2022-2023人教版八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练 专题13.3 轴对称图形（九大题型）重难点题型（原卷+解析卷）

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专题13.3 轴对称图形（九大题型）重难点题型
题型1 轴对称图形的性质与辨别
【方法技巧】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
1．（2022·重庆一中七年级期末）下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义分析即可求解，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（2021·四川绵阳·中考真题）下列图形中，轴对称图形的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行判断即可．
【详解】解：第一个图形不是轴对称图形；第二个图形是轴对称图形；第三个图形是轴对称图形；第四个图形不是轴对称图形；故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
3．（2022·湖南湘西·中考真题）下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．（2022·陕西西安·中考模拟）△ABC与关于直线l对称，则∠B的度数为________．

【答案】
【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形全等，则，再根据三角形内角和定理即可求得
【详解】△ABC与关于直线l对称

故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，全等的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．
5．（2022·海南·一模）如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连结交于，交于，若线段的长为，则的周长为______．

【答案】12
【分析】根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长．
【详解】解：点关于、的对称点，，，，
的周长，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
6．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，和关于直线对称，下列结论：（1）；（2）；（3）直线垂直平分；（4）直线平分．正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和全等，然后对各小题分析判断后即可得到答案．
【详解】解：和关于直线对称，
（1）；（2）；
（3）直线垂直平分；（4）直线平分综上所述，正确的结论有4个，故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，根据成轴对称的两个图形能够完全重合判断出两个三角形全等是解题的关键．
题型2 轴对称性质的运用
方法技巧：常见应运用有：折叠（剪纸）、台球桌面、光的反射和镜面对称等问题。
折叠问题中，折痕就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于对称轴对称。
1．（2022·浙江温州·一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为______．

【答案】15
【分析】根据镜面成像的原理：左右相反，即可得到答案．
【详解】解：由镜面成像的原理可知电梯所在的楼层为15，故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了镜面成像，熟知镜面成像的原理是解题的关键．
2．（2021·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________．

【答案】674
【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解．
【详解】解：根据题意可得如图所示：

由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次，
∴，∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）；故答案为674．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
3．（2020·青海·中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（     ）

A．B．C． D．
【答案】B
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将最后一个图中的纸片按顺序打开铺平即可得到答案．
【详解】
还原后只有B符合题意，故选B．
【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直观的得到答案．
4．（2022·江苏无锡·二模）把一张边长为8cm的正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形．

（1）如果打开后得到一个正方形，则这个正方形的边长为______．（2）有以下5个正多边形：①正五边形；②正六边形；③正八边形；④正十边形；⑤正十二边形，其中打开后可以得到是______．（只填序号）
【答案】          ③⑤
【分析】由题意折叠后有4层纸，可知展开图的正多边形的边长数目应为4的倍数，同时通过简单的动手操作也可得出相关结论．
【详解】解：（1）分别过两直角边中点，构造等腰直角三角形，按照如图红线位置进行裁剪可得正方形．

折叠两次后三角形的直角边长为，裁剪后展开的正方形边长为．
（2）过直角的角平分线与斜边的交点，构造顶角为等腰三角形，按照如图红线位置进行裁剪可得正八边形．

过直角三等分线与斜边的交点，构造顶角为的等腰三角形，按照如图红线位置进行裁剪可得正十二边形．

  故答案为：，③⑤
【点睛】本题主要考查了图形的对称性，是典型的剪纸问题，具备一定的动手操作能力是解决本题的关键．
5．（2022·四川成都·七年级期中）把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠成图①，再沿HF折叠成图②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，则∠C''FE＝_______．


【答案】
【分析】先利用平行线的性质得到，，再根据折叠的性质得到，所以，接着再利用折叠的性质得到，然后计算即可．
【详解】四边形为长方形，
，
，，
方形纸条沿折叠成图①，
，
，
长方形沿折叠成图②，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
6．（2022·安徽·宣州市雁翅乡初级中学二模）仔细观察图1，体会图1的几何意义，用图1的方法和结论操作一长方形纸片得图2或图3或…，，均是折痕，当在的内部时，连接，若，，的度数是_______________．

【答案】
【分析】根据折叠的性质得到，，根据图形可得，，再根据计算即可；
【详解】∵，，
∴由折叠性质得，，
∴，，
∴，
即，∴；故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠图形的性质应用，准确分析计算是解题的关键．

题型3 线段垂直平分线性质与判定及运用
【解题技巧】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
垂直平分线的性质判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等。
1．（2022·静宁县阿阳实验学校八年级期末）如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处．

【答案】4．
【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断．
【详解】解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故答案是：4．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________．

【答案】23
【分析】由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可．
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ，，
故答案为：23
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键．
3．（2022·河南开封·一模）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：


步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；
步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；
步骤3：连接CD，且过A，B作直线
则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是____________．
【答案】线段的垂直平分线的性质定理的逆定理
【分析】连接BD，AD，根据垂直平分线的判定即可解答；
【详解】解：如图，连接BD，AD，


∵AC=AD，BC=BD，
根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可得：A，B一定在线段CD的垂直平分线上；
故答案为：线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
4．（2022·江西·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（　　）

A．2 B．12 C．5 D．7
【答案】B
【分析】由于，关于直线为对称，所以和重合时，最小，最小值等于，即可求得的周长的最小值．
【详解】解：是线段的垂直平分线，

，关于直线为对称，和重合时，最小，即的周长的最小值，
是线段的垂直平分线，，的最小值，
的最小周长，故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
5．（2021·黑龙江绥化·中考真题）（1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在上图中，如果，则的周长是_______．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；
（2）根据（1）中可知，即可求得的周长．
【详解】（1）作法：如图所示，
①连接（用虚线），
②作的垂直平分线交于，
③标出点即为所求，

（2）∵，
∴，
∴的周长＝9．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
6．（2022·西城区·八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．
求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到 ．
若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．

【答案】BC，DC，线段的垂直平分线的判定
【分析】在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．
【详解】解：如图，△AOC即为所求．

故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

题型4 角平分线的运用
【解题技巧】角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
1．（2022·湖南邵阳·八年级期中）如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．

A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
【答案】C
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为点，

由角平分线的性质定理得：，
的三边长分别是20，30，40，
，故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
2．（2022·福建漳州·八年级期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（       ）

A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，

∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
3．（2022·河北承德·八年级期末）如图，在中，平分，则的面积为（       ）

A．30 B．20 C．15 D．10
【答案】C
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质作出辅助线，即可得出AB边上的高线长度，根据面积公式计算，
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=3，
∴S△ABD= ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，根据性质作出辅助线是解答此题的关键．
4．（2022·安徽·八年级期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（    ）

A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】C
【分析】如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，证明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可证明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC= ．
【详解】解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，∴∠AHC=∠BGC=90°，
∵∠ACB=90°，AF⊥BE，∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，
又∵∠ADE=∠BDC，∴∠CAH=∠CBG，
又∵AC=BC，∴△AHC≌△BCG（AAS），∴CH=CG，
∵CH⊥EF，CG⊥BE，∴CE平分∠BEF，∴∠BEC=．

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，角平分线的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
5．（2022·陕西渭南·三模）如图，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，请用尺规作图法在AC上求作一点D，使得∠ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】作图见解析
【分析】因为∠A＝100°，∠C＝30°，所以∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．
【详解】解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，
∴∠B＝50°，
若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．
作图如下：

【点睛】本题考查作角平分线，解题的关键是分析题意知道作∠B的角平分线，掌握作角平分线的方法．
6．（2022·湖北）（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．
（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．
（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；
（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出，，即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即，即可得出答案；
【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，
∵ ，，∴：=AB：AC；
（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE
又∵ AD平分∠CAE，∴ ∠CAD=∠DAE，
在△ACD和△AED中， ，∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴ ，∴ ，
∴AB：AC=BD：CD；

（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，
在△ADC与△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE为∠BAM的角平分线，
故 ，∴BE：CD=AB：AC；

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；

题型5 等腰三角形的性质与判定
【解题技巧】掌握等腰三角形的性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。
3）有两条边相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
1．（江西省吉安市峡江县2021-2022学年七年级下学期期末检测数学试卷）已知等腰三角形的其中二边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长为（          ）
A．12或15 B．12 C．13 D．15
【答案】D
【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，周长为15；
②当3为腰时，其它两边为3和6，
∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2．（2021·江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．

【答案】
【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可．
【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，
ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，
∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，
∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，
∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黄金三角形，
同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，
∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黄金三角形．
则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．

【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．
3．（2022年广西梧州市中考数学真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．
【详解】解：∵是的角平分线，∴，
∴，故选项A、D结论正确，不符合题意；
又是的角平分线，，
∴，故选项B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．
【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．
4．（河北省秦皇岛市第七中学2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（       ）


A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．
【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点．

则符合条件的点共有5个，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．
5．（2022年福建省南平市初中毕业班综合练习（一）数学试题）已知，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，求证：∠A=2∠CBD．

【答案】见解析
【分析】作AE⊥BC，由等腰三角形三线合一可得AE平分∠A，通过直角三角形中两个锐角互余，利用等量代换证明∠CBD=∠CAE，即可证明∠BAC＝2∠CBD．
【详解】证明：过点A作AE⊥BC，垂足为E，

∵AB=AC ，   AE⊥BC，∴AE是∠A的平分线，∴2∠CAE=∠BAC，
又∵BD⊥AC，AE⊥BC，∴∠CBD+∠C=90°，∠CAE+∠C=90°，
∴∠CBD=∠CAE．∴原图中的∠A＝2∠CBD．
【点睛】本题考查了三角形的相关知识，熟练运用等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
6．（2022年青海省中考数学真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

        图1 图2
【答案】(1)见解析(2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，∴．
在和中，，∴，∴．
(2)解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
∴．
∵，，∴．
∵，∴，
∴．∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．

题型7 等边三角形的性质与判定
【解题技巧】掌握等边三角形的性质与判定：
1）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
2）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
1．（山东省枣庄市山亭区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，AB//CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（　　）

A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】D
【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差计算即可．
【详解】解：为等边三角形，，
，，
，
，，解得．故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．
2．（福建省宁德市古田县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，等边中，，垂足为，点在线段上，，则等于（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故选：A．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
3．（陕西省安康市紫阳县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题（A卷））如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（       ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD(三线合一)
∴DC=cm，
∵∠E = 30°
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°
∴∠CDE=∠E
所以CD=CE=2cm
故选：B．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
4．（广东省深圳外国语学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（       ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤


A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴，
∴，即，
∴，∴AD=BE，∴①正确，
∵，∴，
又∵，∴，即，
又∵，∴，∴，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴ ，∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，③正确，
∵AD=BE，AP=BQ，∴ ，即DP=QE，
∵ ，
∴∠DQE≠∠CDE，∴DE≠DP，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴⑤正确．故选：C．
【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
5．（湖北省孝感市孝南区2021-2022学年八年级上学期作业检测数学试题）如图，已知等边三角形ABC的边长为4，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为______．

【答案】2
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFM≌△QCM，推出FM=CM，推出ME=AC即可．
【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFM和△QCM中，
，
∴△PFM≌△QCM（AAS），
∴FM=CM，
∵AE=EF，
∴EF+FM=AE+CM，
∴AE+CM=ME=AC，
∵AC=4，
∴ME=2，
故答案为：2．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
6．（福建省三明市永安市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）已知：如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点D为动点，AD绕点A逆时针旋转60°得到AE．


(1)如图1，连接BD，CE，求证；
(2)如图2，，连接DE，求证：点B，D，E三点在同一条直线上；
(3)如图3，点D在△ABC的高BF上，连接EF，求EF的最小值．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）∠BAD=∠CAE=∠CBE，所以∠ABC=∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠BAD=60°，从而得出∠ADB=120°，进一步得出结论；（3）可证得∠ACE=∠ABF=30°，从而得出点E的运动轨迹，进而求得EF的最小值．
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即：∠BAD=CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）由（1）知：∠CAE=∠BAD，
∵∠CAE=∠CBE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD+∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠BAD=60°，
∴∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=120°，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠ADE=180°，
∴B、D、E在同一条直线上；
（3）如图，连接CE，


由（1）得：△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF=∠ABC＝30°，CF=AF=AC=3，
∴∠ACE=30°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴点E在过点C且与BC垂直的直线上运动，
∴当FE垂直于该直线时，CE最小（图中点CE′），
∵∠CE′F=90°，∠ACE=30°，
∴FE′=CF＝，
∴EF的最小值为：．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．

题型8 轴对称作图
1．（2021·贵州黔南·八年级期中）如图，已知△ABC的顶点分别为A（－2，2），B（－4，5），C（－5，1）和直线m（直线上各点的横坐标都为1）．

（1）作出△ABC关于x轴对称的图形，并写出点的坐标；
（2）作出△ABC关于y轴对称的图形，并写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析，点的坐标为（－4，－5）；（2）图见解析，点的坐标为（4，5）
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（2）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
【详解】解：（1）如图所示，即为所求作的三角形，点的坐标为（－4，－5）．
（2）如图所示，即为所求作的三角形，点的坐标为（4，5）．

【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换及最短路径问题．解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并根据轴对称变换的定义和性质得出变换后的对应点位置．
2．（2021·广东惠州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点M与关于直线l成轴对称．

（1）在题图中画出直线l及线段关于直线l对称的线段；
（2）求的面积．
【答案】(1)画图见解析，(2)6．
【分析】(1)根据轴对称的性质，画的垂直平分线即可；再根据轴对称的性质画出点即可；
(2)根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：(1)直线l如图所示；线段关于直线l对称的线段如图所示；

(2) 的面积为：．
【点睛】本题考查了轴对称变换，解题关键是熟悉轴对称的性质，会准确画图，正确计算．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出关于直线的对称图形（要求点与，与，与相对应）．
（2）在直线上找一点，使得的周长最小．
【答案】见解析
【分析】（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）如图所示： 即为所求；
（2）如图所示：点P即为所求的点．

【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
4．（2022·内蒙古巴彦淖尔·八年级期末）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．

(1)利用网格线画出△ABC与△DEF的对称轴l；(2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小，并说明你的理由；(3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝　 　．
【答案】(1)答案见解析(2)答案解析(3)3
【分析】（1）利用网格特点，作AD的垂直平分线即可；（2）连接CD，与直线l的交点即为所求；（3）利用割补法求解可得．
(1)解：如图所示，直线l即为所求．

(2)解：如图所示，点P即为所求；根据两点之间线段最短即可证明PA+PC最小；
(3)解：△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
5．（2022·江苏无锡·七年级期中）如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格）：

(1)画出中BC边上的高AD；(2)画出先将向左平移5格，再向下平移2格后的；
(3)画一个（要求各顶点在格点上，P不与A点重合），使其面积等于的面积．并回答，满足这样条件的点P共______个．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；2
【分析】（1）根据三角形高的定义求解可得；（2）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）过点A作平行于BC的直线，同样结合网格的特点在直线BC的另一侧也可以找出符合条件的格点P，共有4个点P．
(1)解：如图：作，再过A点作的平行线，交BC于点D，

(2)解：如图：

(3)解：如图符合条件的格点共有4个，

【点睛】本题用到的知识点为：三角形一边上的高为这边所对的顶点向这边所引的垂线段，对称的性质；图形的平移要归结为各顶点的平移，平行线间距离处处相等．
6．（2022·江苏常州·七年级期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点、、、、、都在格点上．

(1)过点画直线的垂线，垂足为，过点画直线的垂线，交于点．
①请在网格中画出垂线、；②线段与的大小关系是：_____．
(2)将向上平移1个单位，再沿直线翻折，得到．
①请在网格中画出；②与的大小关系是：______．
【答案】(1)①见详解； ②＜； (2)①见详解；②=．
【分析】（1）①先确定垂线位置，利用平移确定点，做直线即可；②根据垂线段最短即可得出结论；
（2）①根据平移得出点P′在直线BC上，利用折叠得出∠M′P′N′②利用平移角的大小不变，利用折叠得出角的大小不变，根据对顶角性质得出结论即可．
(1)解：①把点B向左平移1个格得出点G，作直线AG，则AG⊥BC于G，
点A向左平移2个格到E，再向下平移1个格得点D，过AD两点作直线交BC与H，则AH⊥AB；
∵∠EAD+∠DAG=90°，∠EAD=∠BAG，
∴∠DAG+∠GAB=90°，∴AH⊥AB，
②∵AG⊥BC，根据垂线段最短AG＜AH，故答案为＜；
(2)①将∠MPN向上平移1个单位得∠M″P′N′,
点P′在直线BC上，沿着BC折叠得∠M′P′N′
则∠M′P′N′为所求；
②∵∠ABC=∠M′P′N′，∠M′P′N′=∠MPN,
∴∠ABC=∠MPN．故答案为=．

【点睛】本题考查网格作图，平移性质，折叠性质，垂线画法，垂线段最短，对顶角性质，掌握网格作图，平移性质，折叠性质，垂线画法，垂线段最短，对顶角性质是解题关键．

题型9 等腰三角形与全等三角形综合题
1．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在锐角△ABC中，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直平分线分别交AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AI⊥BC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号）

【答案】（1）（2）（4）（5）
【分析】（1）使用角平分线的性质即可；（2）根据AB和BC的垂直平分线OG和MN可以得到OA=OB=OC，进而得到三组相等的角，再进行等量代换即可；（4）在和中，易得和公共边AH，再通过角度的计算和等量代换可以得到，即可证明；（5）根据垂直平分线的性质和（4）中的全等三角形可得BO=AH，通过角度的计算和等量代换可以证明和，进而可通过证明得到BE=AC，再进行等量代换即可；（3）易得OH=2OF，根据分析无法证明OF=OG，故可判断该项不符合题意．
【详解】解：（1）∵AM平分，AN平分，∴，．
∴．
又∵根据图示可得，∴．故（1）符合题意．
（2）∵G为AB中点，且，MN垂直平分BC，
∴OA=OB=OC，．
∴，，，．
∴，．
又∵，∴．
∴．∴．
∴．∴．
∴．故（2）符合题意．
（4）如图所示，延长CO交AB于点J．

∵OB=OC，MN垂直平分BC，∴，．
又∵，，，
∴．
∵，∴．
∴．∴．
∴．∴．
又∵，，∴．∴．∴．
∵AM平分，，∴，．
又∵，，
∴．∴．
又∵，∴．
∴．∴．
在和中，∵∴．故（4）符合题意．
（5）∵，，∴．
又∵，，∴，．
∴，．∴．
∵，∴OA=HA．又∵OA=OB，∴BO=AH．
∵，，，∴．
又∵，∴．∴．
在和中，∵∴．∴BE=AC．∴AE+AC=AE+BE=AB．
∵G为AB中点，∴AB=2AG．∴AE+AC=2AG．故（5）符合题意．
（3）∵，∴FO=FH．∴OH=2OF．
∵，，∴．
∵无法证明AF=AG和和，
∴无法证明．∴OF和OG可能相等，也可能不相等．
∴OH与2OG不一定相等．故（3）不符合题意．故答案为：（1）（2）（4）（5）．
【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键，特别注意等量代换的使用．
2．（2021·四川八年级期末）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．

（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；
（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，∴OC=2OD，∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∴BG=CG，∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，，∴△CGB≌△CGF（ASA），∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，

∵CA=CB，CE⊥AB，∴AE=BE，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，∴△OMG是等边三角形，∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，∴∠BGF=∠MGO，∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，，∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，∴MF=OA，∵OF=OM+MF，∴OF=OG+OA．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
3．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，
【分析】（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；
（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MOD．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，，
∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：

在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=∠AHC＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于．理由如下：
连接OD，如图2所示：

∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，∴∠DAN＝135°＝∠DOM．
∵MD⊥ND，即∠MDN＝90°，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM和△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD=S△AOB=×AO•BO=××3×3=．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
4．（2021·江苏景山中学八年级期末）（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是　 　；BE＋BF与的BC数量关系是　 　；（写出结论即可，不必证明）

（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是　 　．（直接写出结论即可）
【答案】（1）DE=DF，BE+BF=BC；（2）DE=DF，BE+BF=BC；（3）DE=DF，BF-BE=BC
【分析】（1）点与点重合，即，因为，所以可得出三者之间的关系；
（2）过作交于点，证明，DE=DF，ME=CF，即可得到结果；
（3）取中点，连接，证明△END≌△FCD，得到DE=DF，从而判断BE、BF、BC的关系．
【详解】解：（1）等边中，点为的中点，，
，，；
（2）；．过作交于点，

则，，是等边三角形，
则，，则，即：，
在和中，，，
，，∴；
（3）取中点，连接，如图所示
，，，
，，
，，．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．
5．（2021·南师附中树人学校九年级月考）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．
（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 　 　．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或等边三角形 D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由：　 　是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）B；（2）见解析；（3）①有一个角是60°的等腰三角形；②见解析；③见解析
【分析】（1）通过已知条件判断三角形全等即可；（2）过三点作对边的垂线即可；
（3）①运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一定理即可；
②通过证明三角形全等得到BE＝F′F和EC＝FF″，即可证明FF'+FF″＝BC；
③运用②的结论，确定等边三角形一个点F，再通过截取确定点E，即可作出所求三角形．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵AD＝BE＝CF，∴AB﹣AD＝BC﹣BE＝AC﹣CF，∴BD＝CE＝AF，
在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝ED，
在△ADF和△CFE中，，∴△ADF≌△CFE（SAS），
∴DF＝EF，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形，故答案为：B；
（2）如图所示，△ABC的边长最小的内接等边△DEF即为所求；

（3）①∵DE＝DF，∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
故答案为：有一个角是60°的等腰三角形；
②连接FF′和FF″，∵△DBF′、△DEF、△DCF″都是等边三角形，
∴DB＝DF′，DE＝DF，DC＝DF″，∠BDF′＝∠EDF＝∠CDF″＝60°，
∴∠BDE＝∠F′DF，∠EDC＝∠FDF″，
在△DBE和△DF′F中，，∴△DBE≌△DF′F（SAS），∴BE＝F′F，
在△DEC和△DFF″中，，∴△DEC≌△DFF″（SAS），∴EC＝FF″，
∴BC＝BE+EC＝F′F+FF″，即FF'+FF″＝BC；

③以BD为边作等边△BDF′，以CD为边作等边△CDF″，连接F′F″交AC于点F，连接DF，
在BC上截取BE＝F′F，连接DE，DF，△DEF即为所求．

【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及尺规作图，构造全等三角形是解题的关键．
6．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；（3）当ME＝时，求CE的值．

【答案】（1）见解析；（2） ；（3）或；
【分析】（1）依据可证明，可得，即可；
（2）过点作，由（1）知，利用直角三角形的性质，即可求解；
（3）过点作，讨论点，在线段上还是的延长线上，通过直角三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）由题知，为等边三角形，∴；
又，逆时针旋转；由旋转的性质可知：；，∴；
在和中，，∴ ，∴
∴∴；
（2）过点作，

由（1）知，∴，
又为的中点，∴；在中，，∴ ；
∴ ；∴ ；∴到所在直线的距离为；
（3）过点作，

由（2）知，，；在中，，；∴ ；
当点落在线段上时，；
当点落在线段的延长线时，；∴的值为或；
【点睛】本题主要考查全等三角形证明、等边三角形和直角三角形的性质，关键在寻找相关条件作辅助线；
7．（2021·四川）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由：（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，连接CD、BE，求证：DC＝BE；（3）如图3，若∠ACB=90°，连接DE，交AB于点F，求证：DF＝EF．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明即可；（2）由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°,AD=AB，AE=AC，运用SAS证明△ADC≌△ABE即可得到结论；
（3）作DG//AE，证明得DG=AC，再根据AAS证明即可得到．
【详解】解：（1）证明：∵△ABD是等边三角形（已知）
∴∠ADB=∠ABD=60°(等边三角形每个内角都相等，都等于60°)
∵∠ABC=60°(已知)∴∠ABD+∠ABC=120°∴∠ADB+∠DBC=180°
∴AD//BC(同旁内角互补，两直线平行)
（2）∵△ABD，△ACE是等边三角形（已知）
∴∠DAB=∠EAC=60°(等边三角形每个内角都相等，都等于60°)
AD=AB，AC=AE（等边三角形，三条边相等）
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠CAB（等式的性质）
∴∠BAC=∠EAD∴△ADC≌△ABE(SAS)∴DC=BE（全等三角形对应边相等）
（3）如图，作DG//AE，交AB于点G，

∵∠ABC=60°,∠ACB=90°（已知）∴∠BAC=30°(直角三角形两锐角互余)
∴∴∠DGA=∠FAE=90°(两直线平行，内错角相等)
∴∠DGB=90°（补角的定义）
在△DBG和△ABC中 ∴△DBG≌△ABC(AAS)∴DG=AC
∵△AEC是等边三角形（已知）∴AE=CE（等边三角形的性质）∴DG=AE（等量代换）
∵∠DFG=∠EFA(对顶角相等)又∠DGF=∠EAF(已证)∴△DGF≌△EAF(AAS)
∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质和判定是关键．
8．（2021·山东八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．
（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．

【答案】（1）BD=CE，理由见解析；（2）∠BCE=120°；（3）S△ABE+S△CDE=S△ADE；理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，根据角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）根据等边三角形的性质可得∠B=∠ACB=60°，根据全等三角形的性质可得∠ACE=∠B=60°，根据角的和差关系即可得答案；（3）根据角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，可得S△ABD=S△ACE，可得∠ABC=∠ACE=60°，根据平角定义可得∠ECD=60°，可得AB//CE，根据平行线间的距离相等可得S△ABE=S△ABC，根据图形面积的和差关系即可得出S△ADE=S△ABE+S△CDE．
【详解】（1）BD=CE，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠CAE+∠DAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
（2）△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，
∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°．
（3）S△ABE+S△CDE=S△ADE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，
∴S△ABD=S△ACE，∠ABC=∠ACE=60°，∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°，
∴∠ABC=∠ECD，∴AB//CE，∴S△ABE=S△ABC，
∵S△ACE+S△CDE=S△ADE+S△ACD，∴S△ABD+S△CDE=S△ADE+S△ACD，
∴S△ABC+S△ACD+S△CDE=S△ADE+S△ACD，∴S△ABE+S△CDE=S△ADE．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．