(2022−2023)2023=(−1)2023=−1．
故选：C．
先根据二次根式有意义求出x和y的值，再计算即可．
此题考查了二次根式的有意义的条件，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×(1+x)，
∴三月份的营业额为200×(1+x)×(1+x)=200×(1+x)2，
∴可列方程为200+200×(1+x)+200×(1+x)2=1000，
即200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000．
故选：D．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【解答】
解：∵DE//BC，EF//AB，
．
故选C．
【点评】
本题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用，掌握平行线分线段成比例定理并找准对应关系是解题关键．
11.【答案】B
【解析】解：把x=2代入方程得4−4m+3m=0，解得m=4，
则原方程为x2−8x+12=0，
解得x1=2，x2=6，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2=14；
②当△ABC的腰为2，底边为6时，不能构成三角形．
综上所述，该三角形的周长的14．
故选：B．
先根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程求出m得到原方程为x2−8x+12=0，再解此方程得到得x1=2，x2=6，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长．
本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将腰长进行分类是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
作DH//BF交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到AF=FH=HC，得到答案．
【解答】
解：作DH//BF交AC于H，
∵DH//BF，AD是△ABC的中线，
∴CH=HF，
∵DH//BF，E是AD中点，
∴AF=FH，
∴AF=FH=HC，
∴AF：AC=1：3，
故选C．
13.【答案】13
【解析】解： 2÷ 18= 218=13，
故答案为：13．
根据二次根式的除法法则进行计算．
本题考查了二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．
14.【答案】x1=0，x2=−2
【解析】解：∵x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x=0或x+2=0，
∴x1=0，x2=−2．
故答案为：x1=0，x2=−2．
先移项得到x2+2x=0，再把方程左边进行因式分解得到x(x+2)=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x+2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=−2．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
15.【答案】3
【解析】解：设x3=y5=z7=k，
∴x=3k，y=5k，z=7k，
∴y+z3x−y，
=5k+7k3×3k−5k，
=3．
故答案为：3．
设x3=y5=z7=k得到x=3k，y=5k，z=7k，代入y+z3x−y即可得到答案．
本题考查比例的性质，关键是由x3=y5=z7=k，得到x=3k，y=5k，z=7k．
16.【答案】203
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴DEDF=ABAC，即DE10=46，
∴DE=203．
故答案为203．
直接根据平行线分线段成比例定理得到DEDF=ABAC，然后根据比例的性质可计算出DE的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
17.【答案】8
【解析】解：∵x=2 3−1，
∴x+1=2 3，
∴x2+2x−3=(x+1)2−4=(2 3)2−4=12−4=8．
故答案为：8．
先利用已知条件得x+1=2 3，将所求代数式配方，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
18.【答案】1
【解析】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=n，
∵x1+x2−2=x1⋅x2，
∴3−2=n，
∴n=1．
故答案为：1．
根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=n，则由x1+x2−2=x1⋅x2得3−2=n，即可求出n的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
19.【答案】1
【解析】解：设人行道的宽度为x米(0
整理得，(x−1)(x−8)=0．
解得：x1=1，x2=8(不合题意，舍去)．
即：人行通道的宽度是1米．
故答案是：1．
设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米 2，列出一元二次方程，再进行求解即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米 2得出等式是解题关键．
20.【答案】73
【解析】解：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OD=OB=12BD，OA=OC=12AC，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，AD=3，
∴OD2+OA2=9，
∵对角线AC、BD的长度分别是关于x的一元二次方程x2−mx−x+2m=0的两实数根，
∴AC+BD=m+1，AC⋅BD=2m，即OA+OD=12(m+1)，OA⋅OD=14⋅2m=12m，
∴OD2+OA2=(OD+OA)2−2OA⋅OD=14(m+1)2−m=9，
整理得：m2−2m=35，即(m−1)2=36，
解得：m=7或m=−5(负值舍去)，
∴AC⋅BD=14，
∵S菱形=AB⋅DH=12AC⋅BD，
∴DH=73．
故答案为：73．
由菱形的性质得到对角线互相垂直且平分，根据对角线AC、BD的长度分别是关于x的一元二次方程x2−mx−x+2m=0的两实数根，利用根与系数的关系表示出AC+BD与AC⋅BD，在Rt△AOD中，根据勾股定理及完全平方公式求出m的值，确定出AC⋅BD的值，菱形的面积由底×高或对角线乘积的一半来求，得到DH的长即可．
此题考查了根与系数的关系，以及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)原式= 8+2 3− 27+ 2
=2 2+2 3−3 3+ 2
=3 2− 3；
(2)原式=2−1−(3+4−4 3)
=1−7+4 3
=4 3−6．
【解析】(1)先去括号，再把各二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可；
(2)先根据平方差公式和完全平方公式计算出各数，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵3x+6=(x+2)2，
∴(x+2)2−3(x+2)=0，
则(x+2)(x−1)=0，
∴x+2=0或x−1=0，
解得x1=−2，x2=1；
(2)∵a=3，b=1，c=−5，
∴Δ=12−4×3×(−5)=61>0，
则x=−1± 616，即x1=−1+ 616，x2=−1− 616．
【解析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
23.【答案】解：∵DE//BC，EF//AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴EF=BD=3，
∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴CFCB=EFAB，即CFCF+4=38，
∴FC=125．
【解析】先判断四边形BDEF为平行四边形，则EF=BD=3，再证明△CEF∽△CAB，利用相似比得到CFCF+4=38，然后利用比例性质求CF的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的判定与性质．
24.【答案】解：∵x= 5− 3，y= 5+ 3，
∴x−y=( 5− 3)−( 5+ 3)=−2 3，xy=( 5− 3)( 5+ 3)=5−3=2，
∴x2+y2−3xy−5x+5y
=x2+y2−2xy−xy−5(x−y)
=(x−y)2−xy−5(x−y)
=(−2 3)2−2−5×(−2 3)
=12−2+10 3
=10+10 3．
【解析】根据二次根式的乘法法则求出xy，根据二次根式的减法法则求出x−y，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、减法法则、完全平方公式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意可得25(1+x)2=64，
解得：x1=0.6=60%，x2=−2.6(不合题意舍去)，
∴全天包车数的月平均增长率为60%．
(2)设租金降价a元，
根据题意可得：(120−a)(64+8a5)=8800，
化简得：a2−80a+700=0，
解得：a1=10，a2=70，
∵尽可能的减少租车次数，
∴a=10，
∴当租金降价10元时，公司每月获得租金总额为8800元．
【解析】(1)设全天包车数的月平均增长率为x，根据三月份的全天包车数为25次，五月份的全天包车数达到64次列出方程求解即可；
(2)每辆全天包车的租金×全天包车数量=8800列出方程，求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
26.【答案】解：(1)由题意知，k≠0且Δ=b2−4ac>0，
∴b2−4ac=(−3)2−4k>0，
解得：k<94且k≠0；
(2)∵k<94且k≠0，k为非负整数，
∴k=1，2．
当k=1时，Δ=9−4=5，此时方程的两根均为无理数，不符合题意舍去；
当k=2时，Δ=9−8=1，此时方程的两根均为有理数，符合题意；
故满足条件的k的值为2．
【解析】(1)根据一元二次方程的定义以及根的判别式，建立关于k的不等式组，求得k的取值范围．
(2)根据(1)中所求k的取值范围，得出使k为非负整数的值，代入Δ=b2−4ac中，进而求解即可．
本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；③Δ<0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
27.【答案】解：由题意可知，AM=2t cm，BN=t cm，
∴BM=AB−AM=(6−2t)cm，
∵∠ABC=90°，AB=6cm，AC=10cm，
∴BC= AC2−AB2= 102−62=8(cm)，
(1)∵MN//AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴BMBA=BNBC，
即6−2t6=t8，
解得：t=2411，
即当MN//AC时，t的值为2411；
(2)存在，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴BM2+BN2=MN2，
即(6−2t)2+t2=(2 5)2，
整理得：5t2−24t+16=0，
解得：t1=45，t2=4(不符合题意，舍去)，
答：在运动过程中，存在一个时刻t，使线段MN的长度为2 5cm，t的值为45．
【解析】(1)证△BMN∽△BAC，得BMBA=BNBC，即可得出结论；
(2)由勾股定理得BM2+BN2=MN2，即(6−2t)2+t2=(2 5)2，解方程取满足条件的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
2022-2023学年山东省烟台市芝罘区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 3x2+1=0 B. 3x+2y−1=0
C. (x+1)(x−2)=x2 D. 1x2−x−1=0
2. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 12 B. x2+1 C. 15 D. a2
3. 已知ab=23，则下列等式不成立的是( )
A. a+bb=53 B. 3a=2b C. ab=a+2b+2 D. a2=b3
4. 下列四组线段中成比例线段的是( )
A. a=2，b= 5，c= 15，d=2 3
B. a= 2，b=3，c=2，d= 3
C. a=4，b=6，c=5，d=10
D. a=12，b=6，c=20，d=15
5. 用配方法解方程x2−4x−3=0时，原方程应变形为( )
A. (x−2)2=7 B. (x+2)2=7 C. (x+4)2=19 D. (x−4)2=13
6. 已知关于x的方程x2+kx−2=0的一个根为x=−2，则它的另一个根及k的值分别是( )
A. −1和−1 B. −1和1 C. 1和−1 D. 1和1
7. 若关于x的一元二次方程(k−5)x2−2x+2=0有实数根，则整数k的最大值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 若y− x−2022= 2022−x−2023，则(x+y)2023的结果是( )
A. 1 B. 0 C. −1 D. 2023
9. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )
A. 200(1+x)2=1000 B. 200+200×2x=1000
C. 200+200×3x=1000 D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
10. 如图所示，在△ABC中，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式正确的是( )
A. ADDB=DEBC
B. BFBC=EFAD
C. AEEC=BFFC
D.
11. 已知x=2是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )
A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10
12. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD中点，BE的延长线与AC交于点F，则AF：AC等于( )
A. 1：2 B. 2：3 C. 1：3 D. 2：5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13. 计算： 2÷ 18的结果是______ ．
14. 方程x2=−2x的解是______ ．
15. 若x3=y5=z7，则y+z3x−y的值是______ ．
16. 如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1//l2//l3，AB=4，AC=6，DF=10，则DE= ．
17. 若x=2 3−1，则代数式x2+2x−3的值是______ ．
18. 若关于x的二次方程x2−3x+n=0的两根x1和x2满足x1+x2−2=x1⋅x2，则n的值是______ ．
19. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为______米．
20. 如图，四边形ABCD是边长为3的菱形，对角线AC、BD的长度分别是关于x的一元二次方程x2−mx−x+2m=0的两实数根，DH⊥AB于点H，则DH的长度是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
计算：
(1) 8+2 3−( 27− 2)；
(2)( 2+1)( 2−1)−( 3−2)2．
22. (本小题8.0分)
解方程：
(1)3x+6=(x+2)2；
(2)3x2+x−5=0．
23. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE//BC，EF//AB.若AB=8，BD=3，BF=4，求FC的长．
24. (本小题8.0分)
已知x= 5− 3，y= 5+ 3，求x2+y2−3xy−5x+5y的值．
25. (本小题10.0分)
随着“共享经济”概念的迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租货公司年初在某地投放了一批共享汽车
(1)据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次.若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
(2)一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价5元，平均每月全天包车数增加8次，尽可能的减少租车次数.当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？
26. (本小题10.0分)
关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在k的值，使k为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
27. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，AC=10cm.点M、N分别在AB、BC上，且点M以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点N以1cm/s的速度由点B向点C运动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为t(s)．
(1)当MN//AC时，求t的值；
(2)在运动过程中，是否存在一个时刻t，使线段MN的长度为2 5cm？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.方程3x2+1=0是一元二次方程，选项A符合题意；
B.方程3x+2y−1=0是二元一次方程，选项B不符合题意；
C.原方程可变形为x+2=0，该方程是一元一次方程，选项C不符合题意；
D.方程1x2−x−1=0是分式方程，选项D不符合题意．
故选：A．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，即可进行解答．
【解答】
解：A、 12=2 3不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、 x2+1是最简二次根式，故B符合题意；
C、 15= 55不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、 a2=|a|不是最简二次根式，故D不符合题意，
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：A、a+bb=ab+1=23+1=53，故A不符合题意；
B、由ab=23，得到3a=2b，故B不符合题意；
C、由ab=23，得不到ab=a+2b+2，故C符合题意；
D、由ab=23，推出a2=b3，故D不符合题意．
故选：C．
由比例的性质，即可解决问题．
本题考查比例的性质，关键是掌握比例的基本性质．
4.【答案】A
【解析】A.∵a=2，b= 5，c= 15，d=2 3，∴2× 15= 5×2 3，故本选项正确，
B.∵a= 2，b=3，c=2，d= 3，∴ 2×3≠2× 3，故本选项错误，
C.∵a=4，b=6，c=5，d=10，∴4×10≠6×5，故本选项错误，
D.∵a=12，b=6，c=20，d=15，∴6×15≠12×20，故本选项错误，
故选：A．
根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，分别进行计算，即可求出答案．
此题考查了比例线段的概念．对于四条线段，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段．注意用最大的和最小的相乘，中间两数相乘．
5.【答案】A
【解析】解：x2−4x−3=0，
x2−4x=3，
x2−4x+4=3+4，
(x−2)2=7，
故选：A．
移项，配方，变形后即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：设方程的另一根为t，
根据题意得−2+t=−k，−2t=−2，
解得t=1，k=1．
故选：D．
设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到−2+t=−k，−2t=−2，然后先求出t的值，再计算k的值．
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程的解．
7.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−5)x2−2x+2=0有实数根，
∴k−5≠0(−2)2−4(k−5)×2≥0，
解得：k≤112且k≠5．
∵k为整数，
∴k的最大值为4．
故选：A．
根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再结合k为整数即可找出最大的k值．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵y− x−2022= 2002−x−2023，
∴x−2022≥0，2022−x≥0，
∴x=2022，
∴y=−2023，
∴(x+y)2023=(2022−2023)2023=(−1)2023=−1．
故选：C．
先根据二次根式有意义求出x和y的值，再计算即可．
此题考查了二次根式的有意义的条件，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×(1+x)，
∴三月份的营业额为200×(1+x)×(1+x)=200×(1+x)2，
∴可列方程为200+200×(1+x)+200×(1+x)2=1000，
即200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000．
故选：D．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【解答】
解：∵DE//BC，EF//AB，
．
故选C．
【点评】
本题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用，掌握平行线分线段成比例定理并找准对应关系是解题关键．
11.【答案】B
【解析】解：把x=2代入方程得4−4m+3m=0，解得m=4，
则原方程为x2−8x+12=0，
解得x1=2，x2=6，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2=14；
②当△ABC的腰为2，底边为6时，不能构成三角形．
综上所述，该三角形的周长的14．
故选：B．
先根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程求出m得到原方程为x2−8x+12=0，再解此方程得到得x1=2，x2=6，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长．
本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将腰长进行分类是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
作DH//BF交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到AF=FH=HC，得到答案．
【解答】
解：作DH//BF交AC于H，
∵DH//BF，AD是△ABC的中线，
∴CH=HF，
∵DH//BF，E是AD中点，
∴AF=FH，
∴AF=FH=HC，
∴AF：AC=1：3，
故选C．
13.【答案】13
【解析】解： 2÷ 18= 218=13，
故答案为：13．
根据二次根式的除法法则进行计算．
本题考查了二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．
14.【答案】x1=0，x2=−2
【解析】解：∵x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x=0或x+2=0，
∴x1=0，x2=−2．
故答案为：x1=0，x2=−2．
先移项得到x2+2x=0，再把方程左边进行因式分解得到x(x+2)=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x+2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=−2．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
15.【答案】3
【解析】解：设x3=y5=z7=k，
∴x=3k，y=5k，z=7k，
∴y+z3x−y，
=5k+7k3×3k−5k，
=3．
故答案为：3．
设x3=y5=z7=k得到x=3k，y=5k，z=7k，代入y+z3x−y即可得到答案．
本题考查比例的性质，关键是由x3=y5=z7=k，得到x=3k，y=5k，z=7k．
16.【答案】203
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴DEDF=ABAC，即DE10=46，
∴DE=203．
故答案为203．
直接根据平行线分线段成比例定理得到DEDF=ABAC，然后根据比例的性质可计算出DE的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
17.【答案】8
【解析】解：∵x=2 3−1，
∴x+1=2 3，
∴x2+2x−3=(x+1)2−4=(2 3)2−4=12−4=8．
故答案为：8．
先利用已知条件得x+1=2 3，将所求代数式配方，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
18.【答案】1
【解析】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=n，
∵x1+x2−2=x1⋅x2，
∴3−2=n，
∴n=1．
故答案为：1．
根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=n，则由x1+x2−2=x1⋅x2得3−2=n，即可求出n的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
19.【答案】1
【解析】解：设人行道的宽度为x米(0
整理得，(x−1)(x−8)=0．
解得：x1=1，x2=8(不合题意，舍去)．
即：人行通道的宽度是1米．
故答案是：1．
设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米 2，列出一元二次方程，再进行求解即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米 2得出等式是解题关键．
20.【答案】73
【解析】解：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OD=OB=12BD，OA=OC=12AC，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，AD=3，
∴OD2+OA2=9，
∵对角线AC、BD的长度分别是关于x的一元二次方程x2−mx−x+2m=0的两实数根，
∴AC+BD=m+1，AC⋅BD=2m，即OA+OD=12(m+1)，OA⋅OD=14⋅2m=12m，
∴OD2+OA2=(OD+OA)2−2OA⋅OD=14(m+1)2−m=9，
整理得：m2−2m=35，即(m−1)2=36，
解得：m=7或m=−5(负值舍去)，
∴AC⋅BD=14，
∵S菱形=AB⋅DH=12AC⋅BD，
∴DH=73．
故答案为：73．
由菱形的性质得到对角线互相垂直且平分，根据对角线AC、BD的长度分别是关于x的一元二次方程x2−mx−x+2m=0的两实数根，利用根与系数的关系表示出AC+BD与AC⋅BD，在Rt△AOD中，根据勾股定理及完全平方公式求出m的值，确定出AC⋅BD的值，菱形的面积由底×高或对角线乘积的一半来求，得到DH的长即可．
此题考查了根与系数的关系，以及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)原式= 8+2 3− 27+ 2
=2 2+2 3−3 3+ 2
=3 2− 3；
(2)原式=2−1−(3+4−4 3)
=1−7+4 3
=4 3−6．
【解析】(1)先去括号，再把各二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可；
(2)先根据平方差公式和完全平方公式计算出各数，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵3x+6=(x+2)2，
∴(x+2)2−3(x+2)=0，
则(x+2)(x−1)=0，
∴x+2=0或x−1=0，
解得x1=−2，x2=1；
(2)∵a=3，b=1，c=−5，
∴Δ=12−4×3×(−5)=61>0，
则x=−1± 616，即x1=−1+ 616，x2=−1− 616．
【解析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
23.【答案】解：∵DE//BC，EF//AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴EF=BD=3，
∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴CFCB=EFAB，即CFCF+4=38，
∴FC=125．
【解析】先判断四边形BDEF为平行四边形，则EF=BD=3，再证明△CEF∽△CAB，利用相似比得到CFCF+4=38，然后利用比例性质求CF的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的判定与性质．
24.【答案】解：∵x= 5− 3，y= 5+ 3，
∴x−y=( 5− 3)−( 5+ 3)=−2 3，xy=( 5− 3)( 5+ 3)=5−3=2，
∴x2+y2−3xy−5x+5y
=x2+y2−2xy−xy−5(x−y)
=(x−y)2−xy−5(x−y)
=(−2 3)2−2−5×(−2 3)
=12−2+10 3
=10+10 3．
【解析】根据二次根式的乘法法则求出xy，根据二次根式的减法法则求出x−y，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、减法法则、完全平方公式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意可得25(1+x)2=64，
解得：x1=0.6=60%，x2=−2.6(不合题意舍去)，
∴全天包车数的月平均增长率为60%．
(2)设租金降价a元，
根据题意可得：(120−a)(64+8a5)=8800，
化简得：a2−80a+700=0，
解得：a1=10，a2=70，
∵尽可能的减少租车次数，
∴a=10，
∴当租金降价10元时，公司每月获得租金总额为8800元．
【解析】(1)设全天包车数的月平均增长率为x，根据三月份的全天包车数为25次，五月份的全天包车数达到64次列出方程求解即可；
(2)每辆全天包车的租金×全天包车数量=8800列出方程，求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
26.【答案】解：(1)由题意知，k≠0且Δ=b2−4ac>0，
∴b2−4ac=(−3)2−4k>0，
解得：k<94且k≠0；
(2)∵k<94且k≠0，k为非负整数，
∴k=1，2．
当k=1时，Δ=9−4=5，此时方程的两根均为无理数，不符合题意舍去；
当k=2时，Δ=9−8=1，此时方程的两根均为有理数，符合题意；
故满足条件的k的值为2．
【解析】(1)根据一元二次方程的定义以及根的判别式，建立关于k的不等式组，求得k的取值范围．
(2)根据(1)中所求k的取值范围，得出使k为非负整数的值，代入Δ=b2−4ac中，进而求解即可．
本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；③Δ<0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
27.【答案】解：由题意可知，AM=2t cm，BN=t cm，
∴BM=AB−AM=(6−2t)cm，
∵∠ABC=90°，AB=6cm，AC=10cm，
∴BC= AC2−AB2= 102−62=8(cm)，
(1)∵MN//AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴BMBA=BNBC，
即6−2t6=t8，
解得：t=2411，
即当MN//AC时，t的值为2411；
(2)存在，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴BM2+BN2=MN2，
即(6−2t)2+t2=(2 5)2，
整理得：5t2−24t+16=0，
解得：t1=45，t2=4(不符合题意，舍去)，
答：在运动过程中，存在一个时刻t，使线段MN的长度为2 5cm，t的值为45．
【解析】(1)证△BMN∽△BAC，得BMBA=BNBC，即可得出结论；
(2)由勾股定理得BM2+BN2=MN2，即(6−2t)2+t2=(2 5)2，解方程取满足条件的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
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