数学第一章 直角三角形的边角关系2 30°、45°、60°角的三角函数值教学设计

这是一份数学第一章 直角三角形的边角关系2 30°、45°、60°角的三角函数值教学设计，共16页。教案主要包含了学法点津，学点归纳总结，巩固拓展练习，挑战课标中考等内容，欢迎下载使用。

1.2 30°,45°,60°角的三角函数值
教学设计
课题
2　30°,45°,60°角的三角函数值
授课人

教
学
目
标
知识技能
　　经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
数学思考
　　能够进行30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
问题解决
　　能够根据30°,45°,60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小.
情感态度
　　积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲;通过“试验—猜想—证明—应用”的数学活动提升科学素养.
教学
重点
　　能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
教学
难点
　　在具体情境中构建直角三角形,运用特殊角的三角函数值解决实际问题.
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
　　我们已经学习了正切、正弦和余弦函数,同学们还记得它们的概念吗?在直角三角形中对于同一个锐角来说,这三种三角函数分别对应了哪两条边的比值?
　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】

图1-2-10
1.为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.请你设计一个测量方案,测出这棵大树的高度.
(用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各自的想法)
(1)给学生时间,让学生去思考讨论如何测量大树的高度,让学生感受到数学在生活中的实际应用.
(2)学生展示自己的想法.让一名同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,使这名同学拿起三角尺,他的视线恰好和斜边重合且过树梢点C,30°角的邻边和水平方向平行,用卷尺测量出AB的长度,BE的长度.因为DE=AB,所以只需在Rt△ACD中求出CD的长度即可.
(3)在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢?
(4)含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:30°角所对的直角边等于斜边的一半,即AC=2CD.根据勾股定理,得(2CD)2=CD2+a2,解得CD=33a米.
则树的高度可以求出.
(5)我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°角的正切值,在图1-2-10中,tan30°=CDAD=CDa,则CD=atan30°米,岂不简单?
2.网络购物从一个新生事物变成了越来越多的人选择的购物方式,每年的“双十一”(11月11日)网上商家都会推出各式各样的促销活动,吸引消费者网上抢购.本课老师也准备了几件物美价廉的宝贝(如图1-2-11),投放进几家商铺进行出售,你们有没有信心抢到呢?
很好,我们先看看商铺里面有些什么宝贝吧,看谁能抢到它们!(利用多媒体投影)
商铺:

图1-2-11
生:(积极“抢购订单”)
订单1:sinA=∠A的对边斜边,cosA=∠A的邻边斜边,tanA=∠A的对边∠A的邻边.
订单2:sinA的值越大,梯子越陡;tanA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.
订单3:一副三角尺有4个锐角,其度数分别为30°,60°,45°和45°.
　　以生活中的实例入手,活跃学生的思维,激发其学习的热情,并由此引出新课.

















以进行网购,积极抢购订单的形式引入新课,大大调动了学生学习的积极性,既复习了上节课的重点知识,又为本课的学习铺平了道路.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
　　【探究1】探究特殊角的三角函数值
看样子大家都是网购高手!但刚才大家购得的都是过时的产品,现在老师想研发一些新产品并投放到商铺出售,大家帮助老师研发如何?
老师想研发以下几种新产品(利用多媒体投影):

图1-2-12
新产品1:

图1-2-13
sin30°表示在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.如图1-2-13,我们不妨设30°角所对的边为a,根据“直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,得斜边等于2a,所以sin30°=a2a=12.
新产品2:
在图1-2-13的直角三角形中,由勾股定理得30°角的邻边为(2a)2-a2=3a,
所以cos30°=3a2a=32,tan30°=a3a=13=33.
新产品3:
求60°角的三角函数值,可以利用求30°角的三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边,所以
sin60°=3a2a=32,cos60°=a2a=12,tan60°=3aa=31=3.
新产品4:

图1-2-14
求45°角的三角函数值,可以利用另外那个等腰直角三角尺,如图1-2-14.不妨设直角边为a,则斜边长为a2+a2=2a.
所以cos45°=a2a=22,sin45°=a2a=22,tan45°=aa=1.
【探究2】熟记特殊角的三角函数值
仿照上面解决问题的过程,共同求一下30°,45°,60°角的三角函数值,然后填写下表.
　　1.通过本环节学生知道了本节课的知识点以及自己的问题所在,对教师而言,对学生在本节课存在的问题有了一个大概的了解.让学生能熟练地求出三个特殊角的三角函数值.对于此题的处理,教师不做解释,只出示答案.
2.借助学生熟悉的一副三角尺入手,让学生根据三角函数的定义分别求30°,45°,60°角的正弦值、余弦值和正切值.培养学生合作交流的习惯,进一步体验数形结合思想在解决数学问题中的广泛应用,并体会数学知识来源于实际生活,感受学习数学的乐趣.
活动
二:
实践
探究
交流
新知
　　学生分组求值:
三角函数值三角函数角α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°





活动
三:
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1　计算:
(1)sin30°+cos45°;
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
解:(1)sin30°+cos45°=12+22=1+22.
(2)sin260°+cos260°-tan45°=322+122-1=34+14-1=0.
例2　一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
[解析] 引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解:根据题意画出如图1-2-15所示的示意图.

图1-2-15
可知∠BOD=60°,OB=OA=OD=2.5 m,
∠AOD=12×60°=30°,
所以OC=OD·cos30°=2.5×32≈2.165(m),
所以AC=2.5-2.165≈0.34(m),
所以,最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m.
　　1.教师引导学生分析,本题旨在帮助学生巩固记忆特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角的三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2.让学生尝试自己解决.
2.展示例题,让学生独立思考完成,是为了给学生出错的机会,让学生在对与错之间有足够的思维时间和空间.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3　计算:
(1)sin60°-tan45°;
(2)cos60°+tan60°;
(3)22sin45°+sin60°-2cos45°.
答案:(1)32-1　(2)12+3　(3)12+32-2
例4　求适合下列条件的锐角α:
(1)2sinα-1=0;(2)2cosα+12=1;(3)3tanα=3.
学生分析:这里α是未知数,可以仿照解方程的步骤:去分母、移项.
解:(1)由2sinα-1=0,得sinα=22.所以锐角α=45°.
(2)由2cosα+12=1,得cosα=12.所以锐角α=60°.
(3)由3tanα=3,得tanα=33.所以锐角α=30°.
例5　如图1-2-16为住宅区内的两幢楼,它们的高AE=CF=30 m,两楼间的距离AC=24 m,现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况.当太阳光线与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1 m,2≈1.41,3≈1.73).

图1-2-16
[解析] 根据题意,可将实际问题转化为数学问题.当光线从楼顶E直射到乙楼的点D时,点D以下便接受不到光线,过点D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中,DB=AC=24 m,∠EDB=30°,由此可求出BE.由于甲、乙两楼一样高,所以DF=BE.
解:当光线从楼顶E直射到乙楼上的点D时,点D以下便接受不到光线,过点D作DB⊥AE.在Rt△BDE中,BE=DB·tan30°=24×33=83(m).
∵DF=BE,
∴DF=83≈8×1.73=13.84(m),
∴CD=CF-DF≈30-13.84≈16.2(m).
答:甲楼的影子在乙楼上的高约为16.2 m.
　　例3、例4把求特殊角的三角函数值和已知角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起,目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系,也有助于学生进一步理解三角函数的定义.
例5是解决实际问题,应依据题目的特点将其转化为数学问题,并构造出符合题意的直角三角形.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.课本P9随堂练习
2.课本P10习题1.3中T1、T2、T5
　　当堂检测,及时反馈学习效果.
活动
四:
课堂
总结
反思
【板书设计】
2　30°,45°,60°角的三角函数值
学生探究特殊角的三角函数值表
例1
例2

学生板书

　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在这节课的引入中,设置了丰富的情景,既调动了学生的求知欲和好奇心,又让学生在解决问题的过程中寻求方法,感悟新知.
②[讲授效果反思]
本节课通过小组合作交流形式,让学生积极参与数学活动,对数学产生好奇心,培养学生独立思考问题的习惯,并在数学活动中获得成功的体验,对学生锻炼克服困难的意志,建立自信心很有帮助,以后教学中要继续发扬.
③[师生互动反思]
 
④[习题反思]
好题题号　　　　　　　　　　　　　　　 
错题题号　　　　　　　　　　　　　　　 
　　反思,更进一步提升.
导学设计
一、学法点津
本节课的知识比较简单,所以学生通过自主学习完全可以领会,重点是对30°,45°,60°角的三角函数值的探究,学生可以利用已学过的直角三角形的边和角之间的关系,再结合勾股定理进行探究.而三个特殊角的九个三角函数值的记忆则是本节课的难点,要突破这一难点,学生可以采用适合自己的方法进行记忆,如:口诀记忆法、形象记忆法等.而最好的记忆方法是通过大量的练习题进行巩固,这样的记忆更加深刻.
二、学点归纳总结
(一)知识要点总结
1.30°,45°,60°角的三角函数值:
三角函数值三角函数角α
sinα
cosα
tanα
30°
12
32
33
45°
22
22
1
60°
32
12
3
2.运用30°,45°,60°角的三角函数值进行相关的计算.
　　(二)规律方法总结
1.30°,45°,60°角三角函数的值的口诀记忆法:
一二三,三二一,三九二十七.
2.锐角三角函数的增减性:
正切值随角度的增大而增大;正弦值随角度的增大而增大;余弦值随角度的增大而减小.
(三)易错问题误区点拨
混淆特殊角的三角函数值.
【典例】在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,若∠A,∠B满足cosA-12+sinB-322=0,则∠C=　　　　. 
【错解】 90°
【错解分析】往往会因为对特殊角的三角函数值记忆不牢固而得出“若cosA=12,则∠A=30°”的错误结论.
【正解】 60°
【正解分析】根据绝对值及平方的非负性,可得cosA=12,sinB=32,解得∠A=60°,∠B=60°,∴∠C=60°.
三、巩固拓展练习
1.如图1-2-17,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为 ( C )

　图1-2-17
A.12　　　　 B.22　　　　 C.32　　　　 D.1
[解析] ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,∴sinA=BCAB=BC2BC=12,
∴∠A=30°,则∠B=60°,∴sinB=32.
2.如果在△ABC中,sinA=cosB=22,则下列结论最确切的是 ( C )
　　A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形
[解析] ∵sinA=cosB=22,∴∠A=∠B=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.
3.在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,若∠A,∠B满足cosA-12+sinB-222=0,则∠C=　75°　. 
[解析] ∵cosA-12+sinB-222=0,∴cosA-12=0,sinB-22=0,
∴cosA=12,sinB=22.∵∠A,∠B均为锐角,∴∠A=60°,∠B=45°,
则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.
　　4.[绥化中考]如图1-2-18,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,求BC的长.

图1-2-18
解:∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD中,∵AB=8,∠ABD=30°,
∴AD=AB·sin30°α=12AB=4,BD=AB·cos30°=32AB=43.
在Rt△ADC中,
∵∠CAD=45°,∠ADC=90°,
∴DC=AD·tan45°=AD=4,∴BC=BD+DC=43+4.
5.如图1-2-19,救援人员在点A处,用生命探测仪测得正下方点B处有生命迹象,救援队在与点A同一水平面上的点C处沿着CB方向挖掘,已知∠ACB=30°,AC=53米,若挖掘的速度为2米/时,则几小时后到达点B?

图1-2-19
解:∵在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ACB=30°,cos∠ACB=ACBC,∴BC=ACcos30°=10(米),
∴10÷2=5(时).
答:5小时后到达点B.
四、挑战课标中考
1.[凉山州中考]在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,若cosA-12+(1-tanB)2=0,则∠C的度数是 (C)
A.45°　　　　　　B.60°　　　　　　 C.75°　　　　　　 D.105°
[解析] 由题意,得cosA=12,tanB=1.∵∠A,∠B都均为锐角,∴∠A=60°,∠B=45°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.
[解题策略] 此题考查了特殊角的三角函数值及绝对值、偶次方的非负性,属于基础题,关键是熟记一些特殊角的三角函数值,也要注意运用三角形的内角和定理.
2.[白银中考]在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若sinA=32,cosB=12,则∠C=　60°　. 
[解析] ∵在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,sinA=32,cosB=12,∴∠A=∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°.
[解题策略] 本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理,比较简单.
学案设计
学习目标
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义.
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算
3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小
4、经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展观察、分析、发现的能力.
重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小
难点：三角函数值的应用
（一）情境引入
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
我们组设计的方案如下：

让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗?
（二）讲解新课
探索30°角的三角函数值
①观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
② sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
③cos30°等于多少?tan30°呢?
学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值
2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
3．请学生完成下表
三角函数角
角度
sinα
coα
tanα
30°



45°


1
60°



（1）我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?
（2）再次观察表格，你还能发现什么？从下列两个方面考虑
a随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况.
b若对于锐角a有sina=,则a=.
【实例讲解】
例1：计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示(cos60°)2.
解：(1)sin30°+cos45°=,
(2)sin260°+cos260°-tan45°=()2+()2-1= + -1＝0.
例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解：根据题意(如图)
可知，∠BOD=60°，OB=OA＝OD=2.5 m，∠AOD＝×60°＝30°，
∴OC=OD·cos30°=2.5×≈2.165(m). ∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m.

例3：
错解：
分析：本题主要考查特殊角的正弦、余弦值及其与算术平方根、绝对值的综合运用，解答过程中虽然代值准确，但没有正确运用算术平方根，绝对值的意义解答，因而出错.
正解：
例4：某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少?
分析：可以转换到一个直角三角形中，利用30°角的正弦值得到斜边的长.
解：扶梯的长度为=14(m)，所以扶梯的长度为14 m.