专题02 实数突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版）

这是一份专题02 实数突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版）

专题02 实数突破核心考点【聚焦考点+题型导航】考点一 无理数的概念 考点二 实数的分类考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 考点四 利用平方根、立方根解这个方程考点五 无理数整数与小数部分的有关计算 考点六 实数比较大小考点九 新定义下的实数运算 考点十 与实数运算相关的规律题 考点十一 二次根式有意义的条件 考点十二 最简二次根式的判断 考点十三 已知最简二次根式或同类二次根式求参数 考点十四 二次根式的混合运算考点十五 已知字母的值，化简求值 考点十六 二次根式分母有理化 【知识梳理+解题方法】一 实数基本概念1．算术平方根一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．注意：①非负数的算术平方根表示为，读作“根号”，叫做被开方数． ② 规定：的算术平方根是0.2．平方根一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根．注意：①正数的平方根记作 ，读作“正、负根号”． ②一个正数有两个平方根，且互为相反数；的平方根是；负数没有平方根.3．立方根一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根或三次方根．一个数的立方根用符号表示为．注意：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；的立方根为．4．两个重要公式 ①； ②.5．实数有关概念无理数：无限不循环小数统称为无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．6．实数与数轴每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 二 实数估算及比较大小 1．估算 ①开平方法：（）； ②开立方法：（）.2．比较大小 ①平方（立方） ②估算法注意：还有其他比较实数大小的方法，如数形结合法（数轴上右边的实数始终比左边的大），作差法，作商法等． 三 二次根式1.二次根式的定义一般地，式子（）叫做二次根式，“”叫做被开方数．2.二次根式有意义的条件（1）有意义：由二次根式的定义可知，当时，有意义．（2）无意义：因为负数没有算术平方根，所以当时，没有意义．3.二次根式的性质（1）二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．（2）二次根式的性质：（）（3）二次根式的性质：4.最简二次根式一般地，化简二次根式就是使二次根式：（1）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含根号．这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式．注：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．5.二次根式的乘除二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．（，）；（，）．四 二次根式加减 1.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2.二次根式加减如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并．二次根式的加减运算，以前学习的实数的运算法则，运算律仍然使用．【专题过关+能力提升】考点一 无理数的概念例题：（2022·辽宁省抚顺市第二十二中学七年级期中）在实数、、、、、0.1010010001中，无理数的个数是（   ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2022·广东广雅中学花都校区七年级期中）在数－3.14， ， ， π， ， 0.1010010001……中无理数的个数有（    ）A．3个 B．2个 C．1个 D．4个2．（2022·内蒙古·满洲里市第三中学七年级期末）实数，，，，，， 中，无理数的个数是（　　　）A．4 B．3 C．2 D．13．（2022·全国·七年级单元测试）在下列实数，3.1415926，，-8，，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），中，无理数有_____________考点二 实数的分类例题：（2021·浙江温州·七年级期中）把下列各数的序号分别填在相应的横线上：①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩1.232232223⋯（每两个“3”之间依次多一个“2”）(1)正整数： ______________．(2)负分数：______________．(3)无理数：______________．【变式训练】1．（2021·云南·个旧市第十五中学七年级期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．，，，3.14，，0，……，，．(1)有理数集合：{                                }；(2)无理数集合：{                                }；(3)正实数集合：{                                }；(4)负实数集合：{                                }．2．（2022·云南·弥勒市长君实验中学七年级阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：3.14，0，，，，，整 数｛                               ……｝分 数｛                               ……｝有理数｛                               ……｝无理数｛                               ……｝3．（2022·全国·八年级专题练习）把下列各数填入相应的集合内．，，3.1，，0.8080080008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1），，，，，，，．整数集合{                                ，…}；正数集合{                                ，…}；有理数集合{                                ，…}；无理数集合{                                ，…}．考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根例题：（2021·陕西·西北大学附中八年级期中）__________；的算术平方根为__________；__________．【变式训练】1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）49的平方根是__________，的算术平方根是________，-8的立方根是________．2．（2022·辽宁营口·七年级期中）的平方根是______；3的算术平方根是______；－1的立方根是______．3．（2021·陕西·西北大学附中七年级期末）25的算术平方根是______，的平方根是______，64的立方根是______．考点四 利用平方根、立方根解这个方程例题：（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）解下列方程(1)(2)【变式训练】1．（2022·贵州省三穗中学七年级期中）利用平方根（或立方根）的概念解下列方程：(1)；(2)．2．（2020·辽宁·沈阳市第六十九中学八年级阶段练习）求下列各式中的x(1)(2)3．（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）求下列各式中x的值．(1)；(2)考点五 无理数整数与小数部分的有关计算例题：（2020·浙江·金华市南苑中学七年级期中）已知7＋的整数部分是m，11-的小数部分是n，则m＋n＝______【变式训练】1．（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学七年级期中）的整数部分为a，小数部分为b，则等于______．2．（2021·辽宁·兴城市第二初级中学八年级阶段练习）若a是的整数部分，b是的小数部分，则代数式（4+）（a-b）的值为__________．3．（2022·山东济宁·七年级期末）已知的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值是______．考点六 实数比较大小例题：（2022·江西宜春·七年级阶段练习）比较大小：___________．（填“>”、“<”或“=”）【变式训练】1．（2022·全国·八年级专题练习）比较大小：________．（填“＞”或“＜”）2．（2022·安徽淮南·七年级期中）比较两数的大小（用“”“ ”或“”填空）：________．3．（2022·江苏·八年级）比较大小：①__②__考点七 实数与数轴例题：（2021·湖南师大附中星沙实验学校八年级阶段练习）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示(1)比较大小：________0；________0；________0．(2)化简：【变式训练】1．（2021·湖南·花垣县华鑫学校七年级期中）已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简．2．（2022·湖北孝感·七年级期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A，B，C所对应的实数．试化简：3．（2022·湖南长沙·七年级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．(1)求的值；(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．考点八 程序设计与实数运算例题：（2022·山东泰安·八年级期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的等于（    ）A．2 B．8 C． D．【变式训练】1．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（  ）A．输入值为16时，输出值为4B．输入任意整数，都能输出一个无理数C．输出值为时，输入值为9D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值2．（2022·河北·廊坊市第十六中学七年级期末）一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为2时，输出的y值是______．（2）当输出的y值为时，请写出两个满足条件的x的值为______和______．3．（2022·浙江台州·七年级期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．(1)当x为9时，y值为 ；(2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值；(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可）考点九 新定义下的实数运算例题：（2022·山西吕梁·七年级期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数•，例如10•21=，那么的运算结果为（    ）A．13 B．7 C．4 D．5【变式训练】1．（2022·湖北武汉·七年级期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行（    ）次操作后变为1．A．4 B．3 C．2 D．12．（2022·山东德州·七年级期末）观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为______．3．（2022·江西·赣州市赣县区思源实验学校八年级期末）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为．(1)______， ______，的小数部分______．(2)已知：，其中是整数；且，求的相反数．考点十 与实数运算相关的规律题例题：（2022·广东惠州·七年级期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学七年级阶段练习）通过计算可知：，则下一个类似的式子是_________．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第5行从左至右第2个数是_____________；第9行从左至右第8个数是_____________．3．（2022·安徽安庆·七年级期末）【观察】请你观察下列式子．第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．第4个等式：．第5个等式：．【发现】根据你的阅读回答下列问题：(1)写出第7个等式 　 　．(2)请根据上面式子的规律填空：＝　 　．(3)利用（2）中结论计算：．考点十一 二次根式有意义的条件例题：（2022·四川·会东县参鱼中学八年级期中）下列式子一定是二次根式的是（   ）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·山东·宁津县第四实验中学八年级期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ）A． B． C． D．2．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤23．（2022·广东·虎门成才实验学校八年级期中）已知，则_____．考点十二 最简二次根式的判断例题：（2022·浙江·北京师范大学南湖附属学校八年级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·广东·东莞市宏远外国语学校八年级期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．2．（2022·浙江省杭州市富阳银湖中学八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．3．（2022·辽宁省抚顺市第二十二中学八年级期中）下列式子是最简二次根式的是（       ）A． B． C． D．考点十三 已知最简二次根式或同类二次根式求参数例题：（2022·四川省绵阳南山中学双语学校八年级阶段练习）最简二次根式能与进行合并，则________．【变式训练】1．（2022·安徽合肥·八年级期末）如果最简二次根式与3是同类二次根式，那么a的值是_____．2．（2022·江苏泰州·八年级期末）当a =____时，最简二次根式与是同类二次根式．3．（2022·全国·八年级专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则______．考点十四 二次根式的混合运算例题：（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学八年级期中）计算：(1)(2)+×﹣【变式训练】1．（2021·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习）计算：(1)；(2)．2．（2022·广东·东莞市宏远外国语学校八年级期中）计算(1)3；(2)+（+1）2；3．（2022·广东·虎门成才实验学校八年级期中）计算：(1)；(2)．4．（2022·浙江省杭州市富阳银湖中学八年级期中）计算：(1)(2)5．（2022·辽宁省抚顺市第二十二中学八年级期中）计算：(1)；(2)；(3)．考点十五 已知字母的值，化简求值例题：（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校八年级阶段练习）若a=1+，b=1-，则代数式的值为（  ）A．2 B．3 C．4 D．5【变式训练】1．（2021·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习）已知(1)求；(2)若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值．2．（2022·甘肃·金昌市金川区宁远中学八年级期中）已知，求的值．3．（2022·广东·湛江市初级实验中学八年级期中）已知 ，，求下列各式的值；(1)(2)考点十六 二次根式分母有理化例题：（2022·江西赣州·八年级期末）阅读下列解题过程：；；；…解答下列各题：(1)　 　；(2)观察上面的解题过程，请直接写出式子　 　．(3)利用这一规律计算：（）×（1）．【变式训练】1．（2022·山东·宁津县第四实验中学八年级期中）阅读下列解题过程：；；；(1)______；______；(2)观察上面的解题过程，请直接写出式子______；(3)利用这一规律计算：的值．2．（2022·江苏宿迁·八年级期末）观察下列计算：，，，(1)运用上面的计算方法化简（n为正整数）；(2)利用上面的结论计算：；(3)计算：．3．（2020·辽宁·沈阳市第六十九中学八年级阶段练习）阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式==运用以上的方法解决问题：(1)将分母有理化：(2)比较大小： （在横线上填“＞”“＜”“=”）(3)直接写出化简结果：________4．（2022·广东·湛江市初级实验中学八年级期中）如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的各不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，如4+与4﹣互为有理化因式，与﹣互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如：＝＝，＝＝＝＝﹣﹣2(1)分母有理化的结果是              ，分母有理化的结果是 ．(2)分母有理化的结果是                ，分母有理化的结果是              ．(3)利用以上知识计算：++…+．