专题02分式（18个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

专题02分式（18个考点）

【知识梳理+解题方法】

一．分式的定义

（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．

（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．

（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．

（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．

（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．

二．分式有意义的条件

（1）分式有意义的条件是分母不等于零．

（2）分式无意义的条件是分母等于零．

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．

（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．

三．分式的值为零的条件

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

注意：“分母不为零”这个条件不能少．

四．分式的值

分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．

五．分式的基本性质

（1）分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．

（2）分式中的符号法则：

分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．

【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题

1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．

2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．

3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．

六．约分

（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．

（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．

①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．

②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．

③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．

（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．

七．通分

（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．

（2）通分的关键是确定最简公分母．

①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．

（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．

八．最简分式

最简分式的定义：

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．

和分数不能化简一样，叫最简分数．

九．分式的乘除法

（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．

（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．

（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．

（5）规律方法总结：

①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．

②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．

③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．

十．分式的加减法

（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．

 说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．

②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．

十一．分式的混合运算

（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．

【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题

1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．

3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．

十二．分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．

2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．

十三．零指数幂

零指数幂：a0＝1（a≠0）

由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）

注意：00≠1．

十四．负整数指数幂

负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）

注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

十五．分式方程的定义

分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．

十六．分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

十七．解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．

所以解分式方程时，一定要检验．

十八．分式方程的增根

（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．

（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．

（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．

【专题过关】

一．分式的定义（共2小题）

1．（2020秋•浦东新区期末）在下列式子：﹣5x，，a2﹣b2，，中，分式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2020秋•嘉定区期末）在代数式，，，中，分式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．分式有意义的条件（共2小题）

3．（2021秋•宝山区期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是 　   　．

4．（2021秋•浦东新区期末）对于分式如果y＝1，那么x的取值范围是 　   　．

三．分式的值为零的条件（共1小题）

5．（2021秋•普陀区期末）当x＝3时，下列各式值为0的是（　　）

A． B． C． D．

四．分式的值（共3小题）

6．（2021秋•浦东新区校级期中）已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为 　   　．

7．（2021秋•金山区期中）当a＝﹣2时，代数式的值等于 　   　．

8．（2020秋•静安区期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是　   　．

五．分式的基本性质（共2小题）

9．（2021秋•宝山区期末）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（　　）

A． B． C． D．

10．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（　　）

A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式 

B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变 

C．单项式23ab是5次单项式 

D．若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝

六．约分（共1小题）

11．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（　　）

A．＝x3 B．＝x+y 

C．＝ D．＝﹣

七．通分（共1小题）

12．（2018秋•浦东新区校级月考）将分式化成分母为x（x﹣2）的分式：　   　．

八．最简分式（共1小题）

13．（2020秋•宝山区期末）下列分式中，最简分式是（　　）

A． B． C． D．

九．分式的乘除法（共3小题）

14．（2022•闵行区校级开学）xn﹣1y+（3﹣n）xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+（n﹣3）是关于x与y的五次三项式，则（﹣）5＝　   　．

15．（2020秋•嘉定区期末）计算：＝　   　．

16．（2020秋•上海期末）计算：÷．

一十．分式的加减法（共3小题）

17．（2021秋•普陀区期末）计算：＝　   　．

18．（2021秋•宝山区期末）计算：＝　   　．

19．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝　   　．

一十一．分式的混合运算（共2小题）

20．（2022•闵行区校级开学）已知，求：

（1）；                   （2）（）2﹣的值．

21．（2021秋•浦东新区期末）化简：．

一十二．分式的化简求值（共3小题）

22．（2021秋•浦东新区校级期中）已知x2﹣4x+1＝0，则x2+的值是 　   　．

23．（2021秋•普陀区期末）先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2．

24．（2021秋•宝山区期末）先化简，再求值（+1），其中x为满足x2+x﹣3＝0．

一十三．零指数幂（共1小题）

25．（2021秋•浦东新区校级期中）已知（x﹣3）x+2＝1，则整数x的值是 　   　．

一十四．负整数指数幂（共3小题）

26．（2021秋•宝山区期末）将写成不含分母的形式，其结果为 　   　．

27．（2021秋•浦东新区期末）将代数式化为只含有正整数指数幂的形式 　   　．

28．（2021秋•宝山区期末）计算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）

一十五．分式方程的定义（共1小题）

29．（2020秋•徐汇区校级月考）下列各式中属于分式方程的是（　　）

A． B． 

C． D．

一十六．分式方程的解（共3小题）

30．（2021秋•宝山区期末）如果关于x的方程无解，那么k＝　   　．

31．（2020秋•静安区期末）若关于x的方程无解，则a的值为 　   　．

32．（2021秋•浦东新区校级期中）已知关于x的方程+＝无解，求a的值．

一十七．解分式方程（共3小题）

33．（2021秋•普陀区期末）解方程：1+＝．

34．（2021秋•宝山区期末）解方程：＝﹣1．

35．（2021秋•浦东新区期末）解方程：．

一十八．分式方程的增根（共4小题）

36．（2021秋•浦东新区期末）如果关于x的方程有增根，那么k＝　   　．

37．（2021秋•浦东新区校级期中）当m＝　   　时，关于x的方程会产生增根．

38．（2021秋•徐汇区月考）在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则a＝　   　．

39．（2020秋•奉贤区期末）如果方程+＝0不会产生增根，那么k的取值范围是　   　．