七年级数学复习专题：与线段、角有关的动态问题

知识讲解

　　1、数轴上两点间的距离：A点对应的数为a，B点对应的数为b，则线段AB=．（数轴法）

　　2、线段AB的中点坐标公式：A点对应的数为a，B点对应的数为b，则线段AB的中点对应的数为．

　　3、量角器法：若∠BOE=a°，∠BOD=b°，则我们可以把OB对应的度数值记为0°，OE对应的度数值记为a°，OD对应的度数值记为b°，则∠DOE=(b－a)°．

　　4、钟表问题：分针每分钟转动6°，时针每分钟转动，利用度数值建立方程求解．

典例分析

一、数轴法的应用

例1、如图，已知点A、B、C是数轴上三点，点C对应的数为6，BC=4，AB=12．

　　（1）求点A、B对应的数；

　　（2）动点P、Q同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在CQ上，且，设运动时间为t（t>0）．

　　①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）；

　　②t为何值时，OM=2BN．（第十三届“希望杯”邀请赛试题）

解析：

　　（1）设A点对应的数为a，B点对应的数为b，利用BC=4，AB=12建立方程求解；

　　（2）先求出P点对应的数为，再利用中点坐标公式求出M的数；然后求出N对应的数．

答案：

　　（1）设A点对应的数为a，B点对应的数为b，

　　∵C对应的数为6，BC=4，

　　∴．

　　∴．

　　∵AB=12，

　　∴．

　　∴．

　　∴A点对应的数为－10，B点对应的数为2．

　　（2）①由题意可知，AP=6t，AP=10－6t．

　　∴P对应的数为6t－10．

　　∵M为AP的中点，

　　∴点M对应的数为．

　　又CQ=3t，，

　　∴CN=t．

　　∴N对应的数为t＋6．

　　②OM=｜3t－10－0｜＝｜3t－10｜，BN=t＋6－2＝t＋4,

　　∵OM=2BN，

　　∴｜3t－10｜＝2(t＋4)．

　　∴3t－10＝2t＋8或3t－10＝－2t－8．

　　∴t＝18或．

二、钟表问题

例2、下午2点至3点之间，（1）当时针和分针成180°时的时间是多少？（2）当时针和分针成90°时的时间是多少？

解析：

　　（1）建立表盘，确定2点时的整点位置，标出成特殊角时，时针和分针的大致位置，设2点后经过x分钟，时针和分针成180°，则∠AOC=60°, 时针转动的度数∠COD=，分针转动的度数∠AOB=6x°，利用度数值建立方程求解．

　　（2）注意有两种情况，应分类讨论．

答案：

　　（1）设2点后经过x分钟，时针和分针成180°，

　　依题意，得

　　∴．

　　解得．

　　∴2点分时时针和分针成180°．

　　（2）设2点后经过x分钟，时针和分针成90°，有两种情况：

　　①

　　解得．

　　∴2点分时时针和分针成90°．

　　②

　　解得．

　　∴3点时时针和分针成90°．

　　∴2点或3点时时针和分针成90°．

例3、如图，∠AOD＝160°，∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．

方法一：利用角的和、差、倍、分进行转化

解析：

　　∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

　　∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD．

　　∵∠BOC＝20°，

　　∴∠MON=∠BON＋∠BOM

　　=∠BOD＋∠MOC－20°

　　=（∠BOD＋∠AOC）－20°

　　=（∠BOD＋∠AOB＋20°）－20°

　∵∠AOD＝160°，∠BOC＝20°，

　　∴∠MON=（160°＋20°）－20°=70°．

点评：

　　图形中射线的条数很多，在转化时，尽量从角平分线出发，进行角的和、差、倍、分转化．

方法二：利用量角器法求解

解析：

　　令OA对应的度数值为0°，则OD对应的度数值为160°，设OB对应的度数值为x，则OC对应的度数值为x＋20°，再由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，可得OM、ON对应的度数值分别是、，则．