人教A版 数学 必修 第一册 第二章一元二次函数、方程和不等式试卷及答案 5

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一元二次函数、方程和不等式测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　）A． B． C． D．2．已知a，b为非零实数，且，则下列命题成立的是（    ）A． B． C． D．3．若，则下列不等式中一定成立的是（    ）A． B．C． D．4．两个正实数，满足，，成等差数列，则不等式恒成立时实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是(　　)A．{x|x<5a或x>－a} B．{x|x>5a或x<－a}C．{x|－a<x<5a} D．{x|5a<x<－a}6．若－4<x<1，则(　　)A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－17．关于x的方程的解集为(　　)A．{0} B．{x|x≤0或x>1}C．{x|0≤x<1} D．{x|x≠1}8．设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0） C．（﹣∞，0]∪[1+∞，） D．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中一定成立的是(　　)A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<010．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是（　　）A．ab有最大值 B．有最大值 C． D．有最小值11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋3>0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是(　　)A．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|x>3}B．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是RC．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是∅D．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|－1<x<3}12．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是(　　)A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。13．不等式的解集是________.14．设，，那么的取值范围是________．15．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.其中恒成立的是________.(填序号)16．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则___，___.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (10 分)在(1) 一次函数的图象过 两点; (2)关于的不等式 的解集为 (3) 这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中并解答.
问题：已知 , 求关于 的不等式 的解集.
注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.
18. (12 分) 已知关于的不等式 的解集为 , 求关于 的不等式 的解集.
19. (12 分)已知 且 .
(1)求 的最小值;
(2) 若不等式 恒成立, 求实数 的取值范围.
20．(12 分)已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．21．(12 分)某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）.池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造价最低？22．(12 分)已知关于的函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值 参考答案1解析：因为关于x的不等式的解集为，所以，又，所以，解得，因为，所以.
故选：A.2解析：A不正确，如，，显然不成立，B不正确，如，时，显然不成立，C不正确，如，时，显然不成立.∵函数在定义域R上是个减函数，∴.所以D选项正确.故选：D3解析：取排除与； 函数是上的增函数，当时，必定成立， 即，所以A正确 函数在上递减，在上递增，当时， 不一定成立，所以不成立 故选：A4解析：两个正实数，满足，，成等差数列，，，，．不等式恒成立，即恒成立，即恒成立．，求得，故选：C．5解析：方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}，故选A.6解析：又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.∴≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．7解析：由题意知，≥0，所以x≤0或x>1，所以方程的解集为{x|x≤0或x>1}．8解析：命题q：：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，即a≤x≤2+a．由题意得，命题p成立时，命题q一定成立，但当命题q成立时，命题p不一定成立．∴a≤0，且2+a≥1，解得﹣1≤a≤0，故选：A．9解析：由c<b<a且ac<0，知a>0，c<0，而b的取值不确定，当b＝0时，C不成立．根据不等式的性质可知A、B、D均正确．10解析：对于选项A：∵ab≤（）2（当且仅当a＝b时取“＝“），故选项A正确；对于选项B：∵（）2＝a+b+2a+b+a+b＝2，∴（当且仅当a＝b时取“＝“），故选项B正确；对于选项C：∵正实数a，b满足a+b＝1，∴a﹣b＝1﹣2b＞﹣1，∴3a﹣b＞3﹣1，故选项C正确；对于选项D：∵a+b＝1，∴（）（a+b）＝33+2（当且仅当时取“＝“），故选项D错误．故选：ABC．11解析：在A中，依题意得a＝0，得bx＋3>0，当x>3时，b>－>－1.即当b>－1时，x>3可使bx＋3>0成立，故A正确；在B中，取a＝1，b＝2，得x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，解集为R，故B正确；在C中，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3>0，知其解集不为∅，当a<0，Δ>0，知其解集也不为∅，故C错误；在D中，依题意得a<0，且解得，符合题意，故D正确．12解析：在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得，解得0<m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m<0得1<m<9，又{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故D正确．13解析：原不等式可化为即，所以，故，所以原不等式的解集为.故答案为：.14解析：因为，，所以，，∴.故答案为：.15解析：解析由于a2＋1－a＝，故①恒成立；由于a＋≥2，b＋≥2，∴，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a＋b≥2，，故(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.综上，恒成立的是①②③.故答案为：①②③16解析：由题意可得，解得.故答案为10     90017解析： 若选(1), 由题意得 解得 将 代入所求不等式, 䇥理得 , 解得 或 , 故原不等式的解集为 , 或 .若选(2), 因为不等式 的解集为 , 所以 解得 将 代入不等式整理得 , 解得 或 , 故原不等式的解集为, 或 .
若选(3), 若 , 解得 , 不符合条件; 若 , 解得 , 则 符合条件. 将 代入不等式, 整理得 , 解得 或 , 故原不等式的解集为 , 或 .18解析：(方法一) 由不等式 的解集为 可知, , 且2和3是方程 的两根,
由根与系数的关系可知 .由 , 得不等式 可化为 ,即 ，解得 或 ，所以不等式 的解集为 , 或 .
(方法二) 由不等式 的解集为 可知, , 且2和3是方程 的两根,
所以 , 所以 ,故不等式 , 即 可化为 ,故原不等式的解集为 或 .19解析：(1) 且 ,当且仅当 时等号成立, 故 的最小值为 .
(2) 且 ,, 当且仅当 , 且 , 即 时等号成立, 即 的最小值为 3 ., 即 , 解得 ,
即实数的取值范围是 .20解析：（1）是二次函数，且的解集是，∴可设，可得在区间在区间上函数是减函数，区间上函数是增函数．∵，，，∴在区间上的最大值是，得．因此，函数的表达式为．（2）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为，①当时，即时，在上单调递减，此时的最小值；②当时，在上单调递增，此时的最小值；③当时，函数在对称轴处取得最小值，此时，，综上所述，得的表达式为，当，取最小值21解析：设水池的长为x米，则宽为米.总造价：y=400（2x+）+100+200×60=800（x+）+12000≥800+12000=36000，当且仅当x=，即x=15时，取得最小值36000.所以当净水池的长为15m时，可使总造价最低.22解析：（1）当时，∴原不等式为对于方程∴对于方程有两个不相等的实数根，∴原不等式的解集为或（2）要使对任意的恒成立即对任意的恒成立令由基本不等式可得：当且仅当即时，等号成立.的最小值为的最大值为