【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 4.5.3《函数模型的应用》培优分阶练（含解析）
展开4.5.3 函数模型的应用
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1.下列函数中，随的增大，其增大速度最快的是( )
2.下图所示的是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有( )
(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；
(2)人民生活费收入增长最快的一年是2009年；
(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2010年；
(4)虽然2011年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
3.下列函数关系中，可以看着是指数型函数且模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)．
B．我国人口年自然增长率为，这样我国人口总数随年份的变化关系．
C．如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系．
D．信件的邮资与其重量间的函数关系．
4. 2003年至2015年北京市电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，将年份作为自变量x，当年电影放映场次作为函数值y，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的函数是( )
5. 在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中为待定系数)( )
A． B． C． D．
二、多选题
6. 某市出租车收费标准如下：起步价为元，起步里程为 (不超过按起步价付费)；超过但不超过时，超过部分按每千米元收费；超过时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费元．下列结论正确的是
A．出租车行驶，乘客需付费元
B．出租车行驶，乘客需付费元
C．某人乘出租车行驶两次的费用超过他乘出租车行驶一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶了
三、填空题
7. 四个变量随变量变化的数据如下表：
关于呈指数函数变化的变量是__________．
8.某科研小组研究了一种常见树的生长周期中前年生长规律，统计显示，生长年的树高为米，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间 (年与树高 (米之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①，②，③中(其中为正的常数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是 (填写序号)，估计该树生长年后的树高为 米．
9.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型为常数)来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间 (单位：天)之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为 天．
四、解答题
10.某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第年与年产量(万件)之间的关系如表所示：
1 | 2 | 3 | 4 | |
4.00 | 5.52 | 7.00 | 8.49 |
现有三种函数模型：
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取这两年的数据求出相应的函数解析式；
(2)因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量．
11.1766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离(单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如表所示的数据：
行星编号 | 1(金星) | 2(地球) | 3(火星) | 4 (谷神星) | 5(木星) | 6(土星) |
离太阳的距离 |
|
受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星．
(1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论即可)；
①；②；③．
(2)根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
． ．
2. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度(单位：满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为 (参考数据：
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
3.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 (单位：与时间 (单位：间的关系为，其中是正的常数．如果在前污染物减少，那么再过后污染物还剩余
A． B． C． D．
4.区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域．在区块链技术中，某个密码的长度设定为，则密码一共有种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行次运算．现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为
(参考数据：
A． B． C． D．
二、多选题
5.小明从家里到学校行走的路程与时间的函数关系表示如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有
A．
B．
C．对于，存在，使得
D．整个过程小明行走的速度一直在加快
三、填空题
7.函数与函数在区间上增长较快的一个是 ．
8.某同学从地跑步到地，随路程的增加速度减小．若以表示该同学离地的距离，表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)
9.商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买公斤，乙每次购买元互不相等)，该方案实施次后 的购买方案平均价格更低(填“甲”或“乙”
四、解答题
10.某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足为常数，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是万件，已知2008年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2008年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(2)该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
11.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到万件)，其中为工厂工人的复工率()．公司生产万件防护服还需投入成本(万元)．
将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；
对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？(精确到)．
培优第三阶——高考沙场点兵
1.(2021•甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为 ( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
2.(2020•山东)基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间 (单位：天)的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )
A．天 B．天 C．天 D．天
3.(2019•新课标Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：．
设．由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为( )
A． B． C． D．
4.(2022•蓬溪县校级模拟)某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 (单位：与时间单位：的关系为：是正的常数)．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少需要大约花多少时间( ) (精确到，参考数据：
A． B． C． D．
5.(2022•福州模拟)折纸是我国民间的一种传统手工艺术．现有一张长、宽的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为．若，则折痕长的最大值为( )
A． B． C． D．
6.(2022•静安区模拟)在如今这个时代，研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来速率有望达到，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计数据传输速率有望比快倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从提升至，则最大信息传递率会提升到原来
的 倍．(结果保留一位小数)
7.(2021•雨花区校级二模)如图，假定两点以相同的初速度运动．点沿直线做匀速运动，；点沿线段 (长度为单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令与同时分别从出发，那么，定义为的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示与的对应关系是，其中为自然对数的底，当点从线段的三等分点移动到中点时，经过的时间为 ．
8.(2020•上海)在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量．
(1)若交通流量，求道路密度的取值范围；
(2)已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值．
9.(2020•上海)有一条长为米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．
(1)若，求的值，并写出的函数解析式；
(2)若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？
