难关必刷01三角形综合（4种解题模型专练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）

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一、“8”字模型
三角形三个内角的和等于180°；对顶角相等
二、“A”字模型
三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.
三、“老鹰捉小鸡”（风筝）模型
三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.
四、（双）角平分线模型
1.双内角平分线
2.双外角平分线
3.内角平分线+外角平分线
三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.
【题型专练】
一、“8”字模型
一．填空题（共6小题）
1．（2023春•蓬莱区期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 ．
2．（2022春•北林区校级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为
3．（2022春•彭山区校级期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
4．（2022秋•黄石期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 ．
5．（2022秋•滨海新区校级期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
6．（2022秋•庆阳期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ °．
二．解答题（共1小题）
7．（2022秋•天门期中）如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°
（1）求∠1度数；
（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
二、“A”字模型
一．选择题（共4小题）
1．（2022秋•东莞市校级期中）如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（ ）
A．90°B．120°C．150°D．160°
2．（2022秋•萨尔图区校级期中）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（ ）
A．180°B．230°C．290°D．295°
3．（2022秋•官渡区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．140°B．180°C．250°D．360°
4．（2022秋•宁河区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．90°B．135°C．270°D．315°
二．填空题（共3小题）
5．（2022秋•富阳区期中）如图，作CE⊥AF于点E，CE与BF相交于点D，若∠F＝45°，∠C＝30°，则∠A＝ °，∠DBC＝ °．
6．（2022秋•南康区期中）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为 ．
7．（2022秋•梁平区期中）在直角△ABC中，∠C＝90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝ ．
三．解答题（共2小题）
8．（2022秋•余干县期中）一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）
（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝ °．
（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数．
9．（2022秋•赣州期中）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB ∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）
初步应用：
（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝ ．
（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．
三、“老鹰捉小鸡”（风筝）模型
一．选择题（共4小题）
1．（2022春•威海期中）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40°B．80°C．90°D．140°
2．（2022秋•巴南区校级期中）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠B＝30°，∠2＝25°，则∠1的度数是（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
3．（2022春•无锡期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2
4．（2022秋•洛龙区期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
二．填空题（共1小题）
5．（2022秋•静安区校级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A、∠1、∠2之间的数量关系是 ．
三．解答题（共2小题）
6．（2022秋•青云谱区校级期中）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB＝AC，DB＝DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
7．（2022秋•开州区期中）问题1
如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．
猜想： 理由
问题2
研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 ．
四、（双）角平分线模型
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•黄冈期中）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．110°B．115°C．120°D．130°
2．（2022秋•西陵区校级期中）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．3：4：5D．2：3：4
3．（2022秋•金乡县期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
二．填空题（共1小题）
4．（2022秋•金州区期中）如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，∠A＝60°，则∠BOC＝ °．
三．解答题（共2小题）
5．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．
（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝ °；
（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC＝ （用含∠A的式子表示），并说明理由．
6．（2022秋•滨海新区期中）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．