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人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练专题19.1一次函数重难点题型13个(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练专题19.1一次函数重难点题型13个(原卷版+解析)，共57页。试卷主要包含了下列函数等内容，欢迎下载使用。
解题技巧：1）判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2）判断正比例函数，需关于x，y的关系式满足：y=kx（k≠0），只要与这个形式不同，即不是正比例函数。
3）一次函数必须满足y=kx+b（k≠0）的形式，其中k不为0的任意值。
1．（2022·绵阳市·八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
3．（2022·福建·莆田擢英中学八年级期中）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积和它的半径； B．长方形的面积一定时，它的长和宽；
C．正方形的周长与边长； D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高．
5．（2022·河北邢台·八年级期末）若一次函数是正比例函数，则______，此时的比例系数是______．
6．（2022·河北·雄县第一初级实验中学八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的正比例函数的有______个．
题型2 函数值与自变量的取值范围
解题技巧：函数的取值范围考虑两个方面：1）自变量的取值必须要使函数式有意义；2）自变量的取值必须符合实际意义。
1．（2022·北京九年级专题练习）下列函数中，自变量取值范围错误的是（ ）
A． B． C．为任意实数） D．
2．（2022·上海市九年级期中）函数的定义域是________．
3．（2022·河南汝阳·八年级期末）当时，函数的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·南宁市八年级期中）已知一次函数，当时，的值是（ ）
A．2B．-2C．1D．0
5．（2022·吉林南关·八年级期末）已知函数，当函数值为0时，的值为______．
6．（2022·全国八年级专题练习）已知一次函数
（1）若自变量的范围是，求函数值的范围．
（2）若函数值的范围是，求自变量的范围．
题型3 一次函数图象与性质综合
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）若正比例函数图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象过一、三象限 B．函数图象过点
C．函数值随自变量的增大而增大 D．函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是
2．（2022·河北唐山·八年级期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条射线B．图象必经过点（-1，2）
C．图象经过第一、三象限D．随的增大而减小
3．（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象与x轴交点为（1，0）B．图象经过第一、二、三象限
C．当时，D．y随x的增大而增大
4．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限
C．当时， D．它的图象必经过点（-1，2）
5．（2022·云南文山·八年级期末）如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（ ）
A．，
B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则
C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为
D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为
6．（2022·山东·惠民县石庙镇第一中学八年级期中）下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．图像经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小
C．图像与y轴交于x轴上方D．当时，
题型4 一次函数过象限问题
解题技巧：一次函数的过象限问题，与k和b都有关。k＞0过一三象限，k＜0过二四象限，b＞0过一二象限，b＜0过三四象限。
1．（2022·广西贵港·八年级期末）已知一次函数的图象经过过一、二、四象限，那么，的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2022·云南红河·八年级期末）函数经过第一、二、四象限，则在第______象限．
3．（2022·江西新余·八年级期末）当直线y＝（1－k）x－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是____．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）写出一个图象经过第一、二、四象限的一次函数的表达式______．
5．（2022·上海·位育中学八年级期中）一次函数，y随着x的增大而减小，且，则该函数的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．
6．（2022·河南·商水县八年级期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
题型5 一次函数的增减性
解题技巧：一次函数的增减性与正比例的增减性一致，即增减性只与k有关，与b无关。
= 1 \* GB3 ①当k＞0时，函数向上趋势，y随x的增大而增大； = 2 \* GB3 ②当k＜0时，函数向下趋势，y随x的增大而减小。
1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知正比例函数，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·山东德州·八年级期末）下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南娄底·八年级期末）一次函数中，若随的增大而增大，则的取值范围是________．
4．（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）请写出一个一次函数，满足条件：（1）y随x的增大血减小；（2）经过点（2，-1），结果是_________
5．（2022·福建福州·八年级期中）一次函数中，函数值y随着自变量x值的增大而______．
6．（2022·河南商丘·八年级期末）已知函数y＝﹣2x+b，当﹣2≤x≤0时，函数y的最大值为﹣3，则b＝_____．
题型6 一次函数的增减性（比大小问题）
解题技巧：一次函数的增减性与正比例的增减性一致，即增减性只与k有关，与b无关。
= 1 \* GB3 ①当k＞0时，函数向上趋势，y随x的增大而增大； = 2 \* GB3 ②当k＜0时，函数向下趋势，y随x的增大而减小。
1．（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知点，在正比例函数的图象上，且当时，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖北十堰·八年级期末）点A和点B都在直线y＝﹣2x+b上，则和的大小关系是（ ）
A． B．C．D．不能确定
3．（2022·湖北武汉·八年级期末）一次函数的图像上有三个点，，，据此可以判断，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·福建·闽侯县实验中学八年级期中）若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＜0C．a＜1D．a＞1
5．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南新乡·八年级期末）已知点，在一次函数的图象上，若，则实数m的取值范围是______．
题型7 一次函数图象判断
解题技巧：一次函数经过哪几个象限由k和b共同决定，切勿记忆，而是画草图分析。
= 1 \* GB3 ①k反映了函数上升（下降）的趋势，k＞0，函数上升；k＜0，函数下降
= 2 \* GB3 ②b反映了与y轴的交点，b＞0，交于y轴正半轴；b＜0，交于y轴负半轴
= 3 \* GB3 ③k还可以反映函数的陡峭程度，k越大，则函数越陡峭
1．（2022·四川泸州·八年级期末）正比例函数的函数值y随着x增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·洛阳市第二外国语学校八年级期中）当时，y与x之间的函数解析式为，当时，y与x之间的函数解析式为，则在同一直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图像是( )
A．B．C．D．
4．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，在M、N、P、Q四个点中，一次函数y＝kx+b，若b＝﹣3，k＞0，则图象不可能经过的点是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
5．（2022·江西赣州·八年级期末）下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（ ）．
A．B．C．D．
6．（2022·山东菏泽·八年级期末）函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
题型8 一次函数图象的变换（平移与对称）
解题技巧：“上加下减”——针对y的平移；“左加右减”——针对x的平移，是对x整体的变化。
1．（2022·江西·八年级期末）若直线向左平移5个单位长度，则得到的直线解析式为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖南绥宁·八年级期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝3x平移后得到直线l2：y＝3x＋2，则下列平移的做法正确的是（ ）
A．将l1向左平移2个单位B．将l1向右平移2个单位
C．将l1向上平移2个单位D．将l1向下平移2个单位
3．（2022·沈阳市第七中学九年级开学考试）平面直角坐标系中，将直线向右平移1个单位长度得到的直线解析式是，则原来的直线解析式是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·甘肃·金昌市第五中学八年级期中）将直线向下平移_________个单位长度后得到的直线解析式是．
5．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）将直线L：向下平移3个单位，得到的直线应为______，直线L关于y轴对称的直线为______．
6．（2022·陕西榆林·八年级期中）已知一次函数的图象与x轴，y轴交于点A、B．
(1)若将此函数图象沿x轴向右平移2个单位后经过原点，求b的值；
(2)若函数图象与一次函数的图象关于y轴对称，求k、b的值．
题型9 求一次函数解析式（待定系数法）
解题技巧：1) 点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
3) 点+平行:已知直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2平行，则两个函数的待定系数相同，即k1=k2。求直线l2的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出b2的值即可。
4)点+垂直:已知直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2垂直，则两个函数的待定系数乘积为－1，即k1k2=−1。求直线l2的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出b2的值即可。
1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y与x的函数解析式为________．
2．（2022·重庆永川·八年级期末）已知一次函数的图象经过点A（－2，3）和点B（4，－1），则这个一次函数的解析式为_____．
3．（2022·湖南岳阳·八年级期末）把直线向上平移后得到直线l，直线l经过点（m，n），且，则直线l的解析式是___________．
4．（2022·成都市初二期中）若直线经过点，且与直线垂直，则直线的函数表达式是______.
5．（2022·常州市月考）如图，直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，点M是OB上一点，若直线AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，则直线AM的解析式是_____．
6．（2022·江西赣州·八年级期末）已知一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与x轴交于点A．(1)画出函数的图象；(2)求一次函数的解析式；(3)求A的坐标．
题型10一次函数与一次方程（组）
解题技巧：一次函数与x轴交点的横坐标即为对应一元一次方程的解。
注： = 1 \* GB3 ①若一元一次方程不是一般式，需先化简为一般式，在与一次函数对应；
= 2 \* GB3 ②若一元一次方程的一般式与已知的一次函数不能对应时，有2种方法
方法一：若方程kx+b=c（c≠0）时，同样可以利用一次函数与一元一次方程的关系，此刻，一元一次方程的解为一次函数y=c时的横坐标；
方法二：若方程与一次函数对应关系不明显时，我们需要先将函数进行平移等变换，将一次函数或一元一次方程变换为对应形式，在通过图形读出方程的解。
1．（2022·广西·梧州市第十中学八年级期中）如图，若直线：与直线：相交于点P，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖北鄂州·八年级期末）已知点在直线（k，b为常数，且）上，则关于x的方程的解是_____．
3．（2022·山东烟台·七年级期中）两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________．
4．（2022·贵州黔西·二模）如图，平面直角坐标系中，经过点B(﹣4，0)的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点，则关于x的方程mx+2＝kx+b的解为________．
5．（2022·广东中山·八年级期末）若直线与的交点在第一象限，则b的值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．
6．（2022·内蒙古准格尔旗·八年级期末）若直线经过直线与的交点，则b的值为____________．
题型11 一次函数中的三角形面积问题
解题技巧：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△OAB为直角三角形。三角形的面积=12×OA×OB。利用题干告知的面积和A（B）点的坐标，可求出OB（OA）的长度，从而求出B（A）点的坐标。转化为已知两点求解析式的问题，利用待定系数法解决。
注：在利用面积求出直角三角形的边长，在将边长转化为点的坐标时，若点在坐标轴的负半轴上，则点的坐标需添加负号。
1．（2022·山东青州·八年级期末）设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（ ）
A．B．C．1D．3
2．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，点A，B，C在一次函数y＝－2x＋b的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．1B．3C．3（b－1）D．
3．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知一次函数与的图像都经过，且与轴分别交于点、，则的面积为 _____．
4．（2022·陕西临潼·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
5．（2022·静宁县阿阳实验学校八年级期末）已知一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使的面积为2，求点P的坐标．
6．（2022·广东揭阳·八年级期末）已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．
(1)求a，b的值；(2)方程组的解为 ．(3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型12 一次函数的实际应用
【解题技巧】
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
1．（2022·湖南常德·八年级期末）某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．
2．（2022·江西南昌·八年级期末）某种子站销售一种玉米种子，单价为5元千克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款金额（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求与之间的的函数关系式：（2）徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？
3．（2022·四川金牛·七年级期末）已知、两地相距米，甲、乙两人同时从地出发前往地，出发分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题：（1）求甲的速度为多少米/分？（2）求乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式？（3）在甲到达地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距米？
4．（2022·陕西安康·八年级期末）为促进复工复产，调动消费积极性，两个商场分别推出了如下促销活动．
甲商场：所有商品按标价9折出售．
乙商场：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打8折．
设需要购买商品的原价总额为元，去甲商场购买应付元，去乙商场购买应付元，其函数图象如图所示．(1)分别求、与的函数关系式．(2)两图象交于点，请求出点坐标，并说明点的实际意义．
(3)黄老师准备去商场购物，请你建议黄老师选择去哪个商场购物更划算．
5．（2022·河南平顶山市·八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．
6．（2022·浙江杭州市·八年级期中）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
题型13一次函数与一元一次不等式
解题技巧：1）不等式中的“＜a”，反映在函数图像上，即图像在函数值y在a的下面部分x的取值范围；
2）若两个不等式比较大小，如y1＞y2，反映在图像上为l1的图像在l2的图像上面部分x的取值范围。
注：在读不等式的解集时，需要尤其注意是否能够取得等号。
1．（2022·广东·深圳八年级期末）一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则关于x的不等式mx﹣n＜0的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞3D．x＜3
2．（2022·海南·八年级期末）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南南阳·八年级期末）如图所示，一次图数y＝－x＋3与一次函数y＝2x＋m图象交于点（2，n），则关于x的不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·陕西榆林·八年级期末）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·贵州毕节·八年级期末）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：
①；②，；③当时，；④不等式的解集是
其中正确的结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2022·陕西·西安八年级期末）如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
专题19.1 一次函数 重难点题型13个
题型1 函数与一次（正比例）函数的识别
解题技巧：1）判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2）判断正比例函数，需关于x，y的关系式满足：y=kx（k≠0），只要与这个形式不同，即不是正比例函数。
3）一次函数必须满足y=kx+b（k≠0）的形式，其中k不为0的任意值。
1．（2022·绵阳市·八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据一次函数（ k、b为常数，）的定义解答即可．
【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③=3，没有自变量，不是一次函数；
④，自变量次数不为1，故不是一次函数；⑤，自变量次数不为1，故不是一次函数．
综上所述，是一次函数的有2个．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．
2．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答案．
【详解】解：由题意可得，m-1≠0，∴m=-1，故选A
【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键．
3．（2022·福建·莆田擢英中学八年级期中）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义进行判断即可．
【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，故B，C，D不符合题意；
选项A的图象，给一个x值，y有两个值对应的情况，不能表示y是x的函数，故A符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的定义，准确地掌握函数的定义是解决问题的关键．
4．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积和它的半径； B．长方形的面积一定时，它的长和宽；
C．正方形的周长与边长； D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高．
【答案】C
【分析】先列出函数关系式，然后再根据正比例函数的定义即可解答．
【详解】解：A、圆的面积S=πr2，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
B、长方形的面积S一定时，它的长a和宽b的关系S=ab，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
C.正方形的周长C=边长×4=4a，是正比例函数，故此选项符合题意；
D. 三角形的面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系S=ah，不是正比例函数，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
5．（2022·河北邢台·八年级期末）若一次函数是正比例函数，则______，此时的比例系数是______．
【答案】 0
【分析】根据正比例函数的概念解答即可．
【详解】解：∵一次函数是正比例函数
∴b=0，即y=-2x∴比例系数为-2．故答案为：0，-2．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，形如y=kx（k≠0）的函数为正比例函数，k为比例系数．
6．（2022·河北·雄县第一初级实验中学八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的正比例函数的有______个．
【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】①是正比例函数，符合要求；②是一次函数，不符合要求；
③是反比例函数，不符合要求，④是二次函数，不符合要求，
⑤是正比例函数，符合要求；则是正比例函数的有2个，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义．正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数，也可以是分数．
题型2 函数值与自变量的取值范围
解题技巧：函数的取值范围考虑两个方面：1）自变量的取值必须要使函数式有意义；2）自变量的取值必须符合实际意义。
1．（2022·北京九年级专题练习）下列函数中，自变量取值范围错误的是（ ）
A． B． C．为任意实数） D．
【答案】D
【分析】根据函数的特点，意义求出函数自变量的取值范围进行比较即可．
【详解】解：的自变量的取值范围为2x-1≠0，即，故选项A正确；
的自变量的取值范围为1-x≥0，即，故选项B正确；
的自变量的取值范围为为任意实数，故选项C正确；
的自变量的取值范围为x-10，即．故选项D不正确；故选：．
【点睛】本题考查函数自变量取值范围，掌握求函数自变量取值范围的方法是解题关键．
2．（2022·上海市九年级期中）函数的定义域是________．
【答案】
【分析】根据分母是二次根式，则要求被开方数为正数，即可求得函数的定义域．
【详解】解：由题意知：∴故答案为：
【点睛】本题考查了求函数的自变量的取值范围即函数的定义域，一般考虑两个方面：一是分母不为零；二是二次根式非负．
3．（2022·河南汝阳·八年级期末）当时，函数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将代入函数解析式即可求得．
【详解】当时，故选B
【点睛】本题考查了已知自变量的值，求函数的值，正确的计算是解题的关键．
4．（2022·南宁市八年级期中）已知一次函数，当时，的值是（ ）
A．2B．-2C．1D．0
【答案】A
【分析】把代入解析式即可求得的值．
【详解】解：把时代入一次函数，得到：．故选：．
【点睛】本题考查了求一次函数的值，将已知自变量的值代入一次函数，化作代数式求值的问题．
5．（2022·吉林南关·八年级期末）已知函数，当函数值为0时，的值为______．
【答案】
【分析】令y＝0，则−5x＋2＝0，解之可得x的值．
【详解】解：∵函数值为0，∴y＝0，即−5x＋2＝0，解得x＝．故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明白函数值为0，即y＝0．
6．（2022·全国八年级专题练习）已知一次函数
（1）若自变量的范围是，求函数值的范围．
（2）若函数值的范围是，求自变量的范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先用y的代数式表示x，即，然后由，得到，解不等式组即可； （2）由得到，解不等式组，即可得出自变量x的取值范围．
【详解】解：（1）∵，又
∴∴即且解得：
（2）∵∴解得：．
【点睛】此题主要考查了一次函数解析式的变形，同时考查了解不等式组的方法，同学们要熟练掌握．
题型3 一次函数图象与性质综合
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）若正比例函数图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象过一、三象限 B．函数图象过点
C．函数值随自变量的增大而增大 D．函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是
【答案】D
【分析】设正比例函数为，待定系数法求得解析式，根据解析式以及正比例函数的性质即可判断各选项即可求解．
【详解】解：正比例函数图象过点，设正比例函数为，
则解得正比例函数的解析式为
，函数图象经过二、四象限，故A选项不正确，
当时，，则函数图象经过点，故B选项不正确，
，则函数值随自变量的增大而减小，故C选项不正确，
函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是，即，故D选项正确，故选D．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的平移，待定系数法求解析式，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022·河北唐山·八年级期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条射线B．图象必经过点（-1，2）
C．图象经过第一、三象限D．随的增大而减小
【答案】D
【分析】根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】解：A．正比例函数的图象是一条直线，故A错误；
B．当时，，∴图象不经过点（-1，2），故B错误；
C．∵，∴图象经过第二、四象限，故C错误；
D．∵，∴随的增大而减小，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．
3．（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象与x轴交点为（1，0）B．图象经过第一、二、三象限
C．当时，D．y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质以及图像上的点的坐标特征对各个选项进行判断即可．
【详解】A：当y=0时，x=2，即图象与x轴交点为（2，0），故错误，不符合题意；
B：，则图象经过第一、二、四象限，故错误，不符合题意；
C：，则图像随x增大而减小，当y=0时，x=2，则当时，，故正确，符合题意；
D：，则图像随x增大而减小，故错误，不符合题意．故选：C
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟知，当k<0时，y随x的增大而减小，当k>0时，y随x的增大而增大时关键．
4．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限
C．当时， D．它的图象必经过点（-1，2）
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵-2＜0，1＞0，
∴A的值随值的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
B、它的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，，所以当时，，故本选项正确，符合题意；
D、当时，，它的图象必经过点（-1，3），故本选项错误，不符合题意；故选：C
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2022·云南文山·八年级期末）如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（ ）
A．，
B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则
C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为
D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为
【答案】B
【分析】根据一次函数图象的性质和平移的规律逐项分析即可．
【详解】解：A.由图象可知，，，故正确，不符合题意；
B. ∵-1<2，y随x的增大而减小，∴，故错误，符合题意；
C. ∵点(2，0)在直线l上，∴y=0时，x=2，∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意；
D. 将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为+b-b=kx，故正确，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数的平移，熟练掌握性质和平移的规律是解答本题的关键．
6．（2022·山东·惠民县石庙镇第一中学八年级期中）下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．图像经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小
C．图像与y轴交于x轴上方D．当时，
【答案】D
【分析】根据一次函数系数与图像的关系，画出图像，然后逐个分析每个选项，最后得出答案．
【详解】根据题意画出函数图像如图：
由图像可知：A图像经过一、二、四象限，所以选项正确
B由图像可知y随x的增大而减小，选项正确
C图像与y轴的交点坐标为(0，b)，因为b0，所以交点在y轴正半轴，在x轴的上方，选项正确
D∵x，k0∴kx-b∴kx+b-b+b∴kx+b0 ∵y=kx+b∴y0选项错误 故选D．
【点睛】本题考查了一次函数图像，掌握和熟练使用相关知识，使用数形结合的方法，结合函数图像是本题的解题关键．
题型4 一次函数过象限问题
解题技巧：一次函数的过象限问题，与k和b都有关。k＞0过一三象限，k＜0过二四象限，b＞0过一二象限，b＜0过三四象限。
1．（2022·广西贵港·八年级期末）已知一次函数的图象经过过一、二、四象限，那么，的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】由一次函数的图像经过过一、二、四象限可得：＜且＞从而可得答案．
【详解】解：因为一次函数的图象经过过一、二、四象限，
所以：＜且＞ 所以：，，故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像的性质，同时考查一元一次不等式的解法，掌握一次函数的图像的性质是解题的关键．
2．（2022·云南红河·八年级期末）函数经过第一、二、四象限，则在第______象限．
【答案】四
【分析】根据函数与象限的关系，判断出 的取值范围，即可得出答案．
【详解】如图，因为函数经过第一、二、四象限，所以 ，则M点在第四象限 故答案为四
【点睛】本题考查一次函数的图像及象限的定义，熟练掌握一次函数与象限的关系为关键，画出图形可以更直观得出答案．
3．（2022·江西新余·八年级期末）当直线y＝（1－k）x－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是____．
【答案】k＞1
【分析】根据直线经过的象限与一次函数系数的关系，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可．
【详解】当x=0时，y=－3．
∴直线y=（1－k）x－3经过．
∵直线y=（1－k）x－3经过第二、三、四象限，
∴．∴k＞1．故答案为：k＞1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．当k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）写出一个图象经过第一、二、四象限的一次函数的表达式______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】据一次函数图象经过的象限可得一次函数的一次项系数小于0，常数项大于0，由此即可得出答案．
【详解】解：因为一次函数图象经过第一、二、四象限，
所以这个一次函数的一次项系数小于0，常数项大于0，
所以符合条件的一次函数的表达式为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．
5．（2022·上海·位育中学八年级期中）一次函数，y随着x的增大而减小，且，则该函数的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．
【答案】A
【分析】由y随x的增大而减小，可得k＜0，由kb＞0，可得b＜0，据此即可得出答案．
【详解】解：∵一次函数y随x的增大而减小，∴k＜0，
∵kb＞0，∴b＜0．∴该函数的图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解答本题的关键是判断出k、b的正负情况．
6．（2022·河南·商水县八年级期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出a，b，c，d，再根据一次函数的图像性质判断即可．
【详解】∵，∴关于原点对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，
∴，，，，∴，，∴一次函数为，
∴一次函数图像经过一、三、四象限，∴不经过第二象限；故选B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中，对称点的坐标特征和一次函数的图像性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型5 一次函数的增减性
解题技巧：一次函数的增减性与正比例的增减性一致，即增减性只与k有关，与b无关。
= 1 \* GB3 ①当k＞0时，函数向上趋势，y随x的增大而增大； = 2 \* GB3 ②当k＜0时，函数向下趋势，y随x的增大而减小。
1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知正比例函数，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵函数y=（k-3）x，y随x的增大而减小，∴k-3＜0，解得k＜3．故选：B．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．
2．（2022·山东德州·八年级期末）下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数图形的位置与系数的关系进行辨别即可．
【详解】解：A、，∴一次函数的随的增大而增大，选项不符合题意；
B、，∴一次函数的随的增大而减小，选项符合题意；
C、，∴一次函数的随的增大而增大，选项不符合题意；
D、，∴一次函数的随的增大而增大，选项不符合题意，选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象的位置与系数关系的应用能力，解题的关键是能准确理解和应用该知识．
3．（2022·湖南娄底·八年级期末）一次函数中，若随的增大而增大，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据一次函数的性质解答即可，一次项系数大于0时，符合题意．
【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大，
∴，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
4．（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）请写出一个一次函数，满足条件：（1）y随x的增大血减小；（2）经过点（2，-1），结果是_________
【答案】y=-x+1（答案不唯一）．
【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，取k=-1，由一次函数的图象经过点（2，-1），利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出b的值，进而可得出一次函数的解析式．
【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）．
∵y随x的增大而减小，∴k＜0，取k=-1；
∵一次函数的图象经过点（2，-1），∴-1=-1×2+b,∴b=1，
∴一次函数的解析式为y=-x+1．故答案为：y=-x+1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，找出符合题意的一次函数解析式是解题的关键．
5．（2022·福建福州·八年级期中）一次函数中，函数值y随着自变量x值的增大而______．
【答案】减小
【分析】根据一次函数的增减性与系数的关系判断即可．
【详解】解：在一次函数y=-x+3中，k=-1＜0，
∴y随着x增大而减小，故答案为：减小．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系是解题的关键．
6．（2022·河南商丘·八年级期末）已知函数y＝﹣2x+b，当﹣2≤x≤0时，函数y的最大值为﹣3，则b＝_____．
【答案】﹣7
【分析】根据函数y＝﹣2x+b的性质，得到y随x的增大而减小，则当x＝﹣2时，y＝﹣3，进一步求得b的值．
【详解】解：对于函数y＝﹣2x+b，k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，
∵当﹣2≤x≤0时，函数y的最大值为﹣3，∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
即﹣3＝﹣2×（﹣2）＋b，解得b＝﹣7，故答案为：﹣7
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
题型6 一次函数的增减性（比大小问题）
解题技巧：一次函数的增减性与正比例的增减性一致，即增减性只与k有关，与b无关。
= 1 \* GB3 ①当k＞0时，函数向上趋势，y随x的增大而增大； = 2 \* GB3 ②当k＜0时，函数向下趋势，y随x的增大而减小。
1．（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知点，在正比例函数的图象上，且当时，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正比例函数的性质得到2m-1＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：∵点，在正比例函数y=（2m-1）x的图象上，且当时，有，
∴y随x的增大而增大，∴2m-1＞0，解得m＞．故选：D．
【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键．
2．（2022·湖北十堰·八年级期末）点A和点B都在直线y＝﹣2x+b上，则和的大小关系是（ ）
A． B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】利用一次函数的增减性性质判定即可．
【详解】∵直线的，∴随的增大而减小，
∵，∴，故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性性质．
3．（2022·湖北武汉·八年级期末）一次函数的图像上有三个点，，，据此可以判断，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的增减性即可判断出答案．
【详解】解：，，y随x的增大而增大，
，．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解是关键．
4．（2022·福建·闽侯县实验中学八年级期中）若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＜0C．a＜1D．a＞1
【答案】B
【分析】根据题意m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，可得x1﹣x2与y1﹣y2异号，即可得出a的取值范围．
【详解】解：∵点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∴x1﹣x2与y1﹣y2异号，∴该图象是y随x的增大而减小，∴a＜0．故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数图像，解题的关键是判断函数的增减性．
5．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用一次函数的增减性判定即可．
【详解】解：由知，函数值y随x的增大而减小，
∵3>-1>-2，，，，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是通过k=-2<0得知函数值y随x的增大而减小，反之x随y的增大也减小．
6．（2022·河南新乡·八年级期末）已知点，在一次函数的图象上，若，则实数m的取值范围是______．
【答案】m＞
【分析】由题意可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【详解】解：∵点P（3，y1），Q（-2，y2）在一次函数y=（-4m+1）x+2的图象上，且y1＜y2，
∴当3＞-2时，由题意可知y1＜y2，∴y随x的增大而减小，
∴-4m+1＜0，解得m＞，故答案为：m＞．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型7 一次函数图象判断
解题技巧：一次函数经过哪几个象限由k和b共同决定，切勿记忆，而是画草图分析。
= 1 \* GB3 ①k反映了函数上升（下降）的趋势，k＞0，函数上升；k＜0，函数下降
= 2 \* GB3 ②b反映了与y轴的交点，b＞0，交于y轴正半轴；b＜0，交于y轴负半轴
= 3 \* GB3 ③k还可以反映函数的陡峭程度，k越大，则函数越陡峭
1．（2022·四川泸州·八年级期末）正比例函数的函数值y随着x增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=2x+k的图象经过第一、三、四象限．
【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，
∵一次函数y=2x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=2x+k的图象经过第一、三、四象限，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
2．（2022·河南·洛阳市第二外国语学校八年级期中）当时，y与x之间的函数解析式为，当时，y与x之间的函数解析式为，则在同一直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数的图象和性质判断即可；
【详解】解：∵当时，，∴此时函数在第一象限，
∵当时，，∴此时函数过原点及第二象限，故选： C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质：在y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过原点及第一、三象限， 当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过原点及第二、四象限．
3．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图像是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图像经过第一、二、四象限，可以得到和的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图像经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】一次函数的图像经过第一、二、四象限，，，，，
一次函数图像第一、二、三象限，故选：．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
4．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，在M、N、P、Q四个点中，一次函数y＝kx+b，若b＝﹣3，k＞0，则图象不可能经过的点是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【答案】C
【分析】由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可．
【详解】解：在y=kx+b，b=-3，k＞0，
∴一次函数图象一定经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
∴其图象不可能经过P点，故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象，利用k、b的正负判断一次函数的图象位置是解题的关键，即在y=kx+b中，①k＞0，b＞0，直线经过第一、二、三象限，②k＞0，b＜0，直线经过第一、三、四象限，③k＜0，b＞0，直线经过第一、二、四象限，④k＜0，b＜0，直线经过第二、三、四象限．
5．（2022·江西赣州·八年级期末）下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】据每个一次函数及正比例函数的图像依次分析a及b的符号，然后再确定其所在的象限即可解答．
【详解】解：A、一次函数中a<0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项符合题意；
B、一次函数中a＞0，b＜0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；
C、一次函数中a>0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项不符合题意；
D、一次函数中a＜0，b＞0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数的图像，熟记一次函数与正比例函数图像与各字母系数的关系是解题的关键．
6．（2022·山东菏泽·八年级期末）函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据一次函数图象的增减性，以及与y轴的交点，判断k，b的大小，再根据k，b的取值判断正比例函数的增减性，判断其与图象是否匹配即可．
【详解】解：A、根据图象可知一次函数图象是递增的，与y轴交于正半轴，故k＞0，b＞0，故kb＞0，则是递增的，选项与实际不符，故错误；
B、根据图象可知一次函数图象是递减的，与y轴交于正半轴，故k<0，b＞0，故kb<0，则是递减的，选项图象与实际不符，故错误；
C、根据图象可知一次函数图象是递增的，与y轴交于负半轴，故k＞0，b＜0，故kb<0，则是递减的，选项图象与实际一致，故正确；
D、根据图象可知一次函数图象是递增的，与y轴交于负半轴，故k＞0，b＜0，故kb<0，则是递减的，选项图象与实际不符，故错误；故选：C．
【点睛】本题考查根据一次函数图象求参数，根据参数判断正比例函数图象，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
题型8 一次函数图象的变换（平移与对称）
解题技巧：“上加下减”——针对y的平移；“左加右减”——针对x的平移，是对x整体的变化。
1．（2022·江西·八年级期末）若直线向左平移5个单位长度，则得到的直线解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象左右平移时解析式的变化规律求解．
【详解】将直线向左平移5个单位长度，得，故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，解题关键是理解一次函数图象左右平移时解析式的变化规律．
2．（2022·湖南绥宁·八年级期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝3x平移后得到直线l2：y＝3x＋2，则下列平移的做法正确的是（ ）
A．将l1向左平移2个单位B．将l1向右平移2个单位
C．将l1向上平移2个单位D．将l1向下平移2个单位
【答案】C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，得出即可．
【详解】解：将直线l1：y＝3x向上平移2个单位得到直线l2：y＝3x＋2．故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移的规律是解题的关键．
3．（2022·沈阳市第七中学九年级开学考试）平面直角坐标系中，将直线向右平移1个单位长度得到的直线解析式是，则原来的直线解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知：把直线向左平移1个单位长度后，其直线解析式为，即．故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则．
4．（2022·甘肃·金昌市第五中学八年级期中）将直线向下平移_________个单位长度后得到的直线解析式是．
【答案】2
【分析】根据一次函数图象上下平移时函数解析式“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将直线向下平移2个单位长度，得到的一次函数解析式为，即．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知图象上下平移时，函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键．
5．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）将直线L：向下平移3个单位，得到的直线应为______，直线L关于y轴对称的直线为______．
【答案】 ##y=-2+2x ##y=1-2x
【分析】先根据一次函数的平移可求解第一空，然后由直线L可知与x、y轴的交点坐标为，进而设直线L关于y轴对称的直线解析式为，最后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：由直线L：向下平移3个单位，得到的直线应为；
当y=0时，则有，解得：；当x=0时，则有y=1，
∴直线L与x、y轴的交点坐标分别为，
∴点关于y轴对称的点的坐标为，
设直线L关于y轴对称的直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线L关于y轴对称的直线解析式为，
故答案为；．
【点睛】本题主要考查一次函数的平移及点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握一次函数的平移及点的坐标关于坐标轴对称是解题的关键．
6．（2022·陕西榆林·八年级期中）已知一次函数的图象与x轴，y轴交于点A、B．
(1)若将此函数图象沿x轴向右平移2个单位后经过原点，求b的值；
(2)若函数图象与一次函数的图象关于y轴对称，求k、b的值．
【答案】(1)b＝2(2)k＝﹣1，b＝4．
【分析】（1）先根据平移的规律求出的图象沿x轴向右平移2个单位后的解析式，再将原点的坐标代入即可求解；
（2）先求出图象与y轴交点，则此交点在函数的图象上，求出b＝4．再求出与x轴的交点坐标为（﹣4，0），则的图象经过点（4，0），即可求出k＝﹣1．
（1）解：将的图象沿x轴向右平移2个单位后得到，
由题意，得0＝0﹣2+b，解得b＝2．
（2）∵当x＝0时，y＝4，∴图象与y轴交于点（0，4）．
∵（0，4）关于y轴对称点就是本身，
∴（0，4）在函数图象上．∴b＝4．
∴一次函数，它与x轴的交点坐标为（﹣4，0）．
∵的图象与的图象关于y轴对称，
∴的图象经过点（4，0），则0＝4k+4，∴k＝﹣1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
题型9 求一次函数解析式（待定系数法）
解题技巧：1) 点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
3) 点+平行:已知直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2平行，则两个函数的待定系数相同，即k1=k2。求直线l2的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出b2的值即可。
4)点+垂直:已知直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2垂直，则两个函数的待定系数乘积为－1，即k1k2=−1。求直线l2的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出b2的值即可。
1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y与x的函数解析式为________．
【答案】
【分析】根据正比例的概念设出解析式，利用待定系数法计算．
【详解】解：设y＝kx，当x＝5时，y＝6，可得：5k＝6，解得：k＝ ，
则y与x的函数解析式为y＝x，故答案为：y＝x．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
2．（2022·重庆永川·八年级期末）已知一次函数的图象经过点A（－2，3）和点B（4，－1），则这个一次函数的解析式为_____．
【答案】
【分析】将两点坐标代入到一次函数中，利用待定系数法求一次函数解析式．
【详解】解：把点A（-2，3）和点B（4，-1）代入y=kx+b得
，解得，所以一次函数的解析式为．故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
3．（2022·湖南岳阳·八年级期末）把直线向上平移后得到直线l，直线l经过点（m，n），且，则直线l的解析式是___________．
【答案】
【分析】设将直线向上平移个单位长度后得到直线，则直线的解析式为，再将点代入可得，然后根据可得，由此即可得．
【详解】解：设将直线向上平移个单位长度后得到直线，则直线的解析式为，
直线经过点，又，，
直线的解析式为，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．
4．（2022·成都市初二期中）若直线经过点，且与直线垂直，则直线的函数表达式是______.
【答案】
【分析】先设所求函数解析式是再根据与y=x垂直，可解出值，再带入点A即可得到的值，从而求出解析式．
【解析】设直线l为 ∵直线l经过点A(1,0)且与直线y=x垂直，∴
把(-2,0)、代入函数解析式得 故函数解析式是故答案为：.
【点睛】考查待定系数法求一次函数解析式, 两条直线相交或平行问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
5．（2022·常州市月考）如图，直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，点M是OB上一点，若直线AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，则直线AM的解析式是_____．
【答案】y=﹣+3．
【分析】首先求出直线与坐标轴交点坐标，进而得出BO，AO的长，再利用勾股定理求出AB的长；根据翻折变换的性质得出MB=MC，AB=AC=10，然后根据勾股定理直接求出MO的长，即可得出M的坐标，再根据待定系数法求得直线AM的解析式即可．
【解析】∵直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴y=0时，x=6，则A点坐标为：（6，0），
x=0时，y=8，则B点坐标为：（0，8）；∴BO=8，AO=6，∴AB==10，
∵直线AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，
∴AB=AC=10，MB=MC，∴OC=AC﹣OA=10﹣6=4．
设MO=x，则MB=MC=8﹣x，在Rt△OMC中，OM2+OC2=CM2，
∴x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，故M点坐标为：（0，3），
设直线AM的解析式为y=kx+3，把A（6，0）代入得0=6k+3，解得k=﹣，
∴直线AM的解析式是y=﹣+3．故答案为：y=﹣+3．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用和一次函数图象与几何变换等知识，根据已知得出A，B两点坐标以及利用翻折变换的性质得出MB=MC，AB=AC是解题关键．
6．（2022·江西赣州·八年级期末）已知一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与x轴交于点A．(1)画出函数的图象；(2)求一次函数的解析式；(3)求A的坐标．
【答案】(1)函数图像见解析(2)y= -x + 4；(3)A(8， 0)．
【分析】（1）描出已知两点，然后过两点作直线即可；（2）利用待定系数法求得即可；
（3）令y= 0，求得x的值，即可求得A的坐标．
（1）如图：
（2）设一次函数的解析式为y= kx + b，
∵一次函数的图象经过点(2，3)， 与y轴交于点B(0，4)，
∴ 解得：
∴一次函数的解析式为y= -x + 4；
（3）令y=0，则-x+4= 0，解得x =8，∴ A(8， 0)．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
题型10一次函数与一次方程（组）
解题技巧：一次函数与x轴交点的横坐标即为对应一元一次方程的解。
注： = 1 \* GB3 ①若一元一次方程不是一般式，需先化简为一般式，在与一次函数对应；
= 2 \* GB3 ②若一元一次方程的一般式与已知的一次函数不能对应时，有2种方法
方法一：若方程kx+b=c（c≠0）时，同样可以利用一次函数与一元一次方程的关系，此刻，一元一次方程的解为一次函数y=c时的横坐标；
方法二：若方程与一次函数对应关系不明显时，我们需要先将函数进行平移等变换，将一次函数或一元一次方程变换为对应形式，在通过图形读出方程的解。
1．（2022·广西·梧州市第十中学八年级期中）如图，若直线：与直线：相交于点P，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】两个一次函数图象的交点坐标对应的x、y的值即为对应的二元一次方程组的解，从而可得答案．
【详解】解：观察图象可知，两条直线的交点坐标为（-2，3），
∴方程组的解为．故选：B．
【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
2．（2022·湖北鄂州·八年级期末）已知点在直线（k，b为常数，且）上，则关于x的方程的解是_____．
【答案】3
【分析】根据题意知，当时，，据此求得关于的方程的解．
【详解】解：点在直线，是常数，上，
当时，．关于的方程的解．故答案是：3．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是正确利用已知条件“点在直线，是常数，上”来求解．
3．（2022·山东烟台·七年级期中）两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据两条直线的图象的交点来求解．
【详解】解：∵两直线和的图象相交于点，，，
∴，∴，
∴的解是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了两条直线的交点，观察图象得到交点的坐标是解答读取v．
4．（2022·贵州黔西·二模）如图，平面直角坐标系中，经过点B(﹣4，0)的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点，则关于x的方程mx+2＝kx+b的解为________．
【答案】
【分析】根据两条直线的交点坐标即为这两条直线的解析式联立组成的一元一次方程的解解答即可．
【详解】解：∵经过点B（﹣4，0）的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点，
∴关于x的方程mx+2＝kx+b的解为x＝ 故答案为：．
【点睛】本题考查了图象法解一元一次方程，熟练掌握方法是解题的关键．
5．（2022·广东中山·八年级期末）若直线与的交点在第一象限，则b的值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】A
【分析】如图，画函数与的图象如下：对于，令 则 求解 当过E时，则 此时交点在y轴上，再往上平移，两条直线的交点落在第一象限，从而得答案．
【详解】解：如图，画函数与的图象如下：
对于，令 则 ∴
当过E时，则 此时交点在y轴上，再往上平移，两条直线的交点落在第一象限，
即此时 ∴符合题意，故选A
【点睛】本题考查的是一次函数的交点位置的问题，利用函数图象判断交点位置是解本题的关键．
6．（2022·内蒙古准格尔旗·八年级期末）若直线经过直线与的交点，则b的值为____________．
【答案】-5
【分析】先求出直线y=x-2与直线y=-x+4的交点坐标，再代入直线y=2x+b，求出b的值．
【详解】解：解方程组，得．∴直线与的交点为（3，1）
把（3，1）代入y=2x+b，得：1=2×3+b，解得：b=-5．故答案为-5．
【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
题型11 一次函数中的三角形面积问题
解题技巧：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△OAB为直角三角形。三角形的面积=12×OA×OB。利用题干告知的面积和A（B）点的坐标，可求出OB（OA）的长度，从而求出B（A）点的坐标。转化为已知两点求解析式的问题，利用待定系数法解决。
注：在利用面积求出直角三角形的边长，在将边长转化为点的坐标时，若点在坐标轴的负半轴上，则点的坐标需添加负号。
1．（2022·山东青州·八年级期末）设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出直线y=5x+6、y=6x+6与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】解：当x=0时，y=5×0+6=6，∴直线y=5x+6与y轴的交点A的坐标为（0，6）；
当y=0时，5x+6=0，解得：x=，∴直线y=5x+6与x轴的交点B的坐标为（，0），
当x=0时，y=6×0+6=6，∴直线y=6x+6与y轴的交点C的坐标为（0，6）；
当y=0时，6x+6=0，解得：x=-1，∴直线y=6x+6与x轴的交点D的坐标为（-1，0）．
∴S5=BD•OA=×|-1-（）|×6=，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
2．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，点A，B，C在一次函数y＝－2x＋b的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．1B．3C．3（b－1）D．
【答案】B
【分析】先表示出点A，C两点的坐标，再根据阴影部分的特征表示出阴影部分的面积，求解即可．
【详解】解：由题意可得A、C的坐标分别为（－1，b＋2）、（2，b－4），
又阴影部分为三个有一直角边都是1，另一直角边的长度和为A点纵坐标与C点纵坐标之差的三角形，所以阴影部分的面积为：，故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，平面直角坐标系中图形的面积，解题的关键是正确地表示出阴影部分的面积．
3．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知一次函数与的图像都经过，且与轴分别交于点、，则的面积为 _____．
【答案】3
【分析】根据题意可知，一次函数与都经过点，所以把点的坐标分别代入一次函数与，即可算出和的值和一次函数解析式，又因为两条直线与轴分别交于点、，即．把代入已知一次函数解析式中，即可得到点、的坐标，即可得出的长．点，即．即可算出的面积．
【详解】解：∵一次函数与都经过点，
∴把代入，可得：，解得：；
把代入，可得：，解得：．
把代入，可得一次函数解析式为：；
把代入，可得一次函数解析式为：；
∵两条直线与轴分别交于点、，即．
∴把代入，可得：，∴点
∴把代入，可得：，∴点∴，
∵点，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数解析式的参数问题，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图像与y轴组成的面积问题．本题的关键在熟练掌握一次函数与坐标轴组成的面积问题．
4．（2022·陕西临潼·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
【答案】（1）直线AB的函数表达式为y=-x+5；（2）点P的坐标为（，）．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（5，0），B（0，5）代入可求出k、b的值即可得出答案；（2）由题意可知直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则直线AP经过OB的中点（0，），设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入，即可求出直线AP的解析式，再把P（a，a-1）代入即可的求出a的值，即可的出答案．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（5，0），B（0，5）代入上式，得，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y=-x+5；
（2）∵直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，∴直线AP经过OB的中点（0，），
设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入上式，
得，解得，∴直线AP的解析式为y=-x+，
把p（a，a-1）代入y=-x+中，得−a+＝a−1，解得：a=，∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练应用待定系数法求出函数系数的值是解决本题的关键．
5．（2022·静宁县阿阳实验学校八年级期末）已知一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使的面积为2，求点P的坐标．
【答案】（1）A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(0，1)；（2）(-6，0)或(2，0)
【分析】（1）根据A、B两点分别在x、y轴上，令y＝0求出x的值；再令x＝0求出y的值即可得出结论；
（2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：（1）∵A、B两点分别在x、y轴上，
∴令y＝0，则x＝－2，令x＝0，则y＝1；∴A点坐标为(－2，0)，B点坐标为(0，1)；
（2）∵△ABP的面积为2，∴×OB×AP＝2，
又∵OB＝1，∴AP＝4，∴点P的坐标为(－6，0)或(2，0)．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，求一次函数的图象与坐标轴交点坐标是解题的关键．
6．（2022·广东揭阳·八年级期末）已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．
(1)求a，b的值；(2)方程组的解为 ．(3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)a＝2，b＝2.5(2)(3)存在，或
【分析】（1）把点C（1，a）分别代入y＝2x和y=中，即可求得a，b的值．
（2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解．
（3）设点P 的坐标为（x，2x），求出点A的坐标和点B的坐标，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据三角形面积公式列方程求得x的值，即可得出点P的坐标．
(1)解：由题知，点C（1，a）在y＝2x的图象上，
∴a＝1×2＝2，∴点C 的坐标为（1，2），
∵点C（1，2）在y=的图象上，所以，2＝﹣+b，所以，b＝2.5；
(2)解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，2）
∴方程组的解为故答案为；
(3)解：存在，理由：∵点P在在y＝2x的图象上，∴设点P 的坐标为（x，2x），
∵一次函数为∴点A的坐标为（0，2.5），点B的坐标为（5，0），
作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴△BOP的面积为，
△AOP的面积为，当5|x|＝时，解得，
∴，∴点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数的问题，解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、一次函数与二元一次方程组的关系、三角形的面积公式、明确函数与方程组的关系．
题型12 一次函数的实际应用
【解题技巧】
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
1．（2022·湖南常德·八年级期末）某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．
【答案】
【分析】当时，设，把（2，6）代入计算即可得，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得，把代入中得，把代入中得，进行计算即可得．
【详解】解：当时，设，把（2，6）代入得，
，解得，，∴当，，
当时，设，把点（2，6），（10，3）代入得，
解得，，∴当时，，
把代入中，得，把代入中，得，
则（小时），即该药治疗的有效时间是3小时，故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质．
2．（2022·江西南昌·八年级期末）某种子站销售一种玉米种子，单价为5元千克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款金额（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求与之间的的函数关系式：（2）徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？
【答案】（1）；（2）4.5千克．
【分析】（1）当x≥2时函数为一次函数，用待定系数法求函数解析式；
（2）把y＝20代入（1）中解析式求解即可.
【详解】解：（1）当时，设与之间的的函数关系式为，
将点，带入解析式得解得∴．
（2）将时，带入中解得千克．
答：徐大爷付款20元能购买这种玉米种子4.5千克．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
3．（2022·四川金牛·七年级期末）已知、两地相距米，甲、乙两人同时从地出发前往地，出发分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题：（1）求甲的速度为多少米/分？（2）求乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式？（3）在甲到达地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距米？
【答案】（1）100米/分；（2）；（3）乙行驶3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米．
【分析】（1）由图象可直接进行求解；（2）先设出乙减慢速度后的函数解析式，再利用待定系数法求解即可；（3）根据题意甲、乙相距50米时有两种情况，然后进行分类求解即可．
【详解】解：（1）由图象得：甲的速度为：600÷6=100（米/分）；答：甲的速度为100米/分；
（2）设乙减慢速度后的函数解析式为，由图象可把点和代入得：
，解得：，∴乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式为；
（3）当x=2时，，，∴当x=2时不符合题意，
由题意可知，当甲、乙相距50米时，则有，
①若，即，解得：；
②若，即，解得：；
综上所述，当乙行驶3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据图象中提供的信息分情况讨论求解问题．
4．（2022·陕西安康·八年级期末）为促进复工复产，调动消费积极性，两个商场分别推出了如下促销活动．
甲商场：所有商品按标价9折出售．
乙商场：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打8折．
设需要购买商品的原价总额为元，去甲商场购买应付元，去乙商场购买应付元，其函数图象如图所示．
(1)分别求、与的函数关系式．
(2)两图象交于点，请求出点坐标，并说明点的实际意义．
(3)黄老师准备去商场购物，请你建议黄老师选择去哪个商场购物更划算．
【答案】(1)，(2)E点坐标为(600,540)，E点的实际意义：当购买商品的为600元时，甲乙两个商场优惠后所需要的费用是相等的，均为540元；(3)建议如下：当x＜600时，去甲商场购物更划算；当x=600时，两家商场购物所需费用一样；当x＞600时，去乙商场购物更划算
【分析】（1）根据题意，即可列出去甲商场和乙商场时y与x的关系式，去乙商场时要分和两种情况进行列式；（2）根据（1）中的结果，令即可求解出E点坐标，即可作答；
（3）根据（2）中所求E的坐标以及E点的实际意义，结合图象即可作答．
（1）根据题意有：去甲商场购买：，
去乙商场购买：当时，；
当时，，
则有：；
（2）由图可知，E点的横坐标大于300，则令，解得x=600，
当x=600时，有，即E点坐标为(600,540)，
由图可知，E点的实际意义：当购买商品的为600元时，甲乙两个商场优惠后所需要的费用是相等的，均为540元；
（3）根据（2）中所求得E的坐标为(600,540)，由结合图象可知：
当x＜600时，，去甲商场购物更划算；
当x=600时，，两家商场购物所需费用一样；
当x＞600时，，去乙商场购物更划算．
则建议如下：当x＜600时，去甲商场购物更划算；
当x=600时，两家商场购物所需费用一样；
当x＞600时，去乙商场购物更划算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一次函数与一元一次不等式的关系等知识，明确题意，注意数形结合是解答本题的关键．
5．（2022·河南平顶山市·八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．
【答案】（1）y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；（2）当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；（3）员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．
【分析】（1）根据甲旅行社的收费标准，可得甲的函数解析式；根据乙的收费标准，可得乙的函数解析式；
（2）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（3）根据收费相同，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1）由题意可得，y甲＝2000x×0.8＝1600x，y乙＝2000（x+1）×0.75＝1500x+1500，
即y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；
（2）当x＝10时，y甲＝1600×10＝16000，y乙＝1500×10+1500＝16500，
∵16000＜16500，∴当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；
（3）由题意可得，1600x＝1500x+1500，解得x＝15，
即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，正确理解函数的自变量与因变量之间的关系是解题关键．
6．（2022·浙江杭州市·八年级期中）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；（2）①y＝−50x＋20000，②商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；（3）①0＜m＜50时，商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大，②m＝50时，商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润，③当50＜m＜100时，商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解；（2）①据题意得，y＝−50x＋20000；②利用不等式求出x的范围，再根据y＝−50x＋20000的增减性，即可得到答案；（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80−x），即y＝（m−50）x＋20000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m−50＝0，y＝20000，③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
，解得，
答：每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；
（2）①据题意得，y＝200x＋250（80−x），即y＝−50x＋20000，
②据题意得，80−x≤2x，解得x≥26，∵y＝−50x＋20000，−50＜0，∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，∴当x＝27时，y取最大值，则80−x＝53，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；
（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80−x），即y＝（m−50）x＋20000，
∵250（80−x）≥10000，解得：x≤40， 26≤x≤40，且为正整数，
①0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝27时，y取最大值，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m−50＝0，，
即商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝40时，y取得最大值．
即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性．
题型13一次函数与一元一次不等式
解题技巧：1）不等式中的“＜a”，反映在函数图像上，即图像在函数值y在a的下面部分x的取值范围；
2）若两个不等式比较大小，如y1＞y2，反映在图像上为l1的图像在l2的图像上面部分x的取值范围。
注：在读不等式的解集时，需要尤其注意是否能够取得等号。
1．（2022·广东·深圳八年级期末）一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则关于x的不等式mx﹣n＜0的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞3D．x＜3
【答案】C
【分析】利用图象法求解，找到直线与x轴的交点坐标，即可得出对应不等式的解集．
【详解】解：由图象知：不等式mx﹣n＜0的解集是x＞3，故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，熟练掌握利用数形结合，由图象法求解是解题的关键．
2．（2022·海南·八年级期末）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察函数图象，写出函数图象不在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：观察所给图象可知：当时，的图象不在x轴下方，
因此不等式的解集是．故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
3．（2022·河南南阳·八年级期末）如图所示，一次图数y＝－x＋3与一次函数y＝2x＋m图象交于点（2，n），则关于x的不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出直线y＝−x＋3与x轴的交点坐标，然后根据函数特征，写出在x轴上方，直线y＝2x＋m在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围．
【详解】解：∵直线y＝−x＋3与x轴的交点坐标为（3，0），直线y＝2x＋m与直线y＝−x＋3交点为，
∴关于x的不等式组的解集为−2＜x＜3．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4．（2022·陕西榆林·八年级期末）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数图象，写出在x轴下方，直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可知，直线和直线的交点为（−1，−2），直线中y随x的增大而减小，
∵过原点，∴关于x的不等式的解集是−1＜x＜0，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
5．（2022·贵州毕节·八年级期末）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：
①；②，；③当时，；④不等式的解集是
其中正确的结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据两个函数经过的象限和与y轴的交点位置即可判断①②；根据两个函数的交点横坐标即可判断③④；
【详解】解：由函数图象可知一次函数经过第一、二、四象限且与y轴交于正半轴，
∴k＜0，b＞0，故①②错误；
∵两个一次函数图像的交点横坐标为3，∴当时，，故③正确；
由函数图象可知不等式的解集即为一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集是，故④正确，故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，两直线的交点问题，图象法解一元一次不等式，熟知一次函数性质和图像是解题的关键．
6．（2022·陕西·西安八年级期末）如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】观察图象即可判断；由图象可知，直线过点，得出，根据一次函数的性质即可判断；根据交点坐标以及即可判断；不等式组变形为，解不等式组即可判断判断．
【详解】解：由图象可知，函数经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故说法正确；
由图象可知，函数经过第一、二、四象限，，
由图象可知，直线经过第一、三象限，，
函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故说法错误；
直线与直线交于点，点的横坐标为，，
直线过点，，，故说法正确；
，，，，，
解得，不等式组的解集是故说法正确，故选：C
【点睛】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
解题技巧：1）判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2）判断正比例函数，需关于x，y的关系式满足：y=kx（k≠0），只要与这个形式不同，即不是正比例函数。
3）一次函数必须满足y=kx+b（k≠0）的形式，其中k不为0的任意值。
1．（2022·绵阳市·八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
3．（2022·福建·莆田擢英中学八年级期中）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积和它的半径； B．长方形的面积一定时，它的长和宽；
C．正方形的周长与边长； D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高．
5．（2022·河北邢台·八年级期末）若一次函数是正比例函数，则______，此时的比例系数是______．
6．（2022·河北·雄县第一初级实验中学八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的正比例函数的有______个．
题型2 函数值与自变量的取值范围
解题技巧：函数的取值范围考虑两个方面：1）自变量的取值必须要使函数式有意义；2）自变量的取值必须符合实际意义。
1．（2022·北京九年级专题练习）下列函数中，自变量取值范围错误的是（ ）
A． B． C．为任意实数） D．
2．（2022·上海市九年级期中）函数的定义域是________．
3．（2022·河南汝阳·八年级期末）当时，函数的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·南宁市八年级期中）已知一次函数，当时，的值是（ ）
A．2B．-2C．1D．0
5．（2022·吉林南关·八年级期末）已知函数，当函数值为0时，的值为______．
6．（2022·全国八年级专题练习）已知一次函数
（1）若自变量的范围是，求函数值的范围．
（2）若函数值的范围是，求自变量的范围．
题型3 一次函数图象与性质综合
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）若正比例函数图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象过一、三象限 B．函数图象过点
C．函数值随自变量的增大而增大 D．函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是
2．（2022·河北唐山·八年级期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条射线B．图象必经过点（-1，2）
C．图象经过第一、三象限D．随的增大而减小
3．（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象与x轴交点为（1，0）B．图象经过第一、二、三象限
C．当时，D．y随x的增大而增大
4．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限
C．当时， D．它的图象必经过点（-1，2）
5．（2022·云南文山·八年级期末）如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（ ）
A．，
B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则
C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为
D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为
6．（2022·山东·惠民县石庙镇第一中学八年级期中）下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．图像经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小
C．图像与y轴交于x轴上方D．当时，
题型4 一次函数过象限问题
解题技巧：一次函数的过象限问题，与k和b都有关。k＞0过一三象限，k＜0过二四象限，b＞0过一二象限，b＜0过三四象限。
1．（2022·广西贵港·八年级期末）已知一次函数的图象经过过一、二、四象限，那么，的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2022·云南红河·八年级期末）函数经过第一、二、四象限，则在第______象限．
3．（2022·江西新余·八年级期末）当直线y＝（1－k）x－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是____．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）写出一个图象经过第一、二、四象限的一次函数的表达式______．
5．（2022·上海·位育中学八年级期中）一次函数，y随着x的增大而减小，且，则该函数的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．
6．（2022·河南·商水县八年级期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
题型5 一次函数的增减性
解题技巧：一次函数的增减性与正比例的增减性一致，即增减性只与k有关，与b无关。
= 1 \* GB3 ①当k＞0时，函数向上趋势，y随x的增大而增大； = 2 \* GB3 ②当k＜0时，函数向下趋势，y随x的增大而减小。
1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知正比例函数，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·山东德州·八年级期末）下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南娄底·八年级期末）一次函数中，若随的增大而增大，则的取值范围是________．
4．（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）请写出一个一次函数，满足条件：（1）y随x的增大血减小；（2）经过点（2，-1），结果是_________
5．（2022·福建福州·八年级期中）一次函数中，函数值y随着自变量x值的增大而______．
6．（2022·河南商丘·八年级期末）已知函数y＝﹣2x+b，当﹣2≤x≤0时，函数y的最大值为﹣3，则b＝_____．
题型6 一次函数的增减性（比大小问题）
解题技巧：一次函数的增减性与正比例的增减性一致，即增减性只与k有关，与b无关。
= 1 \* GB3 ①当k＞0时，函数向上趋势，y随x的增大而增大； = 2 \* GB3 ②当k＜0时，函数向下趋势，y随x的增大而减小。
1．（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知点，在正比例函数的图象上，且当时，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖北十堰·八年级期末）点A和点B都在直线y＝﹣2x+b上，则和的大小关系是（ ）
A． B．C．D．不能确定
3．（2022·湖北武汉·八年级期末）一次函数的图像上有三个点，，，据此可以判断，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·福建·闽侯县实验中学八年级期中）若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＜0C．a＜1D．a＞1
5．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南新乡·八年级期末）已知点，在一次函数的图象上，若，则实数m的取值范围是______．
题型7 一次函数图象判断
解题技巧：一次函数经过哪几个象限由k和b共同决定，切勿记忆，而是画草图分析。
= 1 \* GB3 ①k反映了函数上升（下降）的趋势，k＞0，函数上升；k＜0，函数下降
= 2 \* GB3 ②b反映了与y轴的交点，b＞0，交于y轴正半轴；b＜0，交于y轴负半轴
= 3 \* GB3 ③k还可以反映函数的陡峭程度，k越大，则函数越陡峭
1．（2022·四川泸州·八年级期末）正比例函数的函数值y随着x增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·洛阳市第二外国语学校八年级期中）当时，y与x之间的函数解析式为，当时，y与x之间的函数解析式为，则在同一直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图像是( )
A．B．C．D．
4．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，在M、N、P、Q四个点中，一次函数y＝kx+b，若b＝﹣3，k＞0，则图象不可能经过的点是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
5．（2022·江西赣州·八年级期末）下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（ ）．
A．B．C．D．
6．（2022·山东菏泽·八年级期末）函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
题型8 一次函数图象的变换（平移与对称）
解题技巧：“上加下减”——针对y的平移；“左加右减”——针对x的平移，是对x整体的变化。
1．（2022·江西·八年级期末）若直线向左平移5个单位长度，则得到的直线解析式为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖南绥宁·八年级期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝3x平移后得到直线l2：y＝3x＋2，则下列平移的做法正确的是（ ）
A．将l1向左平移2个单位B．将l1向右平移2个单位
C．将l1向上平移2个单位D．将l1向下平移2个单位
3．（2022·沈阳市第七中学九年级开学考试）平面直角坐标系中，将直线向右平移1个单位长度得到的直线解析式是，则原来的直线解析式是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·甘肃·金昌市第五中学八年级期中）将直线向下平移_________个单位长度后得到的直线解析式是．
5．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）将直线L：向下平移3个单位，得到的直线应为______，直线L关于y轴对称的直线为______．
6．（2022·陕西榆林·八年级期中）已知一次函数的图象与x轴，y轴交于点A、B．
(1)若将此函数图象沿x轴向右平移2个单位后经过原点，求b的值；
(2)若函数图象与一次函数的图象关于y轴对称，求k、b的值．
题型9 求一次函数解析式（待定系数法）
解题技巧：1) 点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
3) 点+平行:已知直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2平行，则两个函数的待定系数相同，即k1=k2。求直线l2的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出b2的值即可。
4)点+垂直:已知直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2垂直，则两个函数的待定系数乘积为－1，即k1k2=−1。求直线l2的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出b2的值即可。
1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y与x的函数解析式为________．
2．（2022·重庆永川·八年级期末）已知一次函数的图象经过点A（－2，3）和点B（4，－1），则这个一次函数的解析式为_____．
3．（2022·湖南岳阳·八年级期末）把直线向上平移后得到直线l，直线l经过点（m，n），且，则直线l的解析式是___________．
4．（2022·成都市初二期中）若直线经过点，且与直线垂直，则直线的函数表达式是______.
5．（2022·常州市月考）如图，直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，点M是OB上一点，若直线AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，则直线AM的解析式是_____．
6．（2022·江西赣州·八年级期末）已知一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与x轴交于点A．(1)画出函数的图象；(2)求一次函数的解析式；(3)求A的坐标．
题型10一次函数与一次方程（组）
解题技巧：一次函数与x轴交点的横坐标即为对应一元一次方程的解。
注： = 1 \* GB3 ①若一元一次方程不是一般式，需先化简为一般式，在与一次函数对应；
= 2 \* GB3 ②若一元一次方程的一般式与已知的一次函数不能对应时，有2种方法
方法一：若方程kx+b=c（c≠0）时，同样可以利用一次函数与一元一次方程的关系，此刻，一元一次方程的解为一次函数y=c时的横坐标；
方法二：若方程与一次函数对应关系不明显时，我们需要先将函数进行平移等变换，将一次函数或一元一次方程变换为对应形式，在通过图形读出方程的解。
1．（2022·广西·梧州市第十中学八年级期中）如图，若直线：与直线：相交于点P，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖北鄂州·八年级期末）已知点在直线（k，b为常数，且）上，则关于x的方程的解是_____．
3．（2022·山东烟台·七年级期中）两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________．
4．（2022·贵州黔西·二模）如图，平面直角坐标系中，经过点B(﹣4，0)的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点，则关于x的方程mx+2＝kx+b的解为________．
5．（2022·广东中山·八年级期末）若直线与的交点在第一象限，则b的值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．
6．（2022·内蒙古准格尔旗·八年级期末）若直线经过直线与的交点，则b的值为____________．
题型11 一次函数中的三角形面积问题
解题技巧：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△OAB为直角三角形。三角形的面积=12×OA×OB。利用题干告知的面积和A（B）点的坐标，可求出OB（OA）的长度，从而求出B（A）点的坐标。转化为已知两点求解析式的问题，利用待定系数法解决。
注：在利用面积求出直角三角形的边长，在将边长转化为点的坐标时，若点在坐标轴的负半轴上，则点的坐标需添加负号。
1．（2022·山东青州·八年级期末）设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（ ）
A．B．C．1D．3
2．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，点A，B，C在一次函数y＝－2x＋b的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．1B．3C．3（b－1）D．
3．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知一次函数与的图像都经过，且与轴分别交于点、，则的面积为 _____．
4．（2022·陕西临潼·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
5．（2022·静宁县阿阳实验学校八年级期末）已知一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使的面积为2，求点P的坐标．
6．（2022·广东揭阳·八年级期末）已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．
(1)求a，b的值；(2)方程组的解为 ．(3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型12 一次函数的实际应用
【解题技巧】
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
1．（2022·湖南常德·八年级期末）某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．
2．（2022·江西南昌·八年级期末）某种子站销售一种玉米种子，单价为5元千克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款金额（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求与之间的的函数关系式：（2）徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？
3．（2022·四川金牛·七年级期末）已知、两地相距米，甲、乙两人同时从地出发前往地，出发分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题：（1）求甲的速度为多少米/分？（2）求乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式？（3）在甲到达地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距米？
4．（2022·陕西安康·八年级期末）为促进复工复产，调动消费积极性，两个商场分别推出了如下促销活动．
甲商场：所有商品按标价9折出售．
乙商场：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打8折．
设需要购买商品的原价总额为元，去甲商场购买应付元，去乙商场购买应付元，其函数图象如图所示．(1)分别求、与的函数关系式．(2)两图象交于点，请求出点坐标，并说明点的实际意义．
(3)黄老师准备去商场购物，请你建议黄老师选择去哪个商场购物更划算．
5．（2022·河南平顶山市·八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．
6．（2022·浙江杭州市·八年级期中）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
题型13一次函数与一元一次不等式
解题技巧：1）不等式中的“＜a”，反映在函数图像上，即图像在函数值y在a的下面部分x的取值范围；
2）若两个不等式比较大小，如y1＞y2，反映在图像上为l1的图像在l2的图像上面部分x的取值范围。
注：在读不等式的解集时，需要尤其注意是否能够取得等号。
1．（2022·广东·深圳八年级期末）一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则关于x的不等式mx﹣n＜0的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞3D．x＜3
2．（2022·海南·八年级期末）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南南阳·八年级期末）如图所示，一次图数y＝－x＋3与一次函数y＝2x＋m图象交于点（2，n），则关于x的不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·陕西榆林·八年级期末）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·贵州毕节·八年级期末）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：
①；②，；③当时，；④不等式的解集是
其中正确的结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2022·陕西·西安八年级期末）如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
专题19.1 一次函数 重难点题型13个
题型1 函数与一次（正比例）函数的识别
解题技巧：1）判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2）判断正比例函数，需关于x，y的关系式满足：y=kx（k≠0），只要与这个形式不同，即不是正比例函数。
3）一次函数必须满足y=kx+b（k≠0）的形式，其中k不为0的任意值。
1．（2022·绵阳市·八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据一次函数（ k、b为常数，）的定义解答即可．
【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③=3，没有自变量，不是一次函数；
④，自变量次数不为1，故不是一次函数；⑤，自变量次数不为1，故不是一次函数．
综上所述，是一次函数的有2个．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．
2．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答案．
【详解】解：由题意可得，m-1≠0，∴m=-1，故选A
【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键．
3．（2022·福建·莆田擢英中学八年级期中）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义进行判断即可．
【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，故B，C，D不符合题意；
选项A的图象，给一个x值，y有两个值对应的情况，不能表示y是x的函数，故A符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的定义，准确地掌握函数的定义是解决问题的关键．
4．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积和它的半径； B．长方形的面积一定时，它的长和宽；
C．正方形的周长与边长； D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高．
【答案】C
【分析】先列出函数关系式，然后再根据正比例函数的定义即可解答．
【详解】解：A、圆的面积S=πr2，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
B、长方形的面积S一定时，它的长a和宽b的关系S=ab，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
C.正方形的周长C=边长×4=4a，是正比例函数，故此选项符合题意；
D. 三角形的面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系S=ah，不是正比例函数，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
5．（2022·河北邢台·八年级期末）若一次函数是正比例函数，则______，此时的比例系数是______．
【答案】 0
【分析】根据正比例函数的概念解答即可．
【详解】解：∵一次函数是正比例函数
∴b=0，即y=-2x∴比例系数为-2．故答案为：0，-2．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，形如y=kx（k≠0）的函数为正比例函数，k为比例系数．
6．（2022·河北·雄县第一初级实验中学八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的正比例函数的有______个．
【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】①是正比例函数，符合要求；②是一次函数，不符合要求；
③是反比例函数，不符合要求，④是二次函数，不符合要求，
⑤是正比例函数，符合要求；则是正比例函数的有2个，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义．正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数，也可以是分数．
题型2 函数值与自变量的取值范围
解题技巧：函数的取值范围考虑两个方面：1）自变量的取值必须要使函数式有意义；2）自变量的取值必须符合实际意义。
1．（2022·北京九年级专题练习）下列函数中，自变量取值范围错误的是（ ）
A． B． C．为任意实数） D．
【答案】D
【分析】根据函数的特点，意义求出函数自变量的取值范围进行比较即可．
【详解】解：的自变量的取值范围为2x-1≠0，即，故选项A正确；
的自变量的取值范围为1-x≥0，即，故选项B正确；
的自变量的取值范围为为任意实数，故选项C正确；
的自变量的取值范围为x-10，即．故选项D不正确；故选：．
【点睛】本题考查函数自变量取值范围，掌握求函数自变量取值范围的方法是解题关键．
2．（2022·上海市九年级期中）函数的定义域是________．
【答案】
【分析】根据分母是二次根式，则要求被开方数为正数，即可求得函数的定义域．
【详解】解：由题意知：∴故答案为：
【点睛】本题考查了求函数的自变量的取值范围即函数的定义域，一般考虑两个方面：一是分母不为零；二是二次根式非负．
3．（2022·河南汝阳·八年级期末）当时，函数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将代入函数解析式即可求得．
【详解】当时，故选B
【点睛】本题考查了已知自变量的值，求函数的值，正确的计算是解题的关键．
4．（2022·南宁市八年级期中）已知一次函数，当时，的值是（ ）
A．2B．-2C．1D．0
【答案】A
【分析】把代入解析式即可求得的值．
【详解】解：把时代入一次函数，得到：．故选：．
【点睛】本题考查了求一次函数的值，将已知自变量的值代入一次函数，化作代数式求值的问题．
5．（2022·吉林南关·八年级期末）已知函数，当函数值为0时，的值为______．
【答案】
【分析】令y＝0，则−5x＋2＝0，解之可得x的值．
【详解】解：∵函数值为0，∴y＝0，即−5x＋2＝0，解得x＝．故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明白函数值为0，即y＝0．
6．（2022·全国八年级专题练习）已知一次函数
（1）若自变量的范围是，求函数值的范围．
（2）若函数值的范围是，求自变量的范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先用y的代数式表示x，即，然后由，得到，解不等式组即可； （2）由得到，解不等式组，即可得出自变量x的取值范围．
【详解】解：（1）∵，又
∴∴即且解得：
（2）∵∴解得：．
【点睛】此题主要考查了一次函数解析式的变形，同时考查了解不等式组的方法，同学们要熟练掌握．
题型3 一次函数图象与性质综合
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）若正比例函数图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象过一、三象限 B．函数图象过点
C．函数值随自变量的增大而增大 D．函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是
【答案】D
【分析】设正比例函数为，待定系数法求得解析式，根据解析式以及正比例函数的性质即可判断各选项即可求解．
【详解】解：正比例函数图象过点，设正比例函数为，
则解得正比例函数的解析式为
，函数图象经过二、四象限，故A选项不正确，
当时，，则函数图象经过点，故B选项不正确，
，则函数值随自变量的增大而减小，故C选项不正确，
函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是，即，故D选项正确，故选D．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的平移，待定系数法求解析式，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022·河北唐山·八年级期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条射线B．图象必经过点（-1，2）
C．图象经过第一、三象限D．随的增大而减小
【答案】D
【分析】根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】解：A．正比例函数的图象是一条直线，故A错误；
B．当时，，∴图象不经过点（-1，2），故B错误；
C．∵，∴图象经过第二、四象限，故C错误；
D．∵，∴随的增大而减小，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．
3．（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象与x轴交点为（1，0）B．图象经过第一、二、三象限
C．当时，D．y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质以及图像上的点的坐标特征对各个选项进行判断即可．
【详解】A：当y=0时，x=2，即图象与x轴交点为（2，0），故错误，不符合题意；
B：，则图象经过第一、二、四象限，故错误，不符合题意；
C：，则图像随x增大而减小，当y=0时，x=2，则当时，，故正确，符合题意；
D：，则图像随x增大而减小，故错误，不符合题意．故选：C
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟知，当k<0时，y随x的增大而减小，当k>0时，y随x的增大而增大时关键．
4．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限
C．当时， D．它的图象必经过点（-1，2）
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵-2＜0，1＞0，
∴A的值随值的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
B、它的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，，所以当时，，故本选项正确，符合题意；
D、当时，，它的图象必经过点（-1，3），故本选项错误，不符合题意；故选：C
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2022·云南文山·八年级期末）如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（ ）
A．，
B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则
C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为
D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为
【答案】B
【分析】根据一次函数图象的性质和平移的规律逐项分析即可．
【详解】解：A.由图象可知，，，故正确，不符合题意；
B. ∵-1<2，y随x的增大而减小，∴，故错误，符合题意；
C. ∵点(2，0)在直线l上，∴y=0时，x=2，∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意；
D. 将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为+b-b=kx，故正确，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数的平移，熟练掌握性质和平移的规律是解答本题的关键．
6．（2022·山东·惠民县石庙镇第一中学八年级期中）下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．图像经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小
C．图像与y轴交于x轴上方D．当时，
【答案】D
【分析】根据一次函数系数与图像的关系，画出图像，然后逐个分析每个选项，最后得出答案．
【详解】根据题意画出函数图像如图：
由图像可知：A图像经过一、二、四象限，所以选项正确
B由图像可知y随x的增大而减小，选项正确
C图像与y轴的交点坐标为(0，b)，因为b0，所以交点在y轴正半轴，在x轴的上方，选项正确
D∵x，k0∴kx-b∴kx+b-b+b∴kx+b0 ∵y=kx+b∴y0选项错误 故选D．
【点睛】本题考查了一次函数图像，掌握和熟练使用相关知识，使用数形结合的方法，结合函数图像是本题的解题关键．
题型4 一次函数过象限问题
解题技巧：一次函数的过象限问题，与k和b都有关。k＞0过一三象限，k＜0过二四象限，b＞0过一二象限，b＜0过三四象限。
1．（2022·广西贵港·八年级期末）已知一次函数的图象经过过一、二、四象限，那么，的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】由一次函数的图像经过过一、二、四象限可得：＜且＞从而可得答案．
【详解】解：因为一次函数的图象经过过一、二、四象限，
所以：＜且＞ 所以：，，故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像的性质，同时考查一元一次不等式的解法，掌握一次函数的图像的性质是解题的关键．
2．（2022·云南红河·八年级期末）函数经过第一、二、四象限，则在第______象限．
【答案】四
【分析】根据函数与象限的关系，判断出 的取值范围，即可得出答案．
【详解】如图，因为函数经过第一、二、四象限，所以 ，则M点在第四象限 故答案为四
【点睛】本题考查一次函数的图像及象限的定义，熟练掌握一次函数与象限的关系为关键，画出图形可以更直观得出答案．
3．（2022·江西新余·八年级期末）当直线y＝（1－k）x－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是____．
【答案】k＞1
【分析】根据直线经过的象限与一次函数系数的关系，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可．
【详解】当x=0时，y=－3．
∴直线y=（1－k）x－3经过．
∵直线y=（1－k）x－3经过第二、三、四象限，
∴．∴k＞1．故答案为：k＞1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．当k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）写出一个图象经过第一、二、四象限的一次函数的表达式______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】据一次函数图象经过的象限可得一次函数的一次项系数小于0，常数项大于0，由此即可得出答案．
【详解】解：因为一次函数图象经过第一、二、四象限，
所以这个一次函数的一次项系数小于0，常数项大于0，
所以符合条件的一次函数的表达式为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．
5．（2022·上海·位育中学八年级期中）一次函数，y随着x的增大而减小，且，则该函数的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．
【答案】A
【分析】由y随x的增大而减小，可得k＜0，由kb＞0，可得b＜0，据此即可得出答案．
【详解】解：∵一次函数y随x的增大而减小，∴k＜0，
∵kb＞0，∴b＜0．∴该函数的图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解答本题的关键是判断出k、b的正负情况．
6．（2022·河南·商水县八年级期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出a，b，c，d，再根据一次函数的图像性质判断即可．
【详解】∵，∴关于原点对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，
∴，，，，∴，，∴一次函数为，
∴一次函数图像经过一、三、四象限，∴不经过第二象限；故选B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中，对称点的坐标特征和一次函数的图像性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型5 一次函数的增减性
解题技巧：一次函数的增减性与正比例的增减性一致，即增减性只与k有关，与b无关。
= 1 \* GB3 ①当k＞0时，函数向上趋势，y随x的增大而增大； = 2 \* GB3 ②当k＜0时，函数向下趋势，y随x的增大而减小。
1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知正比例函数，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵函数y=（k-3）x，y随x的增大而减小，∴k-3＜0，解得k＜3．故选：B．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．
2．（2022·山东德州·八年级期末）下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数图形的位置与系数的关系进行辨别即可．
【详解】解：A、，∴一次函数的随的增大而增大，选项不符合题意；
B、，∴一次函数的随的增大而减小，选项符合题意；
C、，∴一次函数的随的增大而增大，选项不符合题意；
D、，∴一次函数的随的增大而增大，选项不符合题意，选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象的位置与系数关系的应用能力，解题的关键是能准确理解和应用该知识．
3．（2022·湖南娄底·八年级期末）一次函数中，若随的增大而增大，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据一次函数的性质解答即可，一次项系数大于0时，符合题意．
【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大，
∴，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
4．（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）请写出一个一次函数，满足条件：（1）y随x的增大血减小；（2）经过点（2，-1），结果是_________
【答案】y=-x+1（答案不唯一）．
【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，取k=-1，由一次函数的图象经过点（2，-1），利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出b的值，进而可得出一次函数的解析式．
【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）．
∵y随x的增大而减小，∴k＜0，取k=-1；
∵一次函数的图象经过点（2，-1），∴-1=-1×2+b,∴b=1，
∴一次函数的解析式为y=-x+1．故答案为：y=-x+1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，找出符合题意的一次函数解析式是解题的关键．
5．（2022·福建福州·八年级期中）一次函数中，函数值y随着自变量x值的增大而______．
【答案】减小
【分析】根据一次函数的增减性与系数的关系判断即可．
【详解】解：在一次函数y=-x+3中，k=-1＜0，
∴y随着x增大而减小，故答案为：减小．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系是解题的关键．
6．（2022·河南商丘·八年级期末）已知函数y＝﹣2x+b，当﹣2≤x≤0时，函数y的最大值为﹣3，则b＝_____．
【答案】﹣7
【分析】根据函数y＝﹣2x+b的性质，得到y随x的增大而减小，则当x＝﹣2时，y＝﹣3，进一步求得b的值．
【详解】解：对于函数y＝﹣2x+b，k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，
∵当﹣2≤x≤0时，函数y的最大值为﹣3，∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
即﹣3＝﹣2×（﹣2）＋b，解得b＝﹣7，故答案为：﹣7
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
题型6 一次函数的增减性（比大小问题）
解题技巧：一次函数的增减性与正比例的增减性一致，即增减性只与k有关，与b无关。
= 1 \* GB3 ①当k＞0时，函数向上趋势，y随x的增大而增大； = 2 \* GB3 ②当k＜0时，函数向下趋势，y随x的增大而减小。
1．（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知点，在正比例函数的图象上，且当时，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正比例函数的性质得到2m-1＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：∵点，在正比例函数y=（2m-1）x的图象上，且当时，有，
∴y随x的增大而增大，∴2m-1＞0，解得m＞．故选：D．
【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键．
2．（2022·湖北十堰·八年级期末）点A和点B都在直线y＝﹣2x+b上，则和的大小关系是（ ）
A． B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】利用一次函数的增减性性质判定即可．
【详解】∵直线的，∴随的增大而减小，
∵，∴，故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性性质．
3．（2022·湖北武汉·八年级期末）一次函数的图像上有三个点，，，据此可以判断，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的增减性即可判断出答案．
【详解】解：，，y随x的增大而增大，
，．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解是关键．
4．（2022·福建·闽侯县实验中学八年级期中）若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＜0C．a＜1D．a＞1
【答案】B
【分析】根据题意m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，可得x1﹣x2与y1﹣y2异号，即可得出a的取值范围．
【详解】解：∵点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∴x1﹣x2与y1﹣y2异号，∴该图象是y随x的增大而减小，∴a＜0．故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数图像，解题的关键是判断函数的增减性．
5．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用一次函数的增减性判定即可．
【详解】解：由知，函数值y随x的增大而减小，
∵3>-1>-2，，，，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是通过k=-2<0得知函数值y随x的增大而减小，反之x随y的增大也减小．
6．（2022·河南新乡·八年级期末）已知点，在一次函数的图象上，若，则实数m的取值范围是______．
【答案】m＞
【分析】由题意可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【详解】解：∵点P（3，y1），Q（-2，y2）在一次函数y=（-4m+1）x+2的图象上，且y1＜y2，
∴当3＞-2时，由题意可知y1＜y2，∴y随x的增大而减小，
∴-4m+1＜0，解得m＞，故答案为：m＞．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
题型7 一次函数图象判断
解题技巧：一次函数经过哪几个象限由k和b共同决定，切勿记忆，而是画草图分析。
= 1 \* GB3 ①k反映了函数上升（下降）的趋势，k＞0，函数上升；k＜0，函数下降
= 2 \* GB3 ②b反映了与y轴的交点，b＞0，交于y轴正半轴；b＜0，交于y轴负半轴
= 3 \* GB3 ③k还可以反映函数的陡峭程度，k越大，则函数越陡峭
1．（2022·四川泸州·八年级期末）正比例函数的函数值y随着x增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=2x+k的图象经过第一、三、四象限．
【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，
∵一次函数y=2x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=2x+k的图象经过第一、三、四象限，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
2．（2022·河南·洛阳市第二外国语学校八年级期中）当时，y与x之间的函数解析式为，当时，y与x之间的函数解析式为，则在同一直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数的图象和性质判断即可；
【详解】解：∵当时，，∴此时函数在第一象限，
∵当时，，∴此时函数过原点及第二象限，故选： C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质：在y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过原点及第一、三象限， 当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过原点及第二、四象限．
3．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图像是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图像经过第一、二、四象限，可以得到和的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图像经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】一次函数的图像经过第一、二、四象限，，，，，
一次函数图像第一、二、三象限，故选：．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
4．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，在M、N、P、Q四个点中，一次函数y＝kx+b，若b＝﹣3，k＞0，则图象不可能经过的点是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【答案】C
【分析】由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可．
【详解】解：在y=kx+b，b=-3，k＞0，
∴一次函数图象一定经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
∴其图象不可能经过P点，故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象，利用k、b的正负判断一次函数的图象位置是解题的关键，即在y=kx+b中，①k＞0，b＞0，直线经过第一、二、三象限，②k＞0，b＜0，直线经过第一、三、四象限，③k＜0，b＞0，直线经过第一、二、四象限，④k＜0，b＜0，直线经过第二、三、四象限．
5．（2022·江西赣州·八年级期末）下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】据每个一次函数及正比例函数的图像依次分析a及b的符号，然后再确定其所在的象限即可解答．
【详解】解：A、一次函数中a<0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项符合题意；
B、一次函数中a＞0，b＜0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；
C、一次函数中a>0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项不符合题意；
D、一次函数中a＜0，b＞0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数的图像，熟记一次函数与正比例函数图像与各字母系数的关系是解题的关键．
6．（2022·山东菏泽·八年级期末）函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据一次函数图象的增减性，以及与y轴的交点，判断k，b的大小，再根据k，b的取值判断正比例函数的增减性，判断其与图象是否匹配即可．
【详解】解：A、根据图象可知一次函数图象是递增的，与y轴交于正半轴，故k＞0，b＞0，故kb＞0，则是递增的，选项与实际不符，故错误；
B、根据图象可知一次函数图象是递减的，与y轴交于正半轴，故k<0，b＞0，故kb<0，则是递减的，选项图象与实际不符，故错误；
C、根据图象可知一次函数图象是递增的，与y轴交于负半轴，故k＞0，b＜0，故kb<0，则是递减的，选项图象与实际一致，故正确；
D、根据图象可知一次函数图象是递增的，与y轴交于负半轴，故k＞0，b＜0，故kb<0，则是递减的，选项图象与实际不符，故错误；故选：C．
【点睛】本题考查根据一次函数图象求参数，根据参数判断正比例函数图象，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
题型8 一次函数图象的变换（平移与对称）
解题技巧：“上加下减”——针对y的平移；“左加右减”——针对x的平移，是对x整体的变化。
1．（2022·江西·八年级期末）若直线向左平移5个单位长度，则得到的直线解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象左右平移时解析式的变化规律求解．
【详解】将直线向左平移5个单位长度，得，故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，解题关键是理解一次函数图象左右平移时解析式的变化规律．
2．（2022·湖南绥宁·八年级期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝3x平移后得到直线l2：y＝3x＋2，则下列平移的做法正确的是（ ）
A．将l1向左平移2个单位B．将l1向右平移2个单位
C．将l1向上平移2个单位D．将l1向下平移2个单位
【答案】C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，得出即可．
【详解】解：将直线l1：y＝3x向上平移2个单位得到直线l2：y＝3x＋2．故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移的规律是解题的关键．
3．（2022·沈阳市第七中学九年级开学考试）平面直角坐标系中，将直线向右平移1个单位长度得到的直线解析式是，则原来的直线解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知：把直线向左平移1个单位长度后，其直线解析式为，即．故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则．
4．（2022·甘肃·金昌市第五中学八年级期中）将直线向下平移_________个单位长度后得到的直线解析式是．
【答案】2
【分析】根据一次函数图象上下平移时函数解析式“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将直线向下平移2个单位长度，得到的一次函数解析式为，即．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知图象上下平移时，函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键．
5．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）将直线L：向下平移3个单位，得到的直线应为______，直线L关于y轴对称的直线为______．
【答案】 ##y=-2+2x ##y=1-2x
【分析】先根据一次函数的平移可求解第一空，然后由直线L可知与x、y轴的交点坐标为，进而设直线L关于y轴对称的直线解析式为，最后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：由直线L：向下平移3个单位，得到的直线应为；
当y=0时，则有，解得：；当x=0时，则有y=1，
∴直线L与x、y轴的交点坐标分别为，
∴点关于y轴对称的点的坐标为，
设直线L关于y轴对称的直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线L关于y轴对称的直线解析式为，
故答案为；．
【点睛】本题主要考查一次函数的平移及点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握一次函数的平移及点的坐标关于坐标轴对称是解题的关键．
6．（2022·陕西榆林·八年级期中）已知一次函数的图象与x轴，y轴交于点A、B．
(1)若将此函数图象沿x轴向右平移2个单位后经过原点，求b的值；
(2)若函数图象与一次函数的图象关于y轴对称，求k、b的值．
【答案】(1)b＝2(2)k＝﹣1，b＝4．
【分析】（1）先根据平移的规律求出的图象沿x轴向右平移2个单位后的解析式，再将原点的坐标代入即可求解；
（2）先求出图象与y轴交点，则此交点在函数的图象上，求出b＝4．再求出与x轴的交点坐标为（﹣4，0），则的图象经过点（4，0），即可求出k＝﹣1．
（1）解：将的图象沿x轴向右平移2个单位后得到，
由题意，得0＝0﹣2+b，解得b＝2．
（2）∵当x＝0时，y＝4，∴图象与y轴交于点（0，4）．
∵（0，4）关于y轴对称点就是本身，
∴（0，4）在函数图象上．∴b＝4．
∴一次函数，它与x轴的交点坐标为（﹣4，0）．
∵的图象与的图象关于y轴对称，
∴的图象经过点（4，0），则0＝4k+4，∴k＝﹣1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
题型9 求一次函数解析式（待定系数法）
解题技巧：1) 点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
3) 点+平行:已知直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2平行，则两个函数的待定系数相同，即k1=k2。求直线l2的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出b2的值即可。
4)点+垂直:已知直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2垂直，则两个函数的待定系数乘积为－1，即k1k2=−1。求直线l2的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出b2的值即可。
1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y与x的函数解析式为________．
【答案】
【分析】根据正比例的概念设出解析式，利用待定系数法计算．
【详解】解：设y＝kx，当x＝5时，y＝6，可得：5k＝6，解得：k＝ ，
则y与x的函数解析式为y＝x，故答案为：y＝x．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
2．（2022·重庆永川·八年级期末）已知一次函数的图象经过点A（－2，3）和点B（4，－1），则这个一次函数的解析式为_____．
【答案】
【分析】将两点坐标代入到一次函数中，利用待定系数法求一次函数解析式．
【详解】解：把点A（-2，3）和点B（4，-1）代入y=kx+b得
，解得，所以一次函数的解析式为．故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
3．（2022·湖南岳阳·八年级期末）把直线向上平移后得到直线l，直线l经过点（m，n），且，则直线l的解析式是___________．
【答案】
【分析】设将直线向上平移个单位长度后得到直线，则直线的解析式为，再将点代入可得，然后根据可得，由此即可得．
【详解】解：设将直线向上平移个单位长度后得到直线，则直线的解析式为，
直线经过点，又，，
直线的解析式为，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．
4．（2022·成都市初二期中）若直线经过点，且与直线垂直，则直线的函数表达式是______.
【答案】
【分析】先设所求函数解析式是再根据与y=x垂直，可解出值，再带入点A即可得到的值，从而求出解析式．
【解析】设直线l为 ∵直线l经过点A(1,0)且与直线y=x垂直，∴
把(-2,0)、代入函数解析式得 故函数解析式是故答案为：.
【点睛】考查待定系数法求一次函数解析式, 两条直线相交或平行问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
5．（2022·常州市月考）如图，直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，点M是OB上一点，若直线AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，则直线AM的解析式是_____．
【答案】y=﹣+3．
【分析】首先求出直线与坐标轴交点坐标，进而得出BO，AO的长，再利用勾股定理求出AB的长；根据翻折变换的性质得出MB=MC，AB=AC=10，然后根据勾股定理直接求出MO的长，即可得出M的坐标，再根据待定系数法求得直线AM的解析式即可．
【解析】∵直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴y=0时，x=6，则A点坐标为：（6，0），
x=0时，y=8，则B点坐标为：（0，8）；∴BO=8，AO=6，∴AB==10，
∵直线AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，
∴AB=AC=10，MB=MC，∴OC=AC﹣OA=10﹣6=4．
设MO=x，则MB=MC=8﹣x，在Rt△OMC中，OM2+OC2=CM2，
∴x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，故M点坐标为：（0，3），
设直线AM的解析式为y=kx+3，把A（6，0）代入得0=6k+3，解得k=﹣，
∴直线AM的解析式是y=﹣+3．故答案为：y=﹣+3．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用和一次函数图象与几何变换等知识，根据已知得出A，B两点坐标以及利用翻折变换的性质得出MB=MC，AB=AC是解题关键．
6．（2022·江西赣州·八年级期末）已知一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与x轴交于点A．(1)画出函数的图象；(2)求一次函数的解析式；(3)求A的坐标．
【答案】(1)函数图像见解析(2)y= -x + 4；(3)A(8， 0)．
【分析】（1）描出已知两点，然后过两点作直线即可；（2）利用待定系数法求得即可；
（3）令y= 0，求得x的值，即可求得A的坐标．
（1）如图：
（2）设一次函数的解析式为y= kx + b，
∵一次函数的图象经过点(2，3)， 与y轴交于点B(0，4)，
∴ 解得：
∴一次函数的解析式为y= -x + 4；
（3）令y=0，则-x+4= 0，解得x =8，∴ A(8， 0)．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
题型10一次函数与一次方程（组）
解题技巧：一次函数与x轴交点的横坐标即为对应一元一次方程的解。
注： = 1 \* GB3 ①若一元一次方程不是一般式，需先化简为一般式，在与一次函数对应；
= 2 \* GB3 ②若一元一次方程的一般式与已知的一次函数不能对应时，有2种方法
方法一：若方程kx+b=c（c≠0）时，同样可以利用一次函数与一元一次方程的关系，此刻，一元一次方程的解为一次函数y=c时的横坐标；
方法二：若方程与一次函数对应关系不明显时，我们需要先将函数进行平移等变换，将一次函数或一元一次方程变换为对应形式，在通过图形读出方程的解。
1．（2022·广西·梧州市第十中学八年级期中）如图，若直线：与直线：相交于点P，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】两个一次函数图象的交点坐标对应的x、y的值即为对应的二元一次方程组的解，从而可得答案．
【详解】解：观察图象可知，两条直线的交点坐标为（-2，3），
∴方程组的解为．故选：B．
【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
2．（2022·湖北鄂州·八年级期末）已知点在直线（k，b为常数，且）上，则关于x的方程的解是_____．
【答案】3
【分析】根据题意知，当时，，据此求得关于的方程的解．
【详解】解：点在直线，是常数，上，
当时，．关于的方程的解．故答案是：3．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是正确利用已知条件“点在直线，是常数，上”来求解．
3．（2022·山东烟台·七年级期中）两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据两条直线的图象的交点来求解．
【详解】解：∵两直线和的图象相交于点，，，
∴，∴，
∴的解是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了两条直线的交点，观察图象得到交点的坐标是解答读取v．
4．（2022·贵州黔西·二模）如图，平面直角坐标系中，经过点B(﹣4，0)的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点，则关于x的方程mx+2＝kx+b的解为________．
【答案】
【分析】根据两条直线的交点坐标即为这两条直线的解析式联立组成的一元一次方程的解解答即可．
【详解】解：∵经过点B（﹣4，0）的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点，
∴关于x的方程mx+2＝kx+b的解为x＝ 故答案为：．
【点睛】本题考查了图象法解一元一次方程，熟练掌握方法是解题的关键．
5．（2022·广东中山·八年级期末）若直线与的交点在第一象限，则b的值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】A
【分析】如图，画函数与的图象如下：对于，令 则 求解 当过E时，则 此时交点在y轴上，再往上平移，两条直线的交点落在第一象限，从而得答案．
【详解】解：如图，画函数与的图象如下：
对于，令 则 ∴
当过E时，则 此时交点在y轴上，再往上平移，两条直线的交点落在第一象限，
即此时 ∴符合题意，故选A
【点睛】本题考查的是一次函数的交点位置的问题，利用函数图象判断交点位置是解本题的关键．
6．（2022·内蒙古准格尔旗·八年级期末）若直线经过直线与的交点，则b的值为____________．
【答案】-5
【分析】先求出直线y=x-2与直线y=-x+4的交点坐标，再代入直线y=2x+b，求出b的值．
【详解】解：解方程组，得．∴直线与的交点为（3，1）
把（3，1）代入y=2x+b，得：1=2×3+b，解得：b=-5．故答案为-5．
【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
题型11 一次函数中的三角形面积问题
解题技巧：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△OAB为直角三角形。三角形的面积=12×OA×OB。利用题干告知的面积和A（B）点的坐标，可求出OB（OA）的长度，从而求出B（A）点的坐标。转化为已知两点求解析式的问题，利用待定系数法解决。
注：在利用面积求出直角三角形的边长，在将边长转化为点的坐标时，若点在坐标轴的负半轴上，则点的坐标需添加负号。
1．（2022·山东青州·八年级期末）设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出直线y=5x+6、y=6x+6与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】解：当x=0时，y=5×0+6=6，∴直线y=5x+6与y轴的交点A的坐标为（0，6）；
当y=0时，5x+6=0，解得：x=，∴直线y=5x+6与x轴的交点B的坐标为（，0），
当x=0时，y=6×0+6=6，∴直线y=6x+6与y轴的交点C的坐标为（0，6）；
当y=0时，6x+6=0，解得：x=-1，∴直线y=6x+6与x轴的交点D的坐标为（-1，0）．
∴S5=BD•OA=×|-1-（）|×6=，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
2．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，点A，B，C在一次函数y＝－2x＋b的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．1B．3C．3（b－1）D．
【答案】B
【分析】先表示出点A，C两点的坐标，再根据阴影部分的特征表示出阴影部分的面积，求解即可．
【详解】解：由题意可得A、C的坐标分别为（－1，b＋2）、（2，b－4），
又阴影部分为三个有一直角边都是1，另一直角边的长度和为A点纵坐标与C点纵坐标之差的三角形，所以阴影部分的面积为：，故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，平面直角坐标系中图形的面积，解题的关键是正确地表示出阴影部分的面积．
3．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知一次函数与的图像都经过，且与轴分别交于点、，则的面积为 _____．
【答案】3
【分析】根据题意可知，一次函数与都经过点，所以把点的坐标分别代入一次函数与，即可算出和的值和一次函数解析式，又因为两条直线与轴分别交于点、，即．把代入已知一次函数解析式中，即可得到点、的坐标，即可得出的长．点，即．即可算出的面积．
【详解】解：∵一次函数与都经过点，
∴把代入，可得：，解得：；
把代入，可得：，解得：．
把代入，可得一次函数解析式为：；
把代入，可得一次函数解析式为：；
∵两条直线与轴分别交于点、，即．
∴把代入，可得：，∴点
∴把代入，可得：，∴点∴，
∵点，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数解析式的参数问题，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图像与y轴组成的面积问题．本题的关键在熟练掌握一次函数与坐标轴组成的面积问题．
4．（2022·陕西临潼·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
【答案】（1）直线AB的函数表达式为y=-x+5；（2）点P的坐标为（，）．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（5，0），B（0，5）代入可求出k、b的值即可得出答案；（2）由题意可知直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则直线AP经过OB的中点（0，），设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入，即可求出直线AP的解析式，再把P（a，a-1）代入即可的求出a的值，即可的出答案．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（5，0），B（0，5）代入上式，得，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y=-x+5；
（2）∵直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，∴直线AP经过OB的中点（0，），
设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入上式，
得，解得，∴直线AP的解析式为y=-x+，
把p（a，a-1）代入y=-x+中，得−a+＝a−1，解得：a=，∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练应用待定系数法求出函数系数的值是解决本题的关键．
5．（2022·静宁县阿阳实验学校八年级期末）已知一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使的面积为2，求点P的坐标．
【答案】（1）A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(0，1)；（2）(-6，0)或(2，0)
【分析】（1）根据A、B两点分别在x、y轴上，令y＝0求出x的值；再令x＝0求出y的值即可得出结论；
（2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：（1）∵A、B两点分别在x、y轴上，
∴令y＝0，则x＝－2，令x＝0，则y＝1；∴A点坐标为(－2，0)，B点坐标为(0，1)；
（2）∵△ABP的面积为2，∴×OB×AP＝2，
又∵OB＝1，∴AP＝4，∴点P的坐标为(－6，0)或(2，0)．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，求一次函数的图象与坐标轴交点坐标是解题的关键．
6．（2022·广东揭阳·八年级期末）已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．
(1)求a，b的值；(2)方程组的解为 ．(3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)a＝2，b＝2.5(2)(3)存在，或
【分析】（1）把点C（1，a）分别代入y＝2x和y=中，即可求得a，b的值．
（2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解．
（3）设点P 的坐标为（x，2x），求出点A的坐标和点B的坐标，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据三角形面积公式列方程求得x的值，即可得出点P的坐标．
(1)解：由题知，点C（1，a）在y＝2x的图象上，
∴a＝1×2＝2，∴点C 的坐标为（1，2），
∵点C（1，2）在y=的图象上，所以，2＝﹣+b，所以，b＝2.5；
(2)解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，2）
∴方程组的解为故答案为；
(3)解：存在，理由：∵点P在在y＝2x的图象上，∴设点P 的坐标为（x，2x），
∵一次函数为∴点A的坐标为（0，2.5），点B的坐标为（5，0），
作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴△BOP的面积为，
△AOP的面积为，当5|x|＝时，解得，
∴，∴点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数的问题，解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、一次函数与二元一次方程组的关系、三角形的面积公式、明确函数与方程组的关系．
题型12 一次函数的实际应用
【解题技巧】
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
1．（2022·湖南常德·八年级期末）某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．
【答案】
【分析】当时，设，把（2，6）代入计算即可得，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得，把代入中得，把代入中得，进行计算即可得．
【详解】解：当时，设，把（2，6）代入得，
，解得，，∴当，，
当时，设，把点（2，6），（10，3）代入得，
解得，，∴当时，，
把代入中，得，把代入中，得，
则（小时），即该药治疗的有效时间是3小时，故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质．
2．（2022·江西南昌·八年级期末）某种子站销售一种玉米种子，单价为5元千克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款金额（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求与之间的的函数关系式：（2）徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？
【答案】（1）；（2）4.5千克．
【分析】（1）当x≥2时函数为一次函数，用待定系数法求函数解析式；
（2）把y＝20代入（1）中解析式求解即可.
【详解】解：（1）当时，设与之间的的函数关系式为，
将点，带入解析式得解得∴．
（2）将时，带入中解得千克．
答：徐大爷付款20元能购买这种玉米种子4.5千克．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
3．（2022·四川金牛·七年级期末）已知、两地相距米，甲、乙两人同时从地出发前往地，出发分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题：（1）求甲的速度为多少米/分？（2）求乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式？（3）在甲到达地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距米？
【答案】（1）100米/分；（2）；（3）乙行驶3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米．
【分析】（1）由图象可直接进行求解；（2）先设出乙减慢速度后的函数解析式，再利用待定系数法求解即可；（3）根据题意甲、乙相距50米时有两种情况，然后进行分类求解即可．
【详解】解：（1）由图象得：甲的速度为：600÷6=100（米/分）；答：甲的速度为100米/分；
（2）设乙减慢速度后的函数解析式为，由图象可把点和代入得：
，解得：，∴乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式为；
（3）当x=2时，，，∴当x=2时不符合题意，
由题意可知，当甲、乙相距50米时，则有，
①若，即，解得：；
②若，即，解得：；
综上所述，当乙行驶3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据图象中提供的信息分情况讨论求解问题．
4．（2022·陕西安康·八年级期末）为促进复工复产，调动消费积极性，两个商场分别推出了如下促销活动．
甲商场：所有商品按标价9折出售．
乙商场：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打8折．
设需要购买商品的原价总额为元，去甲商场购买应付元，去乙商场购买应付元，其函数图象如图所示．
(1)分别求、与的函数关系式．
(2)两图象交于点，请求出点坐标，并说明点的实际意义．
(3)黄老师准备去商场购物，请你建议黄老师选择去哪个商场购物更划算．
【答案】(1)，(2)E点坐标为(600,540)，E点的实际意义：当购买商品的为600元时，甲乙两个商场优惠后所需要的费用是相等的，均为540元；(3)建议如下：当x＜600时，去甲商场购物更划算；当x=600时，两家商场购物所需费用一样；当x＞600时，去乙商场购物更划算
【分析】（1）根据题意，即可列出去甲商场和乙商场时y与x的关系式，去乙商场时要分和两种情况进行列式；（2）根据（1）中的结果，令即可求解出E点坐标，即可作答；
（3）根据（2）中所求E的坐标以及E点的实际意义，结合图象即可作答．
（1）根据题意有：去甲商场购买：，
去乙商场购买：当时，；
当时，，
则有：；
（2）由图可知，E点的横坐标大于300，则令，解得x=600，
当x=600时，有，即E点坐标为(600,540)，
由图可知，E点的实际意义：当购买商品的为600元时，甲乙两个商场优惠后所需要的费用是相等的，均为540元；
（3）根据（2）中所求得E的坐标为(600,540)，由结合图象可知：
当x＜600时，，去甲商场购物更划算；
当x=600时，，两家商场购物所需费用一样；
当x＞600时，，去乙商场购物更划算．
则建议如下：当x＜600时，去甲商场购物更划算；
当x=600时，两家商场购物所需费用一样；
当x＞600时，去乙商场购物更划算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一次函数与一元一次不等式的关系等知识，明确题意，注意数形结合是解答本题的关键．
5．（2022·河南平顶山市·八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．
【答案】（1）y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；（2）当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；（3）员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．
【分析】（1）根据甲旅行社的收费标准，可得甲的函数解析式；根据乙的收费标准，可得乙的函数解析式；
（2）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（3）根据收费相同，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1）由题意可得，y甲＝2000x×0.8＝1600x，y乙＝2000（x+1）×0.75＝1500x+1500，
即y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；
（2）当x＝10时，y甲＝1600×10＝16000，y乙＝1500×10+1500＝16500，
∵16000＜16500，∴当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；
（3）由题意可得，1600x＝1500x+1500，解得x＝15，
即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，正确理解函数的自变量与因变量之间的关系是解题关键．
6．（2022·浙江杭州市·八年级期中）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；（2）①y＝−50x＋20000，②商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；（3）①0＜m＜50时，商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大，②m＝50时，商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润，③当50＜m＜100时，商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解；（2）①据题意得，y＝−50x＋20000；②利用不等式求出x的范围，再根据y＝−50x＋20000的增减性，即可得到答案；（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80−x），即y＝（m−50）x＋20000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m−50＝0，y＝20000，③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
，解得，
答：每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；
（2）①据题意得，y＝200x＋250（80−x），即y＝−50x＋20000，
②据题意得，80−x≤2x，解得x≥26，∵y＝−50x＋20000，−50＜0，∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，∴当x＝27时，y取最大值，则80−x＝53，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；
（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80−x），即y＝（m−50）x＋20000，
∵250（80−x）≥10000，解得：x≤40， 26≤x≤40，且为正整数，
①0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝27时，y取最大值，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m−50＝0，，
即商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝40时，y取得最大值．
即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性．
题型13一次函数与一元一次不等式
解题技巧：1）不等式中的“＜a”，反映在函数图像上，即图像在函数值y在a的下面部分x的取值范围；
2）若两个不等式比较大小，如y1＞y2，反映在图像上为l1的图像在l2的图像上面部分x的取值范围。
注：在读不等式的解集时，需要尤其注意是否能够取得等号。
1．（2022·广东·深圳八年级期末）一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则关于x的不等式mx﹣n＜0的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞3D．x＜3
【答案】C
【分析】利用图象法求解，找到直线与x轴的交点坐标，即可得出对应不等式的解集．
【详解】解：由图象知：不等式mx﹣n＜0的解集是x＞3，故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，熟练掌握利用数形结合，由图象法求解是解题的关键．
2．（2022·海南·八年级期末）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察函数图象，写出函数图象不在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：观察所给图象可知：当时，的图象不在x轴下方，
因此不等式的解集是．故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
3．（2022·河南南阳·八年级期末）如图所示，一次图数y＝－x＋3与一次函数y＝2x＋m图象交于点（2，n），则关于x的不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出直线y＝−x＋3与x轴的交点坐标，然后根据函数特征，写出在x轴上方，直线y＝2x＋m在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围．
【详解】解：∵直线y＝−x＋3与x轴的交点坐标为（3，0），直线y＝2x＋m与直线y＝−x＋3交点为，
∴关于x的不等式组的解集为−2＜x＜3．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4．（2022·陕西榆林·八年级期末）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数图象，写出在x轴下方，直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可知，直线和直线的交点为（−1，−2），直线中y随x的增大而减小，
∵过原点，∴关于x的不等式的解集是−1＜x＜0，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
5．（2022·贵州毕节·八年级期末）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：
①；②，；③当时，；④不等式的解集是
其中正确的结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据两个函数经过的象限和与y轴的交点位置即可判断①②；根据两个函数的交点横坐标即可判断③④；
【详解】解：由函数图象可知一次函数经过第一、二、四象限且与y轴交于正半轴，
∴k＜0，b＞0，故①②错误；
∵两个一次函数图像的交点横坐标为3，∴当时，，故③正确；
由函数图象可知不等式的解集即为一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集是，故④正确，故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，两直线的交点问题，图象法解一元一次不等式，熟知一次函数性质和图像是解题的关键．
6．（2022·陕西·西安八年级期末）如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】观察图象即可判断；由图象可知，直线过点，得出，根据一次函数的性质即可判断；根据交点坐标以及即可判断；不等式组变形为，解不等式组即可判断判断．
【详解】解：由图象可知，函数经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故说法正确；
由图象可知，函数经过第一、二、四象限，，
由图象可知，直线经过第一、三象限，，
函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故说法错误；
直线与直线交于点，点的横坐标为，，
直线过点，，，故说法正确；
，，，，，
解得，不等式组的解集是故说法正确，故选：C
【点睛】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
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