专题01 勾股定理（突破核心考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】 -2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版）

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专题01 勾股定理（突破核心考点）【聚焦考点+题型导航】考点一 用勾股定理解三角形 考点二 勾股数考点三 勾股定理与网格问题 考点四 勾股定理与折叠问题考点五 用勾股定理求几何体上最短路径问题 考点六 用勾股定理构造图形解决问题考点七 勾股定理逆定理证明是直角三角形【知识梳理+解题方法】1 勾股定理1．勾股定理如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意： = 1 \* GB3 ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． = 2 \* GB3 ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是．2．直角三角形斜边上的高 = 1 \* GB3 ①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． = 2 \* GB3 ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，， .2勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.　图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以.3勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形4 如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.5 勾股定理的逆定理1．勾股定理逆定理如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 注意： = 1 \* GB3 ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边． = 2 \* GB3 ②当满足时，是斜边，是直角． = 3 \* GB3 ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．【专题过关+能力提升】考点一 用勾股定理解三角形例题：（2022·山西实验中学八年级阶段练习）在△ABC中，∠B＝90°，（1）若AB＝3，BC＝4，则AC＝________；（2）若AC＝13，AB＝5，则BC＝________．【变式训练】1．（2022·广东·东莞市南城阳光实验中学八年级期中）直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 _____．2．（2022·江西赣州·八年级期中）在△ ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，AB＝8，求BC的长．3．（2021·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB，AB＝DE．(1)求证：BC＝DB；(2)若BD＝6cm，求AB的长．考点二 勾股数例题：（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级期中）以下数组中，其中是勾股数的是（    ）A． ， ， B．9 ，40 ， 41 C．1 ， ，1 D．2 ，3 ，4【变式训练】1．（2022·江西·赣南师范大学附属中学八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ）A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，152．（2022·陕西·福建师范大学附属中学初中部八年级期中）在下列四组数中，是勾股数的是（　　）A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．4，5，6 D．1，，23．（2022·广西柳州·八年级期中）下列四组数中不是勾股数的是（    ）A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，2，3 D．8，15，17考点三 勾股定理与网格问题例题：（2022·安徽·巢湖市第七中学八年级期中）点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到AB的距离是（　）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·山东·邹城市第四中学八年级阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，点到边的距离为（    ）A． B． C． D．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．3．（2022·福建福州·八年级期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则的度数为______°．考点四 勾股定理与折叠问题例题：（2022··八年级期末）如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为______．【变式训练】1．（2022·吉林吉林·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′，如果点B′落在直角边AC的中点上，则CE的长为____________．2．（2021·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）在中，，，，，分别是和上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．(1)如图1，如果点恰好与顶点重合，求的长；(2)如图2，如果点恰好落在直角边的中点上，求的长．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．(1)若，求的值．(2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？考点五 用勾股定理求几何体上最短路径问题例题：（2022·河南·金明中小学九年级阶段练习）如图，一只螳螂在树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm，，两点的距离为45cm，则螳螂爬行的最短距离为 __．取【变式训练】1．（2022·江西·赣南师范大学附属中学八年级期中）如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为________（不计壁厚）．2．（2022·吉林·八年级期中）如图，一个圆柱体的底面周长为16cm，AB是下底面的直径，高BC为12cm，S为BC的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点S．(1)画出蚂蚁爬行的最短路线示意图；(2)求出蚂蚁爬行的最短路程．3．（2022·全国·八年级）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少?4．（2022·贵州·兴仁市屯脚镇屯脚中学八年级阶段练习）(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为，，，如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要______；(2)如图2，长方体的棱长分别为，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？考点六 用勾股定理构造图形解决问题例题：（2022·安徽六安·八年级期末）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？【变式训练】1．（2022·江西·新余市第一中学八年级阶段练习）某条道路限速70km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m．(1)求BC的长；(2)这辆小汽车超速了吗？2．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人．(1)_________米，_________米；(2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）；②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，）3．（2021·广东佛山·八年级阶段练习）如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成．(1)如图1，一辆货车高4m，宽2.8m，它能通过该隧道吗？(2)如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m，高为2.8m的货车能驶入这个隧道吗？(3)如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则该辆宽为4m，高为2.8m的货车还能通过隧道吗？考点七 勾股定理逆定理证明是直角三角形例题：（2022·北京市燕山教研中心八年级期末）绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．【变式训练】1．（2022·湖北黄冈·八年级期中）如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．(1)判断△BCD的形状，并说明理由；(2)求△ABC的周长．2．（2022·重庆·八年级期中）有一旅游景点在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头，并且，由于某种原因，由到的路已经不通，为方便游客决定在河边点新建一个码头点，，在同一直线上，并新修一条笔直的公路，测得千米，千米，千米．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．3．（2021·福建三明·八年级期中）如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．（1）求的周长；（2）判断是不是直角三角形，并说明理由.4．（2021·山西·晋中新大陆双语学校八年级阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理；S大正方形=_____，还可以表示为_____，所以可得到_______=______，化简后最终得到____．(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______．(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．