人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练专题16.1二次根式重难点题型11个(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练专题16.1二次根式重难点题型11个(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了二次根式与同类二次根式的识别，5B．1C．2D．2，二次根式有意义的综合应用，1 二次根式 重难点题型等内容，欢迎下载使用。

解题技巧：最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不
含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·云南昭通·八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山东淄博·八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．
A．B．C．D．
4．（2022·广西崇左·八年级期中）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．﹣D．
5．（2022·上海市罗星中学八年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．；B．；C．；D．．
6．（2022·广西柳州·八年级期中）下列各式能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
题型2 利用二次根式的相关概念求参数值
1.（2022·山东烟台·八年级期末）若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．1B．3C．6D．12
2．（2022·河北邢台·八年级期末）若是二次根式，则a的取值范围是______；若是正整数，则正整数a的最小值是______．
3．（2022·湖北武汉·八年级期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_____．
4．（2022·河北沧州·八年级期中）计算的结果是______．已知最简二次根式与能进行合并，则______．
5．（2022·甘肃平凉·八年级期中）若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
6．（2022·上海市八年级阶段练习）已知最简二次根式和是同类二次根式，则______．
题型3 利用二次根式性质化简符号
【解题技巧】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
1.（2022·山东泰安·八年级期中）化简：________．
2．（2021·四川省成都市八年级月考）化简二次根式得（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江八年级）把二次根式化简为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·深圳初二期中）化简二次根式 的结果是（ ）
A．B．－C．D．－
6．（2022·温州八年级月考）下列四个式子中，与的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
题型4.二次根式有意义的综合应用
解题技巧：此类题型，需要关注2点：1）被开放数大于等于0；2）分母不能为0.
常见考法：1）与题型；2）根据二次根式有意义的条件，化简绝对值。
1．（2022·广西贺州·八年级期中）若，则等于（ ）
A．－1B．1C．D．0
2．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川绵阳·八年级期中）若a，b为实数，，则_________．
4．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
5．（2022·湖北十堰·八年级阶段练习）已知x满足|2021﹣x|+＝x，那么x﹣20212的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
6．（2022·山东济宁·八年级期中）已知a满足．
(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．
题型5 分母（子）有理化及其运用
1．（2022·北京市第一六一中学八年级期中）阅读材料，然后作答：
在化简二次根式时，有时会碰到形如这一类式子，通常进行这样的化简：
，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：
例如：
请仿照上述方法解决下面问题：（1）分母有理化的结果是 ．
（2）分母有理化的结果是 ．（3）分母有理化的结果是 ．
2．（2022·河南八年级期中）像，，，两个含有二次根式的代数式相乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请先确定下列分母的有理化因式，然后再完成化简与计算．
（1）化简：；（2）计算：．
3．（2022·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：（1）的有理化因式是______；
（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）
（3）______（填或）
（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
4．（2022·山东八年级期中）先阅读，然后完成问题．
（1）阅读：化简．
．
（2）完成下列问题：①与是互为__________关系；②写出的倒数__________；
③比较大小并说明理由：与．
5．（2022·山东烟台·八年级期中）阅读理解题：已知a=，将其分母有理化．
小明同学是这样解答的：a==．
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：(1)计算：；
(2)计算：；(3)若a=，求2a2+8a+1的值．
6．（2022·重庆·八年级期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值．
题型6 二次根式的混合运算
解题技巧：二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
1．（2021·河北沧州市·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·淄博市八年级期末）计算：
（1） （2）
3．（2022·宁波市第七中学八年级期中）计算：
（1）（2）2+﹣ （2）（+﹣）÷
4．（2022·江苏苏州市·八年级期中）计算：
（1）； （2）；
（3） （4）
5．（2022·福建省福州延安中学八年级期中）解答下列各式．
（1）； （2）．
题型7 利用二次根式性质求代数式的值
1．（2022·安徽）已知，求______________．
2．（2022·湖北八年级期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
3．（2022·湖北八年级期末）已知，若，，试求a2+b2+ab的值．
4．（2022·山东八年级期中）已知a＝＋1，b＝﹣1，求下列各式的值．
（1）a2＋2ab＋b2；（2）a2﹣b2
5．（2022·辽宁）已知，，求下列各代数式的值．
（1）．（2）．
6．（2022·广东惠州一中）已知：，，求代数式的值．
题型8 复合二次根式的化简
解题技巧：化简二次根式，关键是要化简出平方（偶次）项来，我们八年级上册学习的完全平方公式能够很好的完成这个任务。因此，在化简二次根式时，我们常用到乘法公式。
1.（2022·四川广安·八年级期末）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即， ，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：(1)填空：______；(2)化简：（请写出计算过程）；
(3)化简：．
2．（2022·湖北随州·八年级期中）阅读下面材料，回答问题：
(1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：
小李的化简如下：
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
(2)请你利用上面所学的方法化简．
(3)计算：．
3．（2022·上海市梅陇中学八年级阶段练习）同学们，我们以前学过完全平方公式，a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧？现在我么又学习了平方根，那么所有的正数和0都可以看作是一个数的平方，比如：2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，02＝0，那么我们利用这种思想方法计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根
解：3﹣2＝2﹣2+1＝（）2﹣2+12＝（﹣1）2
∴3﹣3的算术平方根是﹣1
同学们，你看明白了吗？大胆试一试，相信你能做正确！
(1) (2) (3)++．
4．（2022·河南驻马店·八年级期中）先阅读下列材料，再解决问题．
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．
(1)模仿上例的过程填空：______＝______＝______＝______；
(2)根据上述思路，试将下列各式化简：①；②．
5．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
6．（2022·成都市八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．
题型9 含二次根式的规律探究
解题技巧：规律探究，需要注意每个根式中分子、分母的关系或变化规律。
1．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）
（1）①________；
②__________；
③_________．
（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．
2．（2022·辽宁七年级期中）观察下列各式，发现规律：；；；……则______．
3．（2022·望谟县初二月考）观察下列各式：
＝＝＝2，即＝2
＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．
4．（2022·广东惠州一中）观察下列等式：回答问题：
①
②
③，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想________；
（2）请你找出其中规律，并将第个等式写出来_______．
5．（2022·河南七年级期中）在草稿纸上计算：①；②；③；④．观察计算结果，并用你发现的规律直接写出__________．
6．（2022·河南省初二期中）借助计算器可求得，，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想等于（ ）
A．B．C．D．
题型10 二次根式的应用
1．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·湖南永州·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”，告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即请你利用公式解答下列问题．(1)在△ABC中，已知AB＝4，BC＝6，CA＝8，求△ABC的面积；
(2)计算（1）中△ABC的BC边上的高．
3．（2022·河南安阳·八年级阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
4．（2022·河南许昌·八年级期中）在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202—约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为___________．
(2)四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求该四边形的面积．
5.（2022·甘肃定西·八年级期中）如图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面积记为，观察图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出______．
6．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
题型11 利用二次根式的性质化简
【解题技巧】二次根式的性质：（1）（2）
1．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）．
A．B．C．D．无法确定
2.（2022·福建·福鼎市第四中学八年级阶段练习）计算的值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·河南·辉县九年级阶段练习）在中，若分别为所对的边，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．0
4．（2022·贵州黔西·九年级期末）当时，化简___________．
5．（2022·北京密云·八年级期末）若，则可化简为______________．
6．（2022·山东·德州市八年级期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简∶
解∶隐含条件，解得：
∴
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：
专题16.1 二次根式 重难点题型（11个）
题型1.（最简）二次根式与同类二次根式的识别
解题技巧：最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不
含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式．
【详解】解：是二次根式，符合题意，是三次根式，不合题意，
是二次根式，符合题意，不是二次根式，不合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
2．（2022·云南昭通·八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的定义即可解答．
【详解】解：、是二次根式，故此选项不合题意；
、是二次根式，故此选项不合题意；
、是二次根式，故此选项不合题意；
、，不是二次根式，故此选项符合题意．故答案为D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，一般形如（）的代数式叫做二次根式，正确把握二次根式的定义是解答本题的关键．
3．（2022·山东淄博·八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义判断．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
4．（2022·广西崇左·八年级期中）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．﹣D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即可得出答案 ．
【详解】∵、、是最简二次根式∴A、C、D不符合题意；
∵，∴不是最简二次根式，故选：B．
【点睛】此题主要考查最简二次根式的判断，正确掌握二次根式的定义和化简是解题关键．
5．（2022·上海市罗星中学八年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．；B．；C．；D．．
【答案】C
【分析】各式化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．
【详解】解：A、原式，不符合题意；B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；D、原式，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了同类二次根式，解题的关键是几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式．
6．（2022·广西柳州·八年级期中）下列各式能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别化简各项二次根式，根据同类二次根式的概念判断即可．化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式
【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，故不符合题意；
B选项，，与不是同类二次根式，故不符合题意；
C选项，=3，与不是同类二次根式，故不符合题意；
D选项，=，与是同类二次根式，故该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及同类二次根式的概念，能正确的化简，并掌握好概念是解题的关键．
题型2 利用二次根式的相关概念求参数值
1.（2022·山东烟台·八年级期末）若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．1B．3C．6D．12
【答案】B
【分析】先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．
【详解】解：∵若是整数，则是整数，∴正整数的最小值是3，故选：B．
【点睛】考查了二次根式定义，解题的关键是能够正确的对进行开方化简．
2．（2022·河北邢台·八年级期末）若是二次根式，则a的取值范围是______；若是正整数，则正整数a的最小值是______．
【答案】 3
【分析】根据二次根式被开方数有意义的条件求出a的取值范围，利用正整数的意义得到a的最小值．
【详解】解：∵是二次根式，∴300a≥0，解得a≥0；
∵是正整数，且300a=100×3a，∴整数a的最小值是3，故答案为，3．
【点睛】此题考查了二次根式被开方数有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．（2022·湖北武汉·八年级期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_____．
【答案】3
【分析】根据是整数可知是一个完全平方数，即可得出结果．
【详解】∵是整数，∴可知是一个完全平方数，∴的最小值为16，
当时，解得；故答案为：3
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键在于理解完全平方数．
4．（2022·河北沧州·八年级期中）计算的结果是______．已知最简二次根式与能进行合并，则______．
【答案】 3
【分析】①根据二次根式的加减进行计；②根据最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义即可求解．
【详解】解：①；
②∵最简二次根式与能进行合并，∴．故答案为：①，②3．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，最简二次根式与同类二次根式的定义，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·甘肃平凉·八年级期中）若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
【答案】C
【分析】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴与为同类二次根式，∴，解得：，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x的方程，是解题的关键．
6．（2022·上海市八年级阶段练习）已知最简二次根式和是同类二次根式，则______．
【答案】
【分析】根据同类二次根式定义：两个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根，列出方程组求解，得出a、b值，再代入计算即可．
【详解】银，根据题意，得
，解得：，∴ab=2-1=，故答案为：．
【点睛】本题考查同类二次根式概念，代数式求值，负整理指数幂的运算，解二元一次方程组，熟练掌握同类二次根式概念是解题的关键．
题型3 利用二次根式性质化简符号
【解题技巧】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
1.（2022·山东泰安·八年级期中）化简：________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】】解：∵x＞0，y＞0，∴故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．
2．（2021·四川省成都市八年级月考）化简二次根式得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件可推测，利用积的算术平方根以及商的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来即可．
【详解】∵，∴，∴．故选Ａ．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的意义以及化简方法为解题关键．
3．（2022·浙江八年级）把二次根式化简为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义，先判断a的符号，再将二次根式化简．
【解析】∵﹣＞0，∴a＜0．原式＝．故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，需注意二次根式的非负性：≥0，a≥0．
4．（2021·湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：，解得：x>2，
∴；故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
5．（2022·深圳初二期中）化简二次根式 的结果是（ ）
A．B．－C．D．－
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【解析】
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
6．（2022·温州八年级月考）下列四个式子中，与的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件可得出，可得，由此可将变形得出答案．
【详解】由题意得：，可得，
∴．故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定出．
题型4.二次根式有意义的综合应用
解题技巧：此类题型，需要关注2点：1）被开放数大于等于0；2）分母不能为0.
常见考法：1）与题型；2）根据二次根式有意义的条件，化简绝对值。
1．（2022·广西贺州·八年级期中）若，则等于（ ）
A．－1B．1C．D．0
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
∵，∴，∴，
∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，乘方，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．
【详解】解：由题意可得：2n-5=5-2n=0，∴m=0+0+2=2，
∴n-m=故选A．
【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．
3．（2022·四川绵阳·八年级期中）若a，b为实数，，则_________．
【答案】4
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【详解】解：由题意可知：，，解得：，，
，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数．
4．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
5．（2022·湖北十堰·八年级阶段练习）已知x满足|2021﹣x|+＝x，那么x﹣20212的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，然后去绝对值化简即可得出答案．
【详解】解：∵x−20220，∴x2022，∴2021−x＜0，
∴原式变形为x−2021＋＝x，∴＝2021，
两边平方得：，∴．故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和化简绝对值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6．（2022·山东济宁·八年级期中）已知a满足．
(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；
（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．
（1）解：∵有意义，∴，∴，
∴，∴；故答案为：；；
（2）∵，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．
题型5 分母（子）有理化及其运用
1．（2022·北京市第一六一中学八年级期中）阅读材料，然后作答：
在化简二次根式时，有时会碰到形如这一类式子，通常进行这样的化简：
，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：
例如：
请仿照上述方法解决下面问题：（1）分母有理化的结果是 ．
（2）分母有理化的结果是 ．（3）分母有理化的结果是 ．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把分子1变形为，然后用平方差公式分解因式即可求的答案；
（2）把分子2变形为，然后用平方差公式分解因式即可求的答案；
（3）把分子变形为，然后用平方差公式分解因式即可求的答案．
【详解】解：（1），故答案为：；
（2），故答案为：；
（3），故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，把分子变形为平方差的形式再用平方差公式分解因式是解决本题的关键．
2．（2022·河南八年级期中）像，，，两个含有二次根式的代数式相乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请先确定下列分母的有理化因式，然后再完成化简与计算．
（1）化简：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分子分母同时乘，进行有理化，然后化简即可；
（2）对式子分别进行有理化，然后计算即可．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
【点睛】此题主要考查了二次根式分母有理化，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
3．（2022·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：（1）的有理化因式是______；
（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）
（3）______（填或）
（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2020
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；（2）利用分母有理化计算；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到，，然后进行比较大小；
（4）先根据规律，化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）的有理化因式是，故答案为：；
（2）∵，故答案为：；
（3）∵，，
而，
∴>，
∴<，故答案为：<
（4）解：原式
【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．（2022·山东八年级期中）先阅读，然后完成问题．
（1）阅读：化简．
．
（2）完成下列问题：①与是互为__________关系；②写出的倒数__________；
③比较大小并说明理由：与．
【答案】（2）①倒数；②；③，理由见解析
【分析】（2）①根据（1）的结论和倒数的定义解答即可；
②根据（1）的结论和倒数的定义解答即可；
③根据（1）的结论，比较它们倒数的大小即可求解；
【详解】解：（2）①由（1）知，，
∴与是互为倒数关系 故答案为：倒数；
②由（1）知，=，
∴的倒数是：， 故答案为：；
③解：，
，
由于，，
，
．
【点睛】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．也考查了倒数、实数的大小比较．
5．（2022·山东烟台·八年级期中）阅读理解题：
已知a=，将其分母有理化．
小明同学是这样解答的：
a==．
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
(1)计算：；(2)计算：；
(3)若a=，求2a2+8a+1的值．
【答案】(1)(2)(3)3
【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
（1）解：=；
（2）原式=-1+++…+=；
（3）∵a===，
∴a+2=，∴（a+2）2=5，即a2+4a+4=5，
∴a2+4a=1，∴2a2+8a+1=2（a2+4a）+1=2×1+1=3．
【点睛】本题考查了分母有理化的应用，正确变形和运用整体思想是解此题的关键．
6．（2022·重庆·八年级期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）的最大值为．
【分析】（1）利用分母有理化得到， ，利用可判断 ；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到，由于x=0时，有最小值1，从而得到y的最大值．
【详解】解：（1），
，
而，，，；
（2）由，，可知x≥0，
，
当时，有最小值1，则有最大值，
所以的最大值为．
【点睛】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
题型6 二次根式的混合运算
解题技巧：二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
1．（2021·河北沧州市·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的减法运算、二次根式的乘除法运算、二次根式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，故本选项错误；B、 ，故本选项错误；
C、 ，故本选项错误；D、，故本选项正确；故选D
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
2．（2022·淄博市八年级期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再合并，即可求解；
（2）先利用完全平方公式计算，在计算除法即可．
【详解】解：（1）
．
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．
4．（2022·宁波市第七中学八年级期中）计算：
（1）（2）2+﹣ （2）（+﹣）÷
【答案】（1）20；（2）
【分析】（1）先算乘方，开方，再算加减法；
（2）先化简括号内的部分，再将括号展开，计算除法．
【详解】解：（1）
=
=20；
（2）
=
=
=
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，在运算过程中注意运算顺序和简便运算方法的运用．
5．（2022·江苏苏州市·八年级期中）计算：
（1）； （2）；
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据二次根式的性质、平方差公式和二次根式的除法公式计算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的乘法公式计算即可；
（3）根据二次根式的性质、立方根的定义、乘方的意义和绝对值的性质计算即可；
（4）根据二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可．
【详解】解：（1）=
==
（2）====
（3）==
（4）=
==
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的乘法公式、二次根式的除法公式和合并同类二次根式法则是解题关键．
6．（2022·福建省福州延安中学八年级期中）解答下列各式．
（1）； （2）．
【答案】（1）4+；（2）3﹣3
【分析】（1）根据二次根式的除法、乘法法则及二次根式的性质计算、化简，再计算加减即可；
（2）先利用二次根式的性质计算、化简、同时计算零指数幂，再计算加减即可．
【详解】解：（1）原式＝，
＝，
＝4+；
（2）原式＝2﹣3+1
＝3﹣3．
【点睛】本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式加减乘除混合运算法则.
题型7 利用二次根式性质求代数式的值
1．（2022·安徽）已知，求______________．
【答案】4
【分析】由题意，先求出和的值，然后相加，即可得到答案．
【详解】解：∵，∴；
；∴；故答案为：4．
【点睛】本题考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
2．（2022·湖北八年级期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
（2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得．
【详解】解：（1）原式，
当时，原式．
（2）∵，，
∴，
，
原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy＝（2）2﹣1＝12﹣1＝11．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
3．（2022·湖北八年级期末）已知，若，，试求a2+b2+ab的值．
【答案】3x+y，15
【分析】根据题意求出x与y的值，然后根据完全平方公式以及平方差公式进行化简，然后将x与y代入原式即可求出答案．
【详解】解：∵有意义
∴且∴x＝4，∴y＝3，
∵，，
∴
把x＝4，y＝3代入上式中原式
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求解，完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
4．（2022·山东八年级期中）已知a＝＋1，b＝﹣1，求下列各式的值．
（1）a2＋2ab＋b2；（2）a2﹣b2
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）根据a、b的值，可以得到a+b的值，然后根据完全平方公式即可得到所求式子的值；
（2）根据a、b的值，可以得到a-b、a+b的值，然后根据平方差公式即可得到所求式子的值．
【详解】解：（1）∵a＝＋1，b＝-1，
∴原式=（a+b）2===8；
（2）∵a＝＋1，b＝-1，∴a-b=2，a+b=，∴a2-b2=（a-b）（a+b）=
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
5．（2022·辽宁）已知，，求下列各代数式的值．
（1）．（2）．
【答案】（1）；（2）19
【分析】先计算出a＋b＝，a−b＝4，ab＝3，再利用乘法公式得到a2−b2＝（a＋b）（a−b）；a2−ab＋b2＝（a−b）2＋ab，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，，∴，，，
（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．
6．（2022·广东惠州一中）已知：，，求代数式的值．
【答案】4
【分析】将a、b的值代入原式=ab（a-b）计算可得．
【详解】解：当，时，
原式=ab（a-b）===4
【点睛】本题主要考查整式的变形和二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
题型8 复合二次根式的化简
解题技巧：化简二次根式，关键是要化简出平方（偶次）项来，我们八年级上册学习的完全平方公式能够很好的完成这个任务。因此，在化简二次根式时，我们常用到乘法公式。
1.（2022·四川广安·八年级期末）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即， ，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：(1)填空：______；(2)化简：（请写出计算过程）；
(3)化简：．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1；
（2）将转化为：，即可求解；
（3）先把各项中分母的无理式变成 的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解．
（1）解：在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3即，∴=；故答案为：；
（2）原式．
（3）原式
．
【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，分母有理化．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
2．（2022·湖北随州·八年级期中）阅读下面材料，回答问题：
(1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：
小李的化简如下：
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
(2)请你利用上面所学的方法化简．
(3)计算：．
【答案】(1)小李化简正确，小张的化简结果错误，理由见解析 (2) (3)-2
【分析】（1）根据的性质来进行判定得出答案；
（2）将被开方数转化为完全平方式，从而得出答案．
（3）将被开方数转化为完全平方式，进而根据二次根式的加减进行计算即可求解．
（1）解：小李化简正确，小张的化简结果错误．
；∴小李化简正确，小张的化简结果错误．
（2）；
（3）．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简，解决本题的关键就是将整数转化为两个实数的平方和，从而得出完全平方式．
3．（2022·上海市梅陇中学八年级阶段练习）同学们，我们以前学过完全平方公式，a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧？现在我么又学习了平方根，那么所有的正数和0都可以看作是一个数的平方，比如：2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，02＝0，那么我们利用这种思想方法计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根
解：3﹣2＝2﹣2+1＝（）2﹣2+12＝（﹣1）2
∴3﹣3的算术平方根是﹣1
同学们，你看明白了吗？大胆试一试，相信你能做正确！
(1)
(2)
(3)++．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照例题直接利用完全平方公式开平方得出即可；
（2）利用（1）中所求代入（2）进而得出答案；
（3）仿照例题分别化简各二次根式，进而求出即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
；
（3）
，
，
，
，
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
4．（2022·河南驻马店·八年级期中）先阅读下列材料，再解决问题．
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．
(1)模仿上例的过程填空：______＝______＝______＝______；
(2)根据上述思路，试将下列各式化简：
①；
②．
【答案】(1)；；；
(2)①；②
【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可；
（2）①根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可；
②根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可．
（1）
解：；
（2）
解：①
②
【点睛】本题主要考查完全平方公式和二次根式的性质，熟练应用完全平方公式是解题的关键．
5．（2022·福建八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【详解】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
6．（2022·成都市八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，再利用对应值相等即可用m、n表示出a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵，
则．
【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键.
题型9 含二次根式的规律探究
解题技巧：规律探究，需要注意每个根式中分子、分母的关系或变化规律。
1．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）
（1）①________；
②__________；
③_________．
（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．
【答案】（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．
【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；（2）根据题意找到规律，并用式子表示．
【详解】解：（1），，
∴＞，
，，
∴＞，，，
∴=，故答案为：＞，＞，=；
（2）由题意可得：设两个实数a、b，则．
通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．
2．（2022·辽宁七年级期中）观察下列各式，发现规律：；；；……则______．
【答案】
【分析】根据所给的等式找出规律，再进行解答即可.
【详解】，
，
，
……，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类找规律，发现规律是解题的关键．
3．（2022·望谟县初二月考）观察下列各式：
＝＝＝2，即＝2
＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．
【答案】n．
【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第n个等式，写出推导过程即可．
【解析】解：＝n．故答案为：n．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
4．（2022·广东惠州一中）观察下列等式：回答问题：
①
②
③，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想________；
（2）请你找出其中规律，并将第个等式写出来_______．
【答案】 =
【分析】（1）由前面的三个等式猜想结果；（2）根据观察，可得规律．
【详解】解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想：
==；
（2）观察可知：=．
【点睛】本题考查了算术平方根，观察等式发现规律是解题关键．
5．（2022·河南七年级期中）在草稿纸上计算：①；②；③；④．观察计算结果，并用你发现的规律直接写出__________．
【答案】21
【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律，以此类推可的结果．
【详解】解：①；②；③；
④，……
∴，
∴，故答案为：21．
【点睛】此题考查了算术平方根与数字的变化规律，考查了学生的分析，总结归纳的能力，要会从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题．
6．（2022·河南省初二期中）借助计算器可求得，，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可．
【解析】解：∵，，，……
∴=．故选：D．
【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．
题型10 二次根式的应用
1．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：由三角形的面积公式可得所求高为：
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
2.（2022·湖南永州·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”，告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即请你利用公式解答下列问题．(1)在△ABC中，已知AB＝4，BC＝6，CA＝8，求△ABC的面积；
(2)计算（1）中△ABC的BC边上的高．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由△ABC三边长求出p的值，再将△ABC的三边长及p的值代入公式中计算即可求出面积；
（2）根据三角形面积公式，结合△ABC的面积及BC的长，求出BC边上的高即可．
（1）解：在△ABC中，AB＝4，BC＝6，CA＝8，∴p＝，则；
（2）设△ABC的BC边上的高为h，则，即，解得：，即△ABC的BC边上的高为．
【点睛】此题考查了二次根式的应用以及三角形面积公式，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键．
3．（2022·河南安阳·八年级阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】(1)米；(2)元．
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可．
（1）解：长方形ABCD的周长（米），
答：长方形ABCD的周长是米；
（2）解：通道的面积
（平方米），
购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费元．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
4．（2022·河南许昌·八年级期中）在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202—约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为___________．
(2)四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求该四边形的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意直接将三边长代入海伦—秦九韶公式即可求得答案；
（2）根据题意分别计算△ABC的面积和△ACD的面积进而相加即可得出四边形的面积．
(1)解：由海伦—秦九韶公式可得三边长分别为3、6、7的三角形面积为：
，；
(2)连接AC，如图，
∵四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，∴AC=5，∴△ABC的面积=×3×4＝6，
∵，∴△ACD的面积=，
∴四边形ABCD的面积为：.
【点睛】本题考查二次根式的应用，解题的关键是根据三角形的面积公式进行解答．
5.（2022·甘肃定西·八年级期中）如图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面积记为，观察图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出______．
【答案】
【分析】根据题中给出的规律即可得出结论；
【详解】解：根据题意，
∵OAn2=n，∴OA100=
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，图形的变化规律，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图形的变化规律进行解题．
6．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
【答案】
【分析】利用长方形的周长公式列出代数式并求值；利用等量关系另一个正方形的面积=这个长方形的面积列出等式并计算．
【详解】解：∵，．
长方形的周长=2×(+)= 2×(+)=12；
长方形的面积===24，
根据面积相等，则正方形的边长==．
故答案为：；．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式．
题型11 利用二次根式的性质化简
【解题技巧】二次根式的性质：（1）（2）
1．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）．
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据点在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．
【详解】解：∵由图可知：，∴，，
∴原式，故选：A．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
2.（2022·福建·福鼎市第四中学八年级阶段练习）计算的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用即可求解．
【详解】解：，故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握运算法则．
3.（2022·河南·辉县九年级阶段练习）在中，若分别为所对的边，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】根据三角形三边的关系和二次根式的性质进行化简求解即可．
【详解】解：∵分别为所对的边，
∴，
∴原式，故选A．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系和二次根式的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
4．（2022·贵州黔西·九年级期末）当时，化简___________．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式，结合二次根式的性质化简，再根据绝对值的意义，去绝对值，计算即可．
【详解】解：，
∵，∴，，∴原式．故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质与化简、绝对值的意义，正确化简二次根式是解题关键．
5．（2022·北京密云·八年级期末）若，则可化简为______________．
【答案】##
【分析】结合，根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．（2022·山东·德州市八年级期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简∶
解∶隐含条件，解得：
∴
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：
【答案】（1）1；（2）；（3）．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a，b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形的三边关系得出，，，再利用二次根式的性质化简可得．
【详解】解：（1）隐含条件 ，解得：
∴
∴原式；
（2）观察数轴得隐含条件：，，
∴，
∴原式；
（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：
，，，
∴，，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质 及三角形的三边关系等知识点．