2023-2024学年山东省烟台市招远市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省烟台市招远市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共21页。试卷主要包含了下列各式中，分式的个数为，若代数式等内容，欢迎下载使用。

1．下列各式中，分式的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．下列何者为多项式x2﹣36的因式（ ）
A．x﹣3B．x﹣4C．x﹣6D．x﹣9
3．某学校举办的跳绳比赛中，八年级参加比赛的6名女同学每分钟跳绳次数分别是168，159，170，172，164，166，这6个数据的中位数是（ ）
A．165B．167C．168D．171
4．若代数式（A﹣）•的化简结果为3a﹣6，则整式A为（ ）
A．﹣a+1B．a﹣1C．﹣a﹣1D．a+1
5．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（m﹣2）的是（ ）
A．m2﹣4B．（m+2）2﹣8（m+2）+16
C．m3﹣4m2+4mD．m2+2m
6．甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）如图，下列判断正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙稳定
B．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大
C．甲的最好成绩比乙的最好成绩高
D．甲的成绩的中位数比乙大
7．将多项式3x2﹣mx+18进行因式分解得到（x﹣3）（3x﹣n），则m+n的值为（ ）
A．﹣21B．﹣9C．9D．21
8．已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是0.7，则新的一组数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3xn﹣1的方差是（ ）
A．6.3B．2.1C．1.4D．0.7
9．对于有理数a、b，定义一种新运算¤：a¤b＝，这里等式的右边是有理数运算．例如：1¤3＝．那么，方程（﹣2）¤x＝﹣3的解为（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
10．体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1.25倍，比小亮少用了70秒，设小亮的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A．70×1.25x﹣70x＝1500B．
C．D．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．用提公因式法分解因式时，从多项式38x4﹣19x2﹣57x3中提出的公因式为 ．
13．甲、乙两人在100米短跑训练中，某10次的平均成绩相等，甲的方差是0.04，乙的方差是0.16，这10次短跑训练成绩较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
14．若关于x的方程无解，则m＝ ．
15．若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值可以是 ．
16．已知2m﹣n＝3，那么4m2﹣n2﹣6n+7的值为 ．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17．因式分解：
（1）﹣1+p4；
（2）﹣8a2b+2a3+8ab2；
（3）（x2+4）2﹣16x2．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
19．先化简再求值：，其中x2+3x﹣5＝0．
20．近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）完成表格，在相应序号处填空：
（2）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
21．已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围．
22．课本原题：当k取何值时，100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构特征．因为，100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式，故将100x2﹣kxy+49y2写成（10x）2±140xy+（7y）2，根据多项式对应项的系数相等，得到k＝±140．
（1）请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ；
（2）若x2+2（m﹣3）x+49是完全平方式，则m的值为 ；若x2﹣8x+n（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ；
（3）已知：（2x﹣a）2＝4x2+bx+16，请求出b的值．
23．2023年，我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显的优势．经过对某种电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.8元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．（请用两种设元法解决问题）
24．请阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：．
（1）将分式化为带分式；
（2）在（1）问中，当x取哪些整数值时，分式的值也是整数；
（3）当x的值变化时，分式的最大值为 ．
25．小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且m＞n．
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ；
（2）小明想要拼一个长为（m+2n），宽为（m+n）的大长方形，则需要边长为m的大正方形 个，边长为n的小正方形 个，长为m、宽为n的小长方形 个；
（3）动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：m2+5mn+6n2；（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解）
（4）拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求m+n的值．
参考答案
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各式中，分式的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解：，﹣，是分式，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．下列何者为多项式x2﹣36的因式（ ）
A．x﹣3B．x﹣4C．x﹣6D．x﹣9
【分析】根据平方差公式因式分解可得答案．
解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6），
∴x﹣6是多项式x2﹣36的因式．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解答本题的关键．
3．某学校举办的跳绳比赛中，八年级参加比赛的6名女同学每分钟跳绳次数分别是168，159，170，172，164，166，这6个数据的中位数是（ ）
A．165B．167C．168D．171
【分析】将这组数据从小到大排列，根据中位数的计算方法即可得出答案．
解：将这组数据从小到大排列为：159，164，166，168，170，172，
中位数＝＝167，
故选：B．
【点评】本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
4．若代数式（A﹣）•的化简结果为3a﹣6，则整式A为（ ）
A．﹣a+1B．a﹣1C．﹣a﹣1D．a+1
【分析】列出A的式子，化简即可．
解：由题意A＝（3a﹣6）÷+
＝3（a﹣2）×+
＝+
＝
＝a+1．
故选：D．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是理解题意，正确列出式子计算．
5．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（m﹣2）的是（ ）
A．m2﹣4B．（m+2）2﹣8（m+2）+16
C．m3﹣4m2+4mD．m2+2m
【分析】先提公因式，然后再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
解：A、m2﹣4＝（m+2）（m﹣2），故A不符合题意；
B、（m+2）2﹣8（m+2）+16＝（m+2﹣4）2＝（m﹣2）2，故B不符合题意；
C、m3﹣4m2+4m＝m（m2﹣4m+4）＝m（m﹣2）2，故C不符合题意；
D、m2+2m＝m（m+2），故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
6．甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）如图，下列判断正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙稳定
B．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大
C．甲的最好成绩比乙的最好成绩高
D．甲的成绩的中位数比乙大
【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．
解：甲同学的成绩依次为：6，7，7，7，8，
则其中位数为7，平均数为7，方差为×[（6﹣7）2+3×（7﹣7）2+（8﹣7）2]＝0.4；
乙同学的成绩从小到大依次排列为：乙同学的成绩依次为：5、6、7、8、9，
则其中位数为7，平均数为7，方差为×[（5﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝2，
∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：A．
【点评】本题考查了折线统计图，方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数．
7．将多项式3x2﹣mx+18进行因式分解得到（x﹣3）（3x﹣n），则m+n的值为（ ）
A．﹣21B．﹣9C．9D．21
【分析】直接利用多项式乘法，进而得出m，n的值，即可得出答案．
解：由题意可得：
3x2﹣mx+18＝（x﹣3）（3x﹣n）
＝3x2﹣nx﹣9x+3n
＝3x2﹣（n+9）x+3n，
∴n+9＝m，3n＝18，
解得：n＝6，m＝15，
∴m+n＝21．
故选：D．
【点评】此题主要考查了十字相乘法，正确得出m，n的值是解题关键．
8．已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是0.7，则新的一组数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3xn﹣1的方差是（ ）
A．6.3B．2.1C．1.4D．0.7
【分析】先设这组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差S2＝0.7，则另一组新数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3xn﹣1的平均数为3﹣1，方差为S2，代入公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2++（xn﹣）2]计算即可．
解：设这组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差S2＝0.7，
则另一组新数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3xn﹣1的平均数为3﹣1，方差为S′2，
∵S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2++（xn﹣）2]＝0.7，
∴S′2＝[（3x1﹣1﹣3+1）2+（3x2﹣1﹣3+1）2+（3x3﹣1﹣3+1）2++（3xn﹣1﹣3+1）2]
＝[（3x1﹣3）2+（3x2﹣3）2+（3x3﹣3）2++（3xn﹣3）2]
＝[9（x1﹣）2+9（x2﹣）2+9（x3﹣）2++9（xn﹣）2]
＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2++（xn﹣）2]
＝9S2
＝9×0.7
＝6.3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变：当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．．
9．对于有理数a、b，定义一种新运算¤：a¤b＝，这里等式的右边是有理数运算．例如：1¤3＝．那么，方程（﹣2）¤x＝﹣3的解为（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
【分析】根据定义的新运算可得：＝﹣2，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
解：∵（﹣2）¤x＝﹣3，
∴＝﹣3，
∴﹣1＝5﹣3（x﹣4），
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，x﹣4≠0，
∴x＝6是原方程的根，
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1.25倍，比小亮少用了70秒，设小亮的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A．70×1.25x﹣70x＝1500B．
C．D．
【分析】设小亮的速度是x米/秒，则小明的速度是1.25x米/秒，根据小明比小亮少用了70秒，列出分式方程即可．
解：设小亮的速度是x米/秒，则小明的速度是1.25x米/秒，
由题意得：﹣＝70，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．若分式有意义，则x的取值范围是 x≠0且x≠3 ．
【分析】根据分式有意义的条件，即分式的分母不为零即可．
解：∵分式有意义，
∴x（x﹣3）≠0，
∴x≠0且x﹣3≠0，
∴x≠0且x≠3．
故答案为：x≠0且x≠3．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟知要使分式有意义，则分母不为零是解本题的关键．
12．用提公因式法分解因式时，从多项式38x4﹣19x2﹣57x3中提出的公因式为 19x2 ．
【分析】根据公因式的定义即可得出答案．
解：从多项式38x4﹣19x2﹣57x3中提出的公因式为19x2．
故答案为：19x2．
【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，确定公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
13．甲、乙两人在100米短跑训练中，某10次的平均成绩相等，甲的方差是0.04，乙的方差是0.16，这10次短跑训练成绩较稳定的是 甲 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
解：∵甲的方差是0.04，乙的方差是0.16，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴这10次短跑训练成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14．若关于x的方程无解，则m＝ ﹣3 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出m的值即可．
解：关于x的方程化为整式方程为3＝x﹣2﹣m，
解得x＝m+5，
由于原方程无解，即分式方程有增根x＝2，
∴当x＝2时，m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查分式方程的解以及解分式方程，理解分式方程增根的意义是正确解答的前提．
15．若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值可以是 ﹣1或4或9 ．
【分析】题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间、结尾、开始的位置共五处；然后求出x的值，根据x的大小是否符合排列顺序，即可解答．
解：（1）当数据按从小到大的顺序排列为2，3，5，6，x，
在中间位置的数是5，
∴中位数是5，
平均数为（2+3+5+6+x）÷5，
∴5＝（2+3+5+6+x）÷5，
∴x＝9；符合排列顺序；
（2）当数据按从小到大的顺序排列后2，3，5，x，6，
中位数是3，
平均数是（2+3+5+6+x）÷5＝5，
∴x＝9，不符合排列顺序；
（3）当数据从小到大的顺序排列后2，x，3，5，6，
中位数是3，
平均数（2+3+5+6+x）÷5＝3，
∴x＝﹣1，不符合排列顺序；
（4）当数据从小到大的顺序排列后x，2，3，5，6，
中位数是3，
平均数（2，3，5，6，+x）÷5＝3，
∴x＝﹣1，符合排列顺序；
（5）当数据从小到大的顺序排列后2，3，x，5，6，
中位数是x，
平均数（2+3+5+6+x）÷5＝x，
∴x＝4，符合排列顺序；
∴x的值为﹣1或4或9．
故答案为：﹣1或4或9．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
16．已知2m﹣n＝3，那么4m2﹣n2﹣6n+7的值为 16 ．
【分析】利用平方差公式分解因式，然后代入值计算即可．
解：∵2m﹣n＝3，
∴4m2﹣n2﹣6n+7
＝（2m+n）（2m﹣n）﹣6n+7
＝3（2m+n）﹣6n+7
＝6m+3n﹣6n+7
＝6m﹣3n+7
＝3（2m﹣n）+7
＝3×3+7
＝16，
故答案为：16．
【点评】此题考查因式分解的应用，解决本题的关键是掌握平方差公式．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17．因式分解：
（1）﹣1+p4；
（2）﹣8a2b+2a3+8ab2；
（3）（x2+4）2﹣16x2．
【分析】（1）利用平方差公式进行分解，即可解答；
（2）先提公因式，然后再运用完全平方公式继续分解，即可解答；
（3）先利用平方差公式，然后再运用完全平方公式继续分解，即可解答．
解：（1）﹣1+p4
＝（P2+1）（P2﹣1）
＝（P2+1）（P+1）（P﹣1）；
（2）﹣8a2b+2a3+8ab2
＝2a（a2﹣4ab+4b2）
＝2a（a﹣2b）2；
（3）（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘x（x﹣2）得出3（x+2）+x2＝x（x+2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘2（x+3），得：2×2x+2（2x+6）＝﹣12，求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1）方程两边都乘x（x+2），得：3（x+2）+x2＝x（x+2），
去括号，得：3x+6+x2＝x2+2x，
移项，得：3x﹣2x+x2﹣x2＝﹣6，
合并同类项，得：x＝﹣6，
检验：当x＝﹣6时，x（x+2）＝﹣6×（﹣6+2）＝24≠0，
所以x＝﹣6是原分式方程的根，
∴原分式方程的解为x＝﹣6；
（2）方程两边都乘2（x+3），得：2×2x+2（2x+6）＝﹣12，
去括号，得：4x+4x+12＝﹣12，
移项，得：4x+4x＝﹣12﹣12，
合并同类项，得：8x＝﹣24，
系数化为1，得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，2x+6＝2×（﹣3）+6＝0，
所以x＝﹣3是原分式方程的增根，舍去，
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19．先化简再求值：，其中x2+3x﹣5＝0．
【分析】先计算括号，再计算除法，最后代入计算．
解：原式＝[﹣]÷
＝×
＝，
∵x2+3x﹣5＝0，
∴x2+3x＝5，
当x2+3x＝5时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
20．近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）完成表格，在相应序号处填空：
（2）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
解：（1）①“美团”的平均数是：7×20%+8×10%+4×10%+5×20%+6×（1﹣20%﹣10%﹣10%﹣20%）
＝7×20%+8×10%+4×10%+5×20%+6×40%
＝1.4+0.8+0.4+1+2.4
＝6（千元）；
故答案为：6；
②方差＝[（4﹣6）2+2×（5﹣6）2+4×（6﹣6）2+2×（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝1.2；
故答案为：1.2；
③把“滴滴”的这些数从小到大排列，中位数是第5、第6个数的平均数，
“滴滴”的中位数是：（4+6）÷2＝5（千元）；
故答案为：5；
④“滴滴”的众数为4（千元）；
故答案为：4；
（2）选“美团”网约公司，理由如下：
两家公司月收入平均数一样，中位数，众数美团均大于滴滴，且美团方差小，月收入更为稳定，
因此选“美团”网约车公司．
【点评】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
21．已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．
解：整理得：，
去分母得：2x﹣m+5＝3（x﹣1），
解之得：x＝8﹣m，
∵该分式方程的解是正数，即x＞0，
∴8﹣m＞0，
∴m＜8，
又∵x﹣1≠0 即x≠1，
∴8﹣m≠1，
∴m≠7，
∴m的取值范围是：m＜8且m≠7．
【点评】此题考查的是分式方程的解，能够正确求得分式方程的解是解决此题关键．
22．课本原题：当k取何值时，100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构特征．因为，100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式，故将100x2﹣kxy+49y2写成（10x）2±140xy+（7y）2，根据多项式对应项的系数相等，得到k＝±140．
（1）请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： 左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同 ；
（2）若x2+2（m﹣3）x+49是完全平方式，则m的值为 10或﹣4 ；若x2﹣8x+n（n为常数）是完全平方式，则n的值为 16 ；
（3）已知：（2x﹣a）2＝4x2+bx+16，请求出b的值．
【分析】（1）利用完全平方公式的特征进行描述即可；
（2）利用完全平方公式的结构特征列出关于m，n的式子解答即可；
（3）先利用完全平方公式的结构特征求得a值，进而求得b值即可．
解：（1）完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同（答案不为唯一）．
故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；
（2）∵x2+2（m﹣3）x+49是完全平方式，
∴x2+2（m﹣3）x+49＝x2±14x+72，
∴2（m﹣3）＝±14，
∴m＝10或﹣4．
∵x2﹣8x+n（n为常数）是完全平方式，
∴x2﹣8x+n＝x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，
∴n＝16．
故答案为：10或﹣4；16；
（3）∵（2x﹣a）2＝4x2+bx+16
∴4x2﹣4ax+a2＝4x2+bx+16
∴﹣4a＝b，a2＝16，
∴a＝±4，
∴b＝﹣4a＝±16．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
23．2023年，我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显的优势．经过对某种电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.8元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．（请用两种设元法解决问题）
【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，由题意：若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，列出分式方程，解方程即可．
解：方法一：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为（x+0.8）元，
由题意得：，
解之得：x＝0.2，
经检验可知：x＝0.2是原分式方程的解，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元；
方法二：设燃油车可行驶的总路程是x公里，则电动汽车可行驶的总路程是5x公里，由题意得： 解之得：x＝300
经检验可知：x＝300是原分式方程的解
.
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系．
24．请阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：．
（1）将分式化为带分式；
（2）在（1）问中，当x取哪些整数值时，分式的值也是整数；
（3）当x的值变化时，分式的最大值为 ．
【分析】（1）利用带分式的意义解答即可；
（2）将原分式化成带分式后，利用整数的整除性解答即可；
（3）将原分式化成带分式后，利用非负数的性质解答即可．
解：（1）＝；
（2）由（1）得：＝，
要使为整数，则必为整数，
∴x﹣2为9的因数，
∴x﹣2＝±1或x﹣2＝±3或x﹣2＝±9，
解得：x＝3，x＝1，x＝5，x＝﹣1，x＝11，x＝﹣7；
当x取﹣7，﹣1，1，3，5，11时，分式的值也是整数；
（3）＝＝＝3+，
∵x2≥0，
∴x2+3有最小值3，
∵当x2+3取得最小值时，取得最大值为，
∴的最大值为3+＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，分式的值，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
25．小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且m＞n．
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 （2m+n）（m+2n） ；
（2）小明想要拼一个长为（m+2n），宽为（m+n）的大长方形，则需要边长为m的大正方形 1 个，边长为n的小正方形 2 个，长为m、宽为n的小长方形 3 个；
（3）动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：m2+5mn+6n2；（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解）
（4）拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求m+n的值．
【分析】（1）观察图形得大长方形的长为（2m+n），宽为（m+2n），进而根据图形的面积可得出答案；
（2）由（m+2n）（m+n）＝m2+3mn+2n2可得出答案；
（3）首先画出示意图，然后根据图形的面积可得出答案；
（4）首先根据题意得：mn＝12，3m2+3n2＝75，则m2+n2＝25，再设m+n＝y，其中y＞0，由此得y2＝（m+n）2＝m2+n2+2mn＝25+2×12＝49，进而求出y的值即可得m+n的值．
解：（1）观察图形得：大长方形的长为（2m+n），宽为（m+2n），
∴2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）；
故答案为：（2m+n）（m+2n）．
（2）∵（m+2n）（m+n）＝m2+3mn+2n2，
∴小明想要拼一个长为（m+2n），宽为（m+n）的大长方形，则需要边长为m的大正方形1个，边长为n的小正方形2个，长为m、宽为n的小长方形3个，如图所示：

故答案为：1，2，3．
（3）如图所示：

m2+5mn+6n2＝（m+2n）（m+3n）；
（4）依题意得：mn＝12，3m2+3n2＝75，
∴m2+n2＝25，
设m+n＝y，其中y＞0，
则y2＝（m+n）2＝m2+n2+2mn＝25+2×12＝49，
∵y＞0，
∴y＝7，
故得：m+n＝7．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，理解题意，熟练掌握图形的面积和因式分解是解决问题的关键．
平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
方差
“美团“
①
6
6
②
“滴滴”
6
③
④
6.4
平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
方差
“美团“
① 6
6
6
② 1.2
“滴滴”
6
③ 5
④ 4
6.4