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第13章 轴对称（知识清单）（14个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）
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【知识清单】
考点1.轴对称图形（重点）
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【例1】（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义依次判断即可．
【详解】解：A选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D选项图形能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是掌握如果一个图形能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形．
考点2.轴对称（难点）
两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点：
若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例2】（2023春·河北邢台·八年级统考开学考试）如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义依次分析各项即可判断.
【详解】解：根据轴对称的性质，可得小手盖住的三角形是
故选：A．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果把一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.
考点3.线段的垂直平分线（重点）
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
求做线段AB的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点诠释：
作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
【例3】（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝ ．
【分析】由条件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝110°，则可求得∠EAB+∠GAC＝70°，再利用角的和差可求得∠EAG．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA＝50°，
同理∠GAC＝∠GCA＝20°，
∴∠GAC+∠EAB＝20°+50°＝70°，
∵∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝110°﹣70°＝40°
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
考点4.轴对称和轴对称图形的性质（难点）
在轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点：
轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例4】（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，是内的一点，分别是点关于的对称点，交于点于点，交于点，若，则的周长是 ．
【答案】5
【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知与的周长是相等的，即可求解．
【详解】解：∵分别是点P关于的对称点，
∴，
∴，
∴的周长为5cm.
故答案为：5．
【点睛】本题考查轴对称的性质，难度一般，关键是熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用．
考点5.对称轴的画法（重点）
【例5】下图中的两个图形是轴对称图形，如何画出它们的对称轴呢？
【答案与解析】
(1)联结、(2)取的中点E ，的中点F，（3）联结EF，则直线EF为所求的对称轴．
考点6.轴对称变换
1.轴对称变换
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同,这种变换称为轴对称变换.
2.轴对称变换的性质
(1)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点
(2)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
注意：
（1）成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的.
（2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的.
【例6】（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是-5,2，则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（ ）
A．-5,-2B．5,-2C．-5,2D．5,2
【答案】D
【分析】观察图形不难发现，每四次变换为一个循环组循环，用2023除以4，根据余数的情况确定最后点B所在的象限，然后根据关于坐标轴对称的点的变化规律解答．
【详解】点B第一次关于x轴对称后在第三象限，点B第二次关于y轴对称后在第四象限，点B第三次关于x轴对称后在第一象限，点B第四次关于y轴对称后在第二象限，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2023÷4=505余3，
∴经过第2023次变换后所得的B点与第三次变换的位置相同，坐标为5,2．
故选：D
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，对称，确定出每4次变换为一个循环组是解题的关键．
考点7.画轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成的,对于某些图形,我们只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于某直线的对称点,连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形
1.画轴对称图形的依据
如果两个图形关于某一条直线对称,那么连接对称点的线段被对称轴垂直平分
2.画轴对称图形的方法
(1)找——在原图形上找特殊点(如线段的端点);
(2)定——确定各个特殊点关于对称轴的对称点;
(3)连——依次连接各对称点
注意：
（1）找特殊点对画轴对称图形极为重要,找特殊点时,要把确定图形形状的特殊点找全,除线段的端点外,线与线的交点也是画图过程中的特殊点;
（2）对称轴上任意一点的对称点是它本身
【例7】．（2022秋•灌南县校级月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）求△ABC的面积；
（2）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（3）在如图所示网格纸中，以AB为一边作与△ABC全等的三角形，可以作出 个三角形与△ABC全等．
【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去3个直角三角形的面积可计算出△ABC的面积；
（2）分别作B、C两点关于直线l的对称点，从而得到△A'B′C′；
（3）作点C关于直线AB的对称点可得到与△ABC全等的三角形，或作点C关于AB的垂直平分线的对称点得到与△ABC全等的三角形．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝4×2﹣×1×4﹣×1×2﹣×2×2＝3；
（2）如图，△A'B′C′即为所作；
（3）在AB的两侧可各作一个三角形与△ABC全等．
故答案为：2．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称：画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
考点8.平面直角坐标系中的轴对称（难点）
1.关于坐标轴对称的点的坐标特征
(1)点关于轴对称的点的坐标为
特征:横坐标相等,纵坐标互为相反数
(2)点关于y轴对称的点的坐标为
特征:横坐标互为相反数,纵坐标相等
在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤
(1)计算——计算对称点的坐标
(2)描点——根据对称点的坐标描点;
(3)连接——依次连接所描各点,即可得到成轴对称的图形
【例8】（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A2,4,B3,1,C-2,2．
(1)请在平面直角坐标系内，画出△ABC关于y轴对称的图形，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；
(2)请写出A1,B1,C1的坐标分别是A1（______________），B1（______________）；C1（______________）；
(3)请写出点Ma,b关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点M1的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)-2，4；-3，1；2，2
(3)M1-a+2，b
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）结合（1）所画的图形，即可得到答案；
（3）利用轴对称得出答案即可．
【详解】（1）解：先作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接，则△A1B1C1即为所求，如图所示：
（2）解：A1,B1,C1的坐标分别是A1-2,4，B1-3,1，C12,2．
故答案为：-2，4；-3，1；2，2．
（3）解：设点M1x,y，
∵直线n=1，且平行于y轴，Ma,b，
∴x+a2=1，y=b，
∴x=-a+2，
∴点Ma,b关于直线n对称的点M1的坐标为-a+2，b．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换，解题的关键是数形结合，作出对应点的位置．
【变式】（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
(1)作出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)在x轴上找一点P，使得△PAC1周长最小．请在图中标出点P的位置．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）连接A与C1关于x轴的对称点，与x轴的交点即为所求点P．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）解：如图所示：点P为所求．
【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
考点9.等腰三角形的性质（重点）
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【例9】（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（ ）
A．13cmB．13cm或17cmC．17cmD．16cm
【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17（cm）．
故它的周长为17cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【变式】（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为 cm．
【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和6两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是15，哪个是18，因此，有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
若AB+AD的长为15，则2x+x＝15，解得x＝5，
则x+y＝18，解得y＝13，
所以2x＝10；
若AB+AD的长为18，则2x+x＝18，解得x＝6，
则x+y＝15，即6+y＝15，解得y＝9，
所以2x＝12，
10、10、13和12、12、9均能构成三角形，
所以等腰三角形的腰长为10或12．
故答案为：10或12．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证．
考点10.等腰三角形的判定（重点）
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【例10】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
求证：△BCD为等腰三角形．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC＝70°，再利用角平分线的定义求出∠DBC＝35°，最后利用等边对等角即可解答．
【解答】证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴DB＝DC，
∴△BCD为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
考点11.等边三角形及其性质（重点）
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【例11】（2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135°B．125°C．120°D．110°
【分析】利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明△DAC≌△BAE，可得∠ADC＝∠ABE，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∠ADB＝DBA＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BOC＝∠BDO+∠DBA+∠ABE
＝∠BDO+∠DBA+∠ADC
＝∠ADB+∠DBA
＝60°+60°
＝120°，
∴∠BOC的度数是120°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转性全等是解题的关键．
考点12.等边三角形的判定（重点）
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例12】（2021秋•沐川县期末）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后根据等角对等边得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明△BED≌△CFD．
考点13.含30°角的直角三角形的性质（重点）
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【例13】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】根据三角形内角和可得∠BDC＝30°，进而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，
∴AD＝BD，
在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝8＝AD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
【变式】（2022•碑林区校级四模）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【分析】连接BE，由等边三角形的性质可求得∠ABC＝60°，∠ABE＝∠CBE＝30°，结合直角三角形的性质可求∠EBC＝∠D＝30°，BE＝2，由等腰三角形的性质可求得ED的长，进而可求解．
【解答】解：连接BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵EF⊥AB，EF＝1，
∴∠D＝90°﹣∠ABC＝30°，BE＝2EF＝2，
∴ED＝BE＝2，
∴DF＝ED+EF＝2+1＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，证明BE＝ED是解题的关键．
考点14.垂直线段最短问题
动点所在的直线已知型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。
【例14】如图，在锐角三角形中，，， 的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】D
【分析】如下图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
解：如图，在上取一点E，使，连接，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
又由垂线段最短得：当时，取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为5，
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．
【变式】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．B
【详解】试题分析：在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.
考点15.将军饮马问题
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
①两定一动
②一定两动
③两定两动
【例15】如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．7B．9C．10D．14
【答案】A
【分析】连接，根据线段垂直平分线性质得，周长，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出，，即可得出答案．
【详解】解：如图所示．连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴周长．
连接，
∵，点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴周长的最小值是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断周长的最小值是解题的关键．
【变式】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小．
解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．
∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，
∴；
∵点P关于的对称点为D，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∴的周长的最小值．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在．
考点16.造桥选址问题
A
方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．
M
N
【例16】如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1 ∥ l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两点间直线距离最短，使EFP'P为平行四边形即可，即PP'垂直河岸且等于河宽，接连QP'即可．
【详解】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP'等于河宽，
连接QP'，与另一条河岸相交于F，作FE⊥l1于点E，
则EF∥PP'且EF=PP'，
∴四边形EFP'P为平行四边形，
∴P'F=PE，
根据“两点之间线段最短”，QP'最短，即PF+FQ最短．
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．
【变式】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短.
【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
【核心素养提升】
1逻辑推理——用转化思想求图形的周长
1.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）请画出ΔABC关于原点对称的ΔA1B1C1；
（2）在x轴上求作一点P，使ΔPAB的周长最小，请画出ΔPAB，并直接写出P的坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）作图见解析，P坐标为(2，0)
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）作点A(1，1)关于x轴的对应点A'1,-1，连接A'B交x轴于点P，则点P为所求的点，连接△APB，则△APB为所求的三角形．
此时点P坐标为(2，0)
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
2分类讨论思想
2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．
(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；
(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；
(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.
3.已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
4、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.
【答案与解析】
解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：
两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，
又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，
故每个底角的度数；
(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，
则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．
∴其余各角为70°，70°或40°，100°．
【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.
3数学建模——构建方程模型解决问题
5.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC
上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．
【答案】
解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.
设∠B为度 ∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－
①当BD＝BE时
∠3＝ ，
45°＋90°－＋＝180°，
＝30° .
②经计算ED＝EB不成立.
③当DE＝DB时
∠3＝180°－2
45°＋90°－＋180°－2＝180°，
＝45°.
综上所述，∠B＝30°或45°.
【中考热点聚焦】
热点1.轴对称的性质
6.（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；
（2）四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝×4×1+×4×3＝8．
7．（2020•吉林）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
【解答】解：（1）如图①，MN即为所求；
（2）如图②，PQ即为所求；
（3）如图③，△DEF即为所求．（答案不唯一）．
8．（2022•桂林）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
【解答】解：（1）如图1，
（2）如图2，
（3）图1是W，图2是X．
热点2.平面直角坐标系中点的对称
9．（2023•常州）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P的坐标是（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1），
故选：C．
【点评】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（2，6）D．（2，﹣6）
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（6，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
11．（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（ ）
A．（40，﹣a）B．（﹣40，a）C．（﹣40，﹣a）D．（a，﹣40）
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称，
∴飞机D的坐标为（﹣40，a），
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
12．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（2，3）
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键．
13．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（ ）
A．（1，5）B．（1，3）C．（5，3）D．（5，5）
【分析】先根据轴对称的性质求出A1，B1，C1的坐标，根据平移的性质即可求出A2的坐标．
【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）关于x轴对称的点的坐标为A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），
又∵B2（2，1），
∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点A2坐标为（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
14．（2023•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a+b＝ ．
【分析】根据题意可知点P（a，1）与点Q（2，b）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可．
【解答】解：∵点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，
∴点P（a，1）与点Q（2，b）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴a＝2，1+b＝0，
解得b＝﹣1，
∴a+b＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查关于x轴对称的两点，属于基础题，明白关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
热点3.等腰三角形的性质与判定
15．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
16．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）先根据角平分线性质，得∠ABD＝∠CBD，由平行线性质得到：∠EDB＝∠CBD，得到∠EBD＝∠EDB，根等角对等边判断即可．
（2）先根据三角形内角和，求∠B的度数，再利用角平分线的性质求∠DBC的度数，利用平行线性质求得∠EDB＝∠DBC．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质．熟练掌握判定和性质是关键．属较容易题．
热点4.等边三角形的判定与性质
17．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
【分析】先由平行线的性质可得∠ACB的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB＝BC，则可得出AB的长．
【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键．
18．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．
热点5.线段垂直平分线的性质
19．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，即可求解．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．
∴BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝AD+BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 ．
【分析】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．
【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【知识清单】
考点1.轴对称图形（重点）
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【例1】（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义依次判断即可．
【详解】解：A选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D选项图形能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是掌握如果一个图形能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形．
考点2.轴对称（难点）
两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点：
若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例2】（2023春·河北邢台·八年级统考开学考试）如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义依次分析各项即可判断.
【详解】解：根据轴对称的性质，可得小手盖住的三角形是
故选：A．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果把一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.
考点3.线段的垂直平分线（重点）
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
求做线段AB的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点诠释：
作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
【例3】（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝ ．
【分析】由条件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝110°，则可求得∠EAB+∠GAC＝70°，再利用角的和差可求得∠EAG．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA＝50°，
同理∠GAC＝∠GCA＝20°，
∴∠GAC+∠EAB＝20°+50°＝70°，
∵∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝110°﹣70°＝40°
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
考点4.轴对称和轴对称图形的性质（难点）
在轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点：
轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例4】（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，是内的一点，分别是点关于的对称点，交于点于点，交于点，若，则的周长是 ．
【答案】5
【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知与的周长是相等的，即可求解．
【详解】解：∵分别是点P关于的对称点，
∴，
∴，
∴的周长为5cm.
故答案为：5．
【点睛】本题考查轴对称的性质，难度一般，关键是熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用．
考点5.对称轴的画法（重点）
【例5】下图中的两个图形是轴对称图形，如何画出它们的对称轴呢？
【答案与解析】
(1)联结、(2)取的中点E ，的中点F，（3）联结EF，则直线EF为所求的对称轴．
考点6.轴对称变换
1.轴对称变换
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同,这种变换称为轴对称变换.
2.轴对称变换的性质
(1)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点
(2)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
注意：
（1）成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的.
（2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的.
【例6】（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是-5,2，则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（ ）
A．-5,-2B．5,-2C．-5,2D．5,2
【答案】D
【分析】观察图形不难发现，每四次变换为一个循环组循环，用2023除以4，根据余数的情况确定最后点B所在的象限，然后根据关于坐标轴对称的点的变化规律解答．
【详解】点B第一次关于x轴对称后在第三象限，点B第二次关于y轴对称后在第四象限，点B第三次关于x轴对称后在第一象限，点B第四次关于y轴对称后在第二象限，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2023÷4=505余3，
∴经过第2023次变换后所得的B点与第三次变换的位置相同，坐标为5,2．
故选：D
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，对称，确定出每4次变换为一个循环组是解题的关键．
考点7.画轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成的,对于某些图形,我们只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于某直线的对称点,连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形
1.画轴对称图形的依据
如果两个图形关于某一条直线对称,那么连接对称点的线段被对称轴垂直平分
2.画轴对称图形的方法
(1)找——在原图形上找特殊点(如线段的端点);
(2)定——确定各个特殊点关于对称轴的对称点;
(3)连——依次连接各对称点
注意：
（1）找特殊点对画轴对称图形极为重要,找特殊点时,要把确定图形形状的特殊点找全,除线段的端点外,线与线的交点也是画图过程中的特殊点;
（2）对称轴上任意一点的对称点是它本身
【例7】．（2022秋•灌南县校级月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）求△ABC的面积；
（2）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（3）在如图所示网格纸中，以AB为一边作与△ABC全等的三角形，可以作出 个三角形与△ABC全等．
【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去3个直角三角形的面积可计算出△ABC的面积；
（2）分别作B、C两点关于直线l的对称点，从而得到△A'B′C′；
（3）作点C关于直线AB的对称点可得到与△ABC全等的三角形，或作点C关于AB的垂直平分线的对称点得到与△ABC全等的三角形．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝4×2﹣×1×4﹣×1×2﹣×2×2＝3；
（2）如图，△A'B′C′即为所作；
（3）在AB的两侧可各作一个三角形与△ABC全等．
故答案为：2．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称：画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
考点8.平面直角坐标系中的轴对称（难点）
1.关于坐标轴对称的点的坐标特征
(1)点关于轴对称的点的坐标为
特征:横坐标相等,纵坐标互为相反数
(2)点关于y轴对称的点的坐标为
特征:横坐标互为相反数,纵坐标相等
在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤
(1)计算——计算对称点的坐标
(2)描点——根据对称点的坐标描点;
(3)连接——依次连接所描各点,即可得到成轴对称的图形
【例8】（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A2,4,B3,1,C-2,2．
(1)请在平面直角坐标系内，画出△ABC关于y轴对称的图形，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；
(2)请写出A1,B1,C1的坐标分别是A1（______________），B1（______________）；C1（______________）；
(3)请写出点Ma,b关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点M1的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)-2，4；-3，1；2，2
(3)M1-a+2，b
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）结合（1）所画的图形，即可得到答案；
（3）利用轴对称得出答案即可．
【详解】（1）解：先作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接，则△A1B1C1即为所求，如图所示：
（2）解：A1,B1,C1的坐标分别是A1-2,4，B1-3,1，C12,2．
故答案为：-2，4；-3，1；2，2．
（3）解：设点M1x,y，
∵直线n=1，且平行于y轴，Ma,b，
∴x+a2=1，y=b，
∴x=-a+2，
∴点Ma,b关于直线n对称的点M1的坐标为-a+2，b．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换，解题的关键是数形结合，作出对应点的位置．
【变式】（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
(1)作出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)在x轴上找一点P，使得△PAC1周长最小．请在图中标出点P的位置．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）连接A与C1关于x轴的对称点，与x轴的交点即为所求点P．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）解：如图所示：点P为所求．
【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
考点9.等腰三角形的性质（重点）
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【例9】（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（ ）
A．13cmB．13cm或17cmC．17cmD．16cm
【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17（cm）．
故它的周长为17cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【变式】（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为 cm．
【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和6两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是15，哪个是18，因此，有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
若AB+AD的长为15，则2x+x＝15，解得x＝5，
则x+y＝18，解得y＝13，
所以2x＝10；
若AB+AD的长为18，则2x+x＝18，解得x＝6，
则x+y＝15，即6+y＝15，解得y＝9，
所以2x＝12，
10、10、13和12、12、9均能构成三角形，
所以等腰三角形的腰长为10或12．
故答案为：10或12．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证．
考点10.等腰三角形的判定（重点）
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【例10】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
求证：△BCD为等腰三角形．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC＝70°，再利用角平分线的定义求出∠DBC＝35°，最后利用等边对等角即可解答．
【解答】证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴DB＝DC，
∴△BCD为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
考点11.等边三角形及其性质（重点）
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【例11】（2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135°B．125°C．120°D．110°
【分析】利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明△DAC≌△BAE，可得∠ADC＝∠ABE，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∠ADB＝DBA＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BOC＝∠BDO+∠DBA+∠ABE
＝∠BDO+∠DBA+∠ADC
＝∠ADB+∠DBA
＝60°+60°
＝120°，
∴∠BOC的度数是120°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转性全等是解题的关键．
考点12.等边三角形的判定（重点）
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例12】（2021秋•沐川县期末）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后根据等角对等边得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明△BED≌△CFD．
考点13.含30°角的直角三角形的性质（重点）
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【例13】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】根据三角形内角和可得∠BDC＝30°，进而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，
∴AD＝BD，
在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝8＝AD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
【变式】（2022•碑林区校级四模）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【分析】连接BE，由等边三角形的性质可求得∠ABC＝60°，∠ABE＝∠CBE＝30°，结合直角三角形的性质可求∠EBC＝∠D＝30°，BE＝2，由等腰三角形的性质可求得ED的长，进而可求解．
【解答】解：连接BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵EF⊥AB，EF＝1，
∴∠D＝90°﹣∠ABC＝30°，BE＝2EF＝2，
∴ED＝BE＝2，
∴DF＝ED+EF＝2+1＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，证明BE＝ED是解题的关键．
考点14.垂直线段最短问题
动点所在的直线已知型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。
【例14】如图，在锐角三角形中，，， 的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】D
【分析】如下图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
解：如图，在上取一点E，使，连接，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
又由垂线段最短得：当时，取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为5，
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．
【变式】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】．B
【详解】试题分析：在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.
考点15.将军饮马问题
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
①两定一动
②一定两动
③两定两动
【例15】如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．7B．9C．10D．14
【答案】A
【分析】连接，根据线段垂直平分线性质得，周长，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出，，即可得出答案．
【详解】解：如图所示．连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴周长．
连接，
∵，点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴周长的最小值是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断周长的最小值是解题的关键．
【变式】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小．
解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．
∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，
∴；
∵点P关于的对称点为D，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∴的周长的最小值．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在．
考点16.造桥选址问题
A
方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．
M
N
【例16】如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1 ∥ l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两点间直线距离最短，使EFP'P为平行四边形即可，即PP'垂直河岸且等于河宽，接连QP'即可．
【详解】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP'等于河宽，
连接QP'，与另一条河岸相交于F，作FE⊥l1于点E，
则EF∥PP'且EF=PP'，
∴四边形EFP'P为平行四边形，
∴P'F=PE，
根据“两点之间线段最短”，QP'最短，即PF+FQ最短．
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．
【变式】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短.
【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
【核心素养提升】
1逻辑推理——用转化思想求图形的周长
1.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）请画出ΔABC关于原点对称的ΔA1B1C1；
（2）在x轴上求作一点P，使ΔPAB的周长最小，请画出ΔPAB，并直接写出P的坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）作图见解析，P坐标为(2，0)
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）作点A(1，1)关于x轴的对应点A'1,-1，连接A'B交x轴于点P，则点P为所求的点，连接△APB，则△APB为所求的三角形．
此时点P坐标为(2，0)
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
2分类讨论思想
2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．
(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；
(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；
(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.
3.已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
4、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.
【答案与解析】
解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：
两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，
又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，
故每个底角的度数；
(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，
则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．
∴其余各角为70°，70°或40°，100°．
【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.
3数学建模——构建方程模型解决问题
5.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC
上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．
【答案】
解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.
设∠B为度 ∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－
①当BD＝BE时
∠3＝ ，
45°＋90°－＋＝180°，
＝30° .
②经计算ED＝EB不成立.
③当DE＝DB时
∠3＝180°－2
45°＋90°－＋180°－2＝180°，
＝45°.
综上所述，∠B＝30°或45°.
【中考热点聚焦】
热点1.轴对称的性质
6.（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；
（2）四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝×4×1+×4×3＝8．
7．（2020•吉林）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
【解答】解：（1）如图①，MN即为所求；
（2）如图②，PQ即为所求；
（3）如图③，△DEF即为所求．（答案不唯一）．
8．（2022•桂林）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
【解答】解：（1）如图1，
（2）如图2，
（3）图1是W，图2是X．
热点2.平面直角坐标系中点的对称
9．（2023•常州）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P的坐标是（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1），
故选：C．
【点评】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（2，6）D．（2，﹣6）
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（6，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
11．（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（ ）
A．（40，﹣a）B．（﹣40，a）C．（﹣40，﹣a）D．（a，﹣40）
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称，
∴飞机D的坐标为（﹣40，a），
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
12．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（2，3）
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键．
13．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（ ）
A．（1，5）B．（1，3）C．（5，3）D．（5，5）
【分析】先根据轴对称的性质求出A1，B1，C1的坐标，根据平移的性质即可求出A2的坐标．
【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）关于x轴对称的点的坐标为A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），
又∵B2（2，1），
∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点A2坐标为（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
14．（2023•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a+b＝ ．
【分析】根据题意可知点P（a，1）与点Q（2，b）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可．
【解答】解：∵点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，
∴点P（a，1）与点Q（2，b）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴a＝2，1+b＝0，
解得b＝﹣1，
∴a+b＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查关于x轴对称的两点，属于基础题，明白关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
热点3.等腰三角形的性质与判定
15．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
16．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）先根据角平分线性质，得∠ABD＝∠CBD，由平行线性质得到：∠EDB＝∠CBD，得到∠EBD＝∠EDB，根等角对等边判断即可．
（2）先根据三角形内角和，求∠B的度数，再利用角平分线的性质求∠DBC的度数，利用平行线性质求得∠EDB＝∠DBC．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质．熟练掌握判定和性质是关键．属较容易题．
热点4.等边三角形的判定与性质
17．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
【分析】先由平行线的性质可得∠ACB的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB＝BC，则可得出AB的长．
【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键．
18．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．
热点5.线段垂直平分线的性质
19．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，即可求解．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．
∴BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝AD+BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 ．
【分析】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．
【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
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