课后素养落实(二十二)　贝叶斯公式*

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[P＝＝，故选D．]

2．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为．现已知某考生答对了，问他猜对此题的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[设A表示“考生不知道正确答案”，B表示“考生答对了考题”．

则P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝1，

由全概率公式得

P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×1＝，

由贝叶斯公式得P(A|B)

＝＝＝．]

3．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为(　　)

A．0.025    B．0.08    C．0.07    D．0.125

A　[设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，

P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，

∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025．故选A．]

4．(多选题)某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，下列说法正确的是(　　)

A．此人是癌症患者的概率约为0.106 6

B．此人是癌症患者的概率为0.3

C．此人不是癌症患者的概率约为0.893 4

D．此人不是癌症患者的概率为0.7

AC　[设C＝{抽查的人患有癌症}，

A＝{试验结果是阳性}，则表示“抽查的人不患癌症”．

已知P(C)＝0.005，P()＝0.995，

P(A|C)＝0.95，P(A|)＝0.04，

由贝叶斯公式，可得

P(C|A)＝，

代入数据计算得P(C|A)≈0.106 6．]

二、填空题

5．用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，A表示被检验者患肝癌，B表示判断被检验者患肝癌．由于种种原因使检验方法带有误差．假定P(B|A)＝0.95，P(|)＝0.90，又设人群中患肝癌的比例为P(A)＝0.0004．现在若有一人被此法诊断为患肝癌，则此人真正患肝癌的概率P(A|B)≈________．(结果保留两位有效数字)

0.003 8　[P(A|B)＝

＝≈0.003 8．]

6．商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱．这一箱含有一个次品的概率约为________．(结果保留三位有效数字)

0.084 8　[设A：从一箱中任取4只检查，结果都是好的．B0，B1，B2分别表示事件每箱含0,1,2只次品．

则P(B0)＝0.8，P(B1)＝0.1，P(B2)＝0.1，P(A|B0)＝1，

P(A|B1)＝＝，

P(A|B2)＝＝，

P(B1|A)＝

＝≈0.084 8．]

7．有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，一个白球．这6个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为________．若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率为________．

　　[设A1＝从甲袋放入乙袋的是白球；

A2＝从甲袋放入乙袋的是红球；

B＝从乙袋中任取一球是红球；

P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝×＋×＝，

P(A1|B)＝＝＝．]

三、解答题

8．已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症．随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？(设男子和女子的人数相等)

[解]　设A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子，C表示抽到的人有色盲症．

则P(A)＝P(B)＝0.5，P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.002 5，

由贝叶斯公式可得

P(A|C)＝

＝≈0.95．

9．通讯中，等可能地传送字符AAAA、BBBB和CCCC三者之一．由于通讯中存在干扰，正确接收被传送字母的概率为0.6，接收其他两个字母的概率均为0.2．假定前后字母是否被扭曲互不影响．

(1)求收到字符ABCA的概率；

(2)若收到字符ABCA，求它本来是AAAA的概率又是多大？

[解]　记A4表示事件“发AAAA”，B4表示事件“发BBBB”，C4表示事件“发CCCC”，D表示事件“收ABCA”，

由题意知P(A4)＝P(B4)＝P(C4)＝且

P(D|A4)＝0.62×0.22＝0.014 4，

P(D|B4)＝0.6×0.23＝0.004 8＝P(D|C4)．

(1)由全概率公式得，

P(D)＝P(A4)P(D|A4)＋P(B4)P(D|B4)＋P(C4)P(D|C4)＝0.008．

(2)由贝叶斯公式得，

P(A4|D)＝＝0.6．

10．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的．根据以往的记录有以下的数据：

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．

(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率．

[解]　设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i＝1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”．易知，B1，B2，B3是样本空间Ω的一个划分，且有P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.80，P(B3)＝0.05，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.03．

(1)由全概率公式

P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.012 5．

(2)由贝叶斯公式

P(B1|A)＝＝＝0.24．

P(B2|A)＝0.64，

P(B3|A)＝0.12．

结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大．