2023-2024学年山东省威海市乳山市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省威海市乳山市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，）B．（3，）C．（3，）D．（﹣3，）
2．关于反比例函数y＝的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，2）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．图象关于原点成中心对称
3．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则csB的值是（ ）
A．B．C．2D．
4．若点A（2，4），B（﹣2，a）都在反比例函数的图象上，则a＝（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
5．如图，点A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足为B，C，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．24
6．表格数据均满足函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若x是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项正确的是（ ）
A．1.6＜x＜1.8B．1.8＜x＜2.0C．2.0＜x＜2.2D．2.2＜x＜2.4
7．如图，小明在M处用高1.5m（即CM＝1.5m）的测角仪测得旗杆AB顶端B的仰角为30°，将测角仪沿旗杆方向前进20m到N处，测得旗杆顶端B的仰角为60°，则旗杆AB的高度为（ ）
A．11.5mB．20m
C．mD．m
8．反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A．k3＞k1＞k2B．k1＞k3＞k2C．k3＞k2＞k1D．k2＞k1＞k3
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线，且经过点A（3，0），则4a﹣2b+c的值为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
11．若函数的图象过点，则此函数图象位于第 象限．
12．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝ ．
13．如图，抛物线y＝x2+2x与直线y＝3交于A，B两点，与x轴负半轴交于点C，则四边形ACOB的面积是 ．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是BC上一点，若tan∠BAD＝，则BD的长为 ．
15．如图，点A在第一象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴的正半轴交于点B，对称轴为x＝1，点C在抛物线上，且位于点A，O之间（点C与A，O不重合），若△AOC的周长为m，则四边形ACOB的周长为 ．
16．如图，点A，B是第一象限内双曲线（k≠0，x＞0）上的点（点B在点A的左侧），若B点的纵坐标为1，△OAB为等边三角形，则k的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程）
17．计算：．
18．如图，函数与y2＝x+b的图象交于点A，B（﹣1，3），连接OA，OB．
（1）直接写出k和b的值：k＝ ，b＝ ；
（2）若y1＞y2，求x的取值范围；
（3）在函数y1的图象上存在点P，使得直线OP能将△OAB的面积二等分，直接写出点P的坐标： ．
19．商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝45°，改造后的斜坡式扶梯的坡角∠ACB＝15°，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度BC．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41）
20．某班同学参加社会行业体验及公益活动，准备以每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．所购水果每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）间的关系如表：
（1）求每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）间的函数表达式；
（2）若水果的进货成本每天不超过960元，每天还要获得最大利润，求水果的销售单价及最大利润．
21．已知关于x的二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3．
（1）若该函数图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且经过点D（2，﹣3），求△ABC的面积；
（2）若将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．
22．为进行技术转型，某企业从今年1月开始对车间的生产线进行为期5个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年5月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加10万元．设今年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，利润与时间的图象如图所示．
（1）分别求出生产线升级改造前后，y与x的函数表达式．
（2）已知月利润少于50万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月．
23．如图，直线y＝3x﹣3与x，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线y＝a（x+1）2+k与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D，若以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
24．如图1，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数（x＜0）的图象交于点B（﹣3，b），连接OB．
（1）b＝ ，k＝ ．
（2）若点P在第三象限内，是否存在点P使得△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，C是线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD．若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，）B．（3，）C．（3，）D．（﹣3，）
【分析】把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可．
解：∵＝（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的顶点坐标是（3，﹣）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法是解题的关键．
2．关于反比例函数y＝的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，2）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．图象关于原点成中心对称
【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项．
解：A．当x＝1时，y＝＝2，所以图象经过点（1，2），说法正确，不合题意；
B．k＝2＞0，则图象位于第一、三象限，故说法正确，不合题意；
C．k＝2＞0，则图象在第一、三象限内，y随x的增大而减小，所以当x＞0时，y随x的增大而减小，故说法错误，符合题意；
D．反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．
3．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则csB的值是（ ）
A．B．C．2D．
【分析】根据锐角三角函数关系得出设BC＝x，AC＝2x，故AB＝x，进而得出答案．
解：∵∠C＝90°，tanA＝，
∴＝，
设BC＝x，AC＝2x，故AB＝＝x，
则csB＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．
4．若点A（2，4），B（﹣2，a）都在反比例函数的图象上，则a＝（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入解析式即可求得a的值．
解：把A（2，4），代入y＝（k≠0）得，4＝，
解得k＝8，
∴反比例函数y＝，
∵B（﹣2，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
5．如图，点A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足为B，C，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．24
【分析】直接根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．
解：矩形OABC的面积＝|k|＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．表格数据均满足函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若x是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项正确的是（ ）
A．1.6＜x＜1.8B．1.8＜x＜2.0C．2.0＜x＜2.2D．2.2＜x＜2.4
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
解：由表可以看出，当x取2.0与2.2之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为2.0＜x＜2.2．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数值的范围是本题的关键．
7．如图，小明在M处用高1.5m（即CM＝1.5m）的测角仪测得旗杆AB顶端B的仰角为30°，将测角仪沿旗杆方向前进20m到N处，测得旗杆顶端B的仰角为60°，则旗杆AB的高度为（ ）
A．11.5mB．20m
C．mD．m
【分析】求出∠CBD＝∠BCE，得到△BCD是等腰三角形，从而求出BD的长，然后在△BED中，求出BE的长，然后求出AB的长．
解：∵∠BCE＝30°，∠BDE＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣∠BCE＝30°＝∠BCE，
∴BD＝CD＝20米，
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
即BE＝BD•sin60°＝20×＝10（米），
AB＝BE+AE＝（10+1.5）米．
即：旗杆AB的高度是（10+1.5）米．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，会解直角三角形是解题的关键．
8．反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A．k3＞k1＞k2B．k1＞k3＞k2C．k3＞k2＞k1D．k2＞k1＞k3
【分析】根据反比例函数的性质进行解答即可．
解：∵反比例函数y3＝的图象在第三象限，
∴k3＞0；
∵反比例函数，的图象在第四象限，
∴k2＜0，k1＜0，
∵反比例函数的图象距离坐标轴较远，
∴k1＜k2，
∴k3＞k2＞k1．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质与反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线，且经过点A（3，0），则4a﹣2b+c的值为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【分析】先求出点A（3，0）关于直线x＝的对称点为（﹣2，0），而点A（4，0）在该抛物线上，则利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），然后根据二次函数图象上点的坐标特征求解．
解：∵点A（3，0）关于直线x＝的对称点为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数的性质．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】过A作AD⊥x轴于D，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD，根据三角形的面积即可求出答案．
解：过A作AD⊥x轴于D，
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝60°，
∴OD＝2，
由勾股定理得：AD＝2，
①当0≤t＜2时，如图所示，ON＝t，MN＝ON＝t，S＝ON•MN＝t2；
②2≤t≤4时，ON＝t，MN＝2，S＝ON•2＝t．
故选：C．
【点评】本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
11．若函数的图象过点，则此函数图象位于第 一、三 象限．
【分析】先把P点坐标代入y＝中求出k＝，然后根据反比例函数的性质进行判断．
解：∵函数的图象过点，
∴k＝＝＞0，
所以该反比例函数的图象位于第一、三象限．
故答案为：一、三．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
12．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝ ．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D．利用格点和勾股定理先计算AC、AB，再利用三角形的面积求出BD，最后求出∠BAC的正弦．
解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
∵点A，B，C在正方形网格的格点上，
∴AC＝＝3，AB＝＝＝．
∵S△ABC＝BC•AE＝，
S△ABC＝AC•BD＝×3×BD．
∴BD＝．
∴sin∠BAC＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用三角形的面积关系求出BD的长是解决本题的关键．
13．如图，抛物线y＝x2+2x与直线y＝3交于A，B两点，与x轴负半轴交于点C，则四边形ACOB的面积是 9 ．
【分析】根据抛物线的解析式求得点C的坐标，继而求得梯形ACOB的一底边的长度；然后利用抛物线与直线交点的求法得到该梯形的另一底边的长度，以及该梯形的高；最后由梯形的面积公式作答．
解：根据题意知，AB∥CO，AC＝BO．则四边形ACOB是梯形．
由y＝x2+2x＝x（x+2）知，C（﹣2，0），则OC＝2．
由得到：，．
故A（﹣3，3），B（1，3）．
∴AB＝4．
∴S四边形ACOB＝×（2+4）×3＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与性质，抛物线与x轴的交点．根据题意推知四边形ACOB是梯形是解题的突破口．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是BC上一点，若tan∠BAD＝，则BD的长为 2 ．
【分析】在Rt△ABC中，利用三角函数或勾股定理求得AB的长度，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，可以证明Rt△BED为等腰三角形，从而得到DE＝BE．设DE＝BE＝x，则AE＝AB﹣x，在Rt△AED中，根据tan∠BAD＝，求得x的值，进而求得BD的长度．
解：过点D作DE⊥AB，交AB于点E．
∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠BDE＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴DE＝BE．
AB＝＝＝6，
设DE＝BE＝x，则AE＝AB﹣x，
∴tan∠BAD＝＝，解得x＝，即DE＝BE＝2，
∴BD＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查解直角三角形和等腰三角形，掌握它们的特点是本题的关键．
15．如图，点A在第一象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴的正半轴交于点B，对称轴为x＝1，点C在抛物线上，且位于点A，O之间（点C与A，O不重合），若△AOC的周长为m，则四边形ACOB的周长为 m+2 ．
【分析】先根据点A抛物线的顶点得出OA＝OB，再由△AOC的周长为m可得出AC+OC+OA＝AC+OC+AB＝m，再根据对称轴为x＝1得出OB＝2，由此可得出结论．
解：∵点A抛物线的顶点，
∴OA＝OB．
∵△AOC的周长为m，
∴AC+OC+OA＝AC+OC+AB＝m．
∵对称轴为x＝1，
∴OB＝2，
∴四边形ACOB的周长＝（AC+OC+AB）+OB＝m+2．
故答案为：m+2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形AOBC的周长转化为求（△ABC的周长+OB）是关键．
16．如图，点A，B是第一象限内双曲线（k≠0，x＞0）上的点（点B在点A的左侧），若B点的纵坐标为1，△OAB为等边三角形，则k的值是 ．
【分析】作CO⊥BO，交BA的延长线于C，作CD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，设B（a，1），通过证得三角形相似求得N的坐标，进一步得到A的坐标，代入双曲线，得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而求得k的值．
解：作CO⊥BO，交BA的延长线于C，作CD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
设B（a，1），
∴BE＝a，OE＝1，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO＝∠AOB＝60°，OA＝AB，
∵∠BOC＝90°，
∴tan60°＝＝，∠BCO＝30°，
∵∠BOE+∠COD＝90°＝BOE+OBE，
∴∠COD＝∠OBE，
∵∠OEB＝∠CDO＝90°，
∴△BOE∽△OCD，
∴，
∴CD＝OE＝，OD＝BE＝a，
∴C（，﹣a），
∵∠AOC＝∠ACO＝30°，
∴OA＝AC，
∴A是BC的中点，
∴A（，），
∵点A，B是第一象限内双曲线（k≠0，x＞0）上的点（点B在点A的左侧），
∴k＝a×1＝•，
解得a＝2﹣或﹣2﹣，
∵0＜a＜1，
∴k＝a×1＝2﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程）
17．计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案．
解：原式＝×﹣
＝
＝．
【点评】此题主要考查了实数的运算、特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．如图，函数与y2＝x+b的图象交于点A，B（﹣1，3），连接OA，OB．
（1）直接写出k和b的值：k＝ ﹣3 ，b＝ 4 ；
（2）若y1＞y2，求x的取值范围；
（3）在函数y1的图象上存在点P，使得直线OP能将△OAB的面积二等分，直接写出点P的坐标： （﹣，） ．
【分析】（1）将点B的坐标代入两个函数表达式，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）当OP将△OAB的面积二等分时，点H是AB的中点，得到直线OH的表达式为：y＝﹣x，即可求解．
解：（1）将点B的坐标代入两个函数表达式得：，
解得：，
故答案为：﹣3，4；
（2）从图象看，x的取值范围为x＜﹣3或﹣1＜x＜0；
（3）由（1）知，两个函数表达式为：y＝x+4和y＝﹣，
联立2个函数表达式并解得：x＝﹣3或﹣1，
故点A的坐标为：（﹣3，1），
如下图，设OP交AB于点H，
当OP将△OAB的面积二等分时，点H是AB的中点，
则点H（﹣2，2），
则直线OH的表达式为：y＝﹣x，
联立y＝﹣和y＝﹣x并解得：x＝，
则点P的坐标为：（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
【点评】本题反比例函数与一次函数的交点，涉及到三角形的面积、中线的性质、不等式的应用等，有一定的综合性，难度适中．
19．商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝45°，改造后的斜坡式扶梯的坡角∠ACB＝15°，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度BC．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41）
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出BD、AD，根据正切的定义求出CD，进而求出BC．
解：在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝10，
则BD＝AD＝10×＝5≈7.1（m），
在Rt△ACD中，CD＝≈≈26.1（m），
∴BC＝CD﹣BD＝26.1﹣7.1≈19（m），
答：水平距离增加的长度BC约为19m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．某班同学参加社会行业体验及公益活动，准备以每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．所购水果每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）间的关系如表：
（1）求每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）间的函数表达式；
（2）若水果的进货成本每天不超过960元，每天还要获得最大利润，求水果的销售单价及最大利润．
【分析】（1）根据题意和第一问中的表达式可以求得每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）之间的函数表达式；
（2）根据在问题（1）条件下，若水果的进货成本每天不超过960元，可以求得每天要想获得最大的利润，这种水果的销售单价，和该天的最大利润．
解：（1）设y与x之间的函数表达式是y＝kx+b，
由题意可得，
解得k＝﹣20，b＝400，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+400，
根据题意得W＝（x﹣6）（﹣20x+400）＝﹣20x2+520x﹣2400；
（2）由题意得0＜6（﹣20x+400）≤960．
解得12≤x＜20，
由W＝﹣20x2+520x﹣2400得，
∵a＝﹣20＜0，12≤13＜20．
∴水果的销售单价为13元时，可获得最大利润，W最大＝980．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．已知关于x的二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3．
（1）若该函数图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且经过点D（2，﹣3），求△ABC的面积；
（2）若将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．
【分析】（1）先求出函数的解析式，再求出ABC的坐标，再根据三角形的面积公式求解；
（2）先求出顶点的横坐标，找出平移方向和距离，再根据平移法则求解；
解：（1）∵该二次函数图象经过点（2，﹣3），
∴﹣3＝4﹣2（m﹣2）﹣3，
解得：m＝4．
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
所以△ABC的面积是：．
（2）∵抛物线的顶点的横坐标为：x＝﹣＝，
∴平移后的解析式为：y＝（x+）2﹣（m﹣2）（x+）﹣3．
即：．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与坐标轴的交点坐标的求法、平移规律和三角形的面积的公式是解题的关键．
22．为进行技术转型，某企业从今年1月开始对车间的生产线进行为期5个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年5月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加10万元．设今年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，利润与时间的图象如图所示．
（1）分别求出生产线升级改造前后，y与x的函数表达式．
（2）已知月利润少于50万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月．
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出出生产线升级改造前后，y与x的函数表达式；
（2）分别求出两个函数值小于50万元时对应的x值，即可确定资金紧张期共有几个月．
解：（1）设升级改造前y与x的函数表达式为y＝，
将（1，100）代入，得100＝，
解得k＝100，
∴升级改造前y与x的函数表达式为，
当x＝5时，y＝20，
∵恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加10万元，
∴可设升级改造后y与x的函数表达式为y＝10x+b，
将（5，20）代入，得20＝10×5+b，
解得b＝﹣30，
∴升级改造后y与x的函数表达式为y＝10x﹣30；
（2）在中，
当y＝50时，x＝2，
在y＝10x﹣30中，
当y＜50时，10x﹣30＜50，
∴x＜8，
∴2＜x＜8且x为整数，
∴x可取3，4，5，6，7，
所以资金紧张期共有5个月．
【点评】本题考查反比例函数的应用，理解题意，掌握待定系数法时解题的关键．
23．如图，直线y＝3x﹣3与x，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线y＝a（x+1）2+k与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D，若以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用待定系数法求得直线BC的解析式，设点M的坐标为（m，﹣m﹣3），则点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），则DM＝（m2+2m﹣3）﹣（﹣m﹣3）或DM＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3），利用平行四边形的对边线段的性质得到关于m的方程，解方程即可得出结论．
解：（1）∵直线y＝3x﹣3与x，y轴分别交于点A，B，
∴令x＝0，则y＝﹣3，
令y＝0，则x＝1．
∴A（1，0），B （0，﹣3）．
∵抛物线y＝a（x+1）2+k经过A，B，
∴，
∴．
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3；
（2）令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
则x＝1或x＝﹣3．
∴C（﹣3，0）．
设直线BC的解析式为y＝bx+n，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3．
设点M的坐标为（m，﹣m﹣3），则点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），
则DM＝（m2+2m﹣3）﹣（﹣m﹣3）或DM＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3），
∵以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，OB＝3，
∴DM＝OB＝3，
∴（m2+2m﹣3）﹣（﹣m﹣3）＝3或（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝3，
由（m2+2m﹣3）﹣（﹣m﹣3）＝3，得：
，．
∴点M的坐标为或．
由（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝3，
∵Δ＜0，
∴方程无解，
综上，点M的坐标为或．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
24．如图1，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数（x＜0）的图象交于点B（﹣3，b），连接OB．
（1）b＝ 1 ，k＝ ﹣1 ．
（2）若点P在第三象限内，是否存在点P使得△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，C是线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD．若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）需要分两种情况讨论，当点O为直角顶点和当点B为直角顶点时，分别求解即可；
（3）由S四边形OCBD＝S△CDB+S△CDO＝CD•（xO﹣xB），即可求解．
解：（1）∵B（﹣3，b）在反比例函数（x＜0）的图象上，
∴b＝1，
∴B（﹣3，1），
∵一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象过点B，
∴1＝﹣3k﹣2，
∴k＝﹣1，
故答案为：1，﹣1；
（2）存在，理由如下：
若△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：
①当点O为直角顶点时，过点O作OP⊥OB，且OP＝OB，
分别过点B，P作y轴的垂线，垂直于点E，F，
∴∠BEO＝∠OFP＝90°，∠BOE+∠FOP＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠FOP＝∠OBE，
∵OB＝OP，
∴△BEO≌△OFP（AAS），
∴OE＝FP＝1，BE＝OF＝3，
∴P（﹣1，﹣3），
②当点B为直角顶点时，连接PP'，
∴四边形OBPP'是正方形，
∴OB∥PP'，且OB＝PP'，
∴P'（﹣4，﹣2），
综上，点P的坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣4，﹣2）；
（3）∵点C在直线AB上，
∴设点C（m，﹣m﹣2），则点D（m，），
∴S四边形OCBD＝S△CDB+S△CDO＝CD•（xO﹣xB）＝（﹣+m+2）×3＝3，
解得m＝﹣或（舍去），
∴C（﹣，﹣2）．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
﹣0.80
﹣0.54
﹣0.20
0.22
0.72
x
10
11
12
13
14
…
y
200
180
160
140
120
…
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
﹣0.80
﹣0.54
﹣0.20
0.22
0.72
x
10
11
12
13
14
…
y
200
180
160
140
120
…