期末押题预测卷01（考试范围：八上全册）-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

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期末押题预测卷01
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江丽水·八年级期末）在以下中国银行、建设银行、工商银行、农业银行图标中，不是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
选项B不能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2022·浙江绍兴·八年级期末）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】解：A、当，时，，是，
，不是假命题的反例，不符合题意；
B、当，时，，但是，
，是假命题的反例，符合题意；
C、当，时，，是，
，不是假命题的反例，不符合题意；
D、当，时，，是，
，不是假命题的反例，不符合题意；故选：B．
【点睛】此题考查的是命题与定理，解题的关键是掌握要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
3．（2022·浙江·八年级期末）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围即可．
【详解】解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得1＜x＜5，∴第三边不可能为1，故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．
4．（2022·浙江·八年级期中）如图，和的平分线交于点F，过点F作分别交于点E，G，若，则线段EG的长为 （    ）

A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】A
【分析】利用角平分线和平行可证得，可得到，可得到．
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，∴，同理，
∴．故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）、等腰三角形的判定与性质和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
5．（2022·山西·孝义八年级期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可解答．
【详解】在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是故选：D．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
6．（2022·浙江宁波·八年级期末）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出每个不等式的解集，后确定不等式组的解集，最后根据整数解的个数确定的范围即可．
【详解】解：解不等式①得：x≥,解不等式②得：x<，
∴不等式组的解集是≤x<，
∵原不等式组的整数解有4个为1,0，-1，-2，
∴-3<≤-2．故答案为B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解的应用，确定不等式组的解集是解答本题的关键．
7．（2022·四川成都·八年级期末）关于一次函数y＝﹣3x+1，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象经过点（1，﹣2） B．y的值随着x的增大而增大
C．它的图象经过第二、三、四象限 D．它的图象与x轴的交点是（0，1）
【答案】A
【分析】令x＝1，求出y的值，即可判断A；根据k＝-3＜0，即得出y随x的增大而减小，可判断B；由k＝-3＜0，b＝1＞0，可知图象经过第一、二、四象限，即可判断C；令y=0，求出x，即可判断D．
【详解】当x＝1时，y＝-3×1+1＝﹣2，
∴一次函数y＝-3x+1的图象经过点(1，﹣2),故A正确，符合题意；
∵k＝-3＜0，∴y随x的增大而减小,故B错误，不符合题意；
∵k＝-3＜0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝-3x+1的图象经过第一、二、四象限，故C错误，不符合题意；
当y＝0时，即-3x+1＝0，
解得：x＝，∴一次函数y＝-3x+1与x轴的交点是( ，0)，故D错误，不符合题意．故选A．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数的图象和性质是解答本题的关键．
8．（2022·山东临沂·八年级期末）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车第二次相遇时慢车行驶的时间是（    ）

A．2h B．2.5h C．4h D．4.5h
【答案】D
【分析】根据图像得出，慢车的速度为为km/h，快车的速度为速度km/h．从而得出快车和慢车对应的y与t的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图像对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．
【详解】解：根据图像可知，慢车的速度为km/h，对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4h，因此单程所花时间为2h，故其速度km/h，
对于慢车，y与t的函数表达式为y＝（0≤t≤6）①，
对于快车，返回时y与t的函数表达式为y＝2a−（t−2）＝t＋3a（4≤t≤6）②，
联立①②得，解得t＝4.5，
因此，两车第二次相遇时慢车行驶的时间是4.5h，故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据函数图像求一次函数表达式，以及求两个一次函数的交点坐标，解题的关键是利用图像信息得出快车和慢车的速度，进而写出y与t的关系．
9．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG=GE，则BM的长度是（    ）

A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】由ASA证明△GAM≌△GEF（ASA），得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，因此DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设BM=x，由折叠的性质得：∠E=∠B=90°=∠A，
在△GAM和△GEF中，，
∴△GAM≌△GEF（ASA），∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得：x=，∴BM=．故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠有性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
10．（2022·江苏·建湖八年级阶段练习）如图，在中，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1cm的速度运动，连接，设运动时间为t秒．当时，t的值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．2或6
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，如图，当点E在射线上时，D在上，，如图，当点E在的反向延长线上时，由全等三角形的性质求出其解即可．
【详解】解：∵，
∴
如图，当点E在射线上时，D在上，，

∵ ∴， ∴．
如图，当点E在的反向延长线上时，
∵， ∴， ∴．
综上所述，当或6时，．
【点睛】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·广东·八年级期末）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（﹣2，2），黑棋（乙）的坐标为（﹣1，﹣2），则白棋（甲）的坐标是_____．

【答案】（2，1）．
【详解】试题解析：如图，白棋（甲）的坐标是（2，1）．

考点：坐标确定位置．
12．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，直线，交于点，则关于x的不等式的解集为______．

【答案】
【分析】根据函数的图象得当时，直线在直线的上方，由图可知，不等式的解集为：，即可得．
【详解】解：由图像可知，当时，直线在直线的上方，
则不等式的解集为：，
将点代入直线，得：，∴不等式的解集为：，
∴的解集为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，不等式的解集，解题的关键是掌握这些知识点．
13．（2022·江苏盐城·八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成．两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE＝84°．则∠CDE是_________ °．

【答案】68
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝84°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝84°，∴∠ODC＝28°，
∵∠CDE＋∠ODC＝180°−∠BDE＝96°，∴∠CDE＝96°−∠ODC＝68°．故答案为：68．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
14．（2022·重庆开州·八年级期末）如图，在中，，点D是的中点，连接，点E在上，且于点F，且，则的面积为________．

【答案】30
【分析】根据，点是 的中点，求出和的长度，进而求出的面积，根据高相等面积之比等于底之比，即可求出．
【详解】解：，点是的中点，
，
，且，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解并灵活应用高相等，底之比等于面积之比．
15．（2022·四川成都·八年级期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．则滑道AC的长度为______m．

【答案】8.5
【分析】设，则，根据勾股定理得到，即，解方程即可．
【详解】解：设，则 ，
由题意得：，在中，，
∴，整理得-2x+17=0，解得，
∴．故答案为8.5．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．
16．（2022·河南三门峡·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE；其中正确的有________．（填写序号）

【答案】①②④
【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝ AD，DF＝AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．
【详解】解：如图所示：连接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED＝DF．故①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED＝AD．同理：DF＝AD．
∴DE+DF＝AD．故②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF．故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
，∴Rt△BED≌Rt△CFD．∴BE＝FC．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB+AC＝2AE．故④正确．故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17．（2022·重庆·八年级期末）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴，y轴于点A，B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．当PA+PC的值最小时，点P的坐标为 _____．

【答案】
【分析】联立两直线解析式组成方程组，可得点C的坐标，确定出点A关于y轴的对称点A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系数法求出直线A'C的解析式即可得出点P坐标．
【详解】解：直线①与直线②相交于，
联立①②解得，，，，；
在中，当时，，，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图：

设直线的解析式为，
把，，代入得：，解得：，
直线的解析式为，令时，
点．故答案为：．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的求法，待定系数法，用轴对称解决最短路径问题是解本题的关键．
18．（2022·江苏·镇江八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段为边在的右上方作等边，连接，在点P运动的过程中，线段长度的最小值为_______．

【答案】2
【分析】如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，计算点C（2，），确定当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是2．
【详解】解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，

∴△ABQ≌△ACP，∴AB=AC，BQ=PC，∠PAQ=∠BAC，
∵△ABC是等边三角形∴∠PAQ=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∵A（1，0），B（3，0），∴AB=3-1=2，
∴C（2，），即点C是定点，∴当PC最小时，BQ最小，
∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是2，
∴线段QB长度的最小值为2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了确定最小值问题，此类题有难度，正确理解题意是关键，运用旋转的性质作旋转三角形是本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江金华·八年级期末）（1）解不等式，并把解表示在数轴上．

（2）解不等式组．
【答案】（1），图见解析；（2）．
【分析】（1）先解出不等式的解集，再表示在数轴上即可；
（2）分别解出各不等式的解集，再找到其公共解集．
【详解】（1）


解集表示在数轴上如下：

（2）解
解不等式①得x≥2；
解不等式②得；
∴不等式组的解集为：．
【点睛】此题主要考查不等式和不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的求解方法．
20．（2022·江苏南京·八年级期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°．

(1)△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
(2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
(3)秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小丽的．
(3)0.6
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△CEO≌△ODB；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案；
（3）由（2）可得点D距地面的高度是1.2m，用勾股定理求出OA的长，再求出AD的长，即可求得秋千的起始位置A处与距地面的高．
（1）△CEO与△ODB全等．理由如下：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE＋∠BOD＝∠BOD＋∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△CEO和△ODB中，，∴△CEO≌△ODB（AAS）；
（2）∵△CEO≌△ODB，∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，∴DE＝OD−OE＝CE−BD＝2.4−1.8＝0.6（m），由题意，点B距地面的高度是1.2m，所以，点D距地面的高度是1.2m，点E距地面的高度是1.2+0.6=1.8（m）所以，点C距地面的高度是1.8m．答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的．
（3）在Rt△BOD中，（m），∴OA=3（m），∴AD=OA-OD=3-2.4=0.6（m）由（2）得，点D距地面的高度是1.2m，∴秋千的起始位置A处与距地面的高是1.2-0.6=0.6（m），答：秋千的起始位置A处与距地面的高是0.6m．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明△CEO≌△ODB是解题的关键．
21．（2022·湖北·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上．

(1)画△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1的坐标 　 　；
(2)试判断△ABC的形状，说明理由，并求出△ABC的面积．
【答案】(1)作图见解析；
(2)是等腰直角三角形，理由见解析，的面积为
【分析】（1）根据的坐标，求出关于y轴的对称的点坐标，在坐标系中描点，依次连接即可；
（2）勾股定理求出的三边长，利用勾股定理的逆定理，判定三边的关系，进而可得的形状，然后求面积即可．
（1）
解：由题意知，，
∴关于y轴的对称的点坐标分别为：，，，
∴△ABC关于y轴的对称图形，如图

故答案为：．
（2）解：由题意知，，∴
∵∴∴是等腰直角三角形
∴
∴是等腰直角三角形，△ABC的面积为．
【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标的特征，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
22．（2021·浙江衢州·八年级期末）随着全国文明城市创建工作不断深入，垃圾分类作为“创建”任务中重要工作而备受重视．龙游县某社区积极响应，决定在社区安装智能四分类垃圾箱和智能六分类垃圾箱，若购买2个智能四分类垃圾箱和3个智能六分类垃圾箱共需14.3万元，且智能六分类垃圾箱单价比智能四分类垃圾箱单价高0.6万元．

(1)求智能四分类垃圾箱和智能六分类垃圾箱的单价；
(2)该社区需购买智能四分类垃圾箱和智能六分类垃圾箱共30个，其中智能六分类垃圾箱至少要安装20个，且总费用不超过88.2万元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种购买方案所需资金最少，最少是多少万元？
【答案】(1)智能四分类垃圾箱单价为2.5万元，智能六分类垃圾箱单价为3.1万元
(2)共有三种购买方案，方案一：购买购买智能四分类垃圾箱10个，购买智能六分类垃圾箱20个，需要花费87万元；方案二：购买购买智能四分类垃圾箱9个，购买智能六分类垃圾箱21个，需要花费87.6万元；方案三：购买购买智能四分类垃圾箱8个，购买智能六分类垃圾箱22个，需要花费88.2万元；方案一：购买购买智能四分类垃圾箱10个，购买智能六分类垃圾箱20个所需资金最少，最少是87万元．

【分析】（1）根据购买2个智能四分类垃圾箱和3个智能六分类垃圾箱共需14.3万元，且智能六分类垃圾箱单价比智能四分类垃圾箱单价高0.6万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出所需费用与购买的六分类垃圾箱的个数的函数关系式，然后根据智能六分类垃圾箱至少要安装20个，且总费用不超过88.2万元，可以得到相应的不等式组，然后求出不等式组的解集，再根据垃圾箱个数为整数，即可写出相应的购买方案，再计算出各种方案下的花费情况，即可解答本题．
(1)
解：设智能四分类垃圾箱单价为万元，智能六分类垃圾箱单价为万元，
由题意可得：，
解得，
答：智能四分类垃圾箱单价为2.5万元，智能六分类垃圾箱单价为3.1万元；
(2)
设购买智能六分类垃圾箱个，则购买智能四分类垃圾箱个，花费为元，
由题意可得：，
智能六分类垃圾箱至少要安装20个，且总费用不超过88.2万元，
，
解得，
为整数，
，21，22，
共有三种购买方案，
方案一：购买购买智能四分类垃圾箱10个，购买智能六分类垃圾箱20个，需要花费：（万元）；
方案二：购买购买智能四分类垃圾箱9个，购买智能六分类垃圾箱21个，需要花费：（万元）；
方案三：购买购买智能四分类垃圾箱8个，购买智能六分类垃圾箱22个，需要花费：（万元）；
由上可得：方案一：购买购买智能四分类垃圾箱10个，购买智能六分类垃圾箱20个所需资金最少，最少是87万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数关系式．
23．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．

(1)如图①，求证：△ADE是等腰三角形；(2)如图②，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．
【答案】(1)见解析
(2)图中所有与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD
【分析】（1）根据三角形外角性质即可得出，根据三角形全等的性质即可得出答案．
（2）根据角平分线性质得到,利用等量代换即可得出答案．
（1）
证明：是的一个外角，

又，
，
在和中，
，

，
是等腰三角形．
（2）
解：由（1）得，，
，
DE平分∠ADC，
，
又∠BAD＝∠CDE，
，
，
，
所以图中与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，解题关键在于熟练掌握其相关证明的判定及性质．
24．（2022·浙江金华·八年级期末）已知△ABC中，，P是线段AB上一点，连结CP．

(1)如图，当时①若CP是△ABC的高线，求的值．②若CP是△ABC的角平分线，求的值．(2)已知，当CP恰好将△ABC分成两个等腰三角形时，求AB的长．
【答案】(1)①，②
(2)，，

【分析】（1）①根据30°张角三角形性质得出AB=2BC，∠CBA=90°-∠A=90°-30°=60°，BC=2BP，可求AB=2BC=4BP，再求出AP=AB-BP=4BP-BP=3BP即可；
②过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，利用角平分线性质得出PE=PF，根据30°张角三角形性质得出BE=，利用勾股定理PF=PE=，求出AP=2PF=即可；
（2）分三种情况：如图CP分△ABC得两个三角形，CP=PB=BC，△CPB为等边三角形，和CP=PA的等腰三角形△CPA，利用勾股定理求出BC=，AB=2BC=；CP分△ABC为BP=CP的等腰三角形CPB和AC =AP=的等腰三角形CAP，过C作CM⊥AB于M，根据∠A=30°得出CM=，求出CP=，AB=BP+AP=CP+AC=；CP分△ABC为BP=CP的等腰三角形CPB和CP=AC的等腰三角形CPA，过点C作CN⊥AB 于N，根据勾股定理AN=，根据BP=CP=
得出AB=AP+PN+AN=AC+2AN=即可．
（1）解：①∵，，∴AB=2BC，∠CBA=90°-∠A=90°-30°=60°，∵CP是△ABC的高线，∴∠CPB=90°，∴∠B+∠BCP=90°，∴∠BCP=90°-∠B=90°-60°=30°，∴BC=2BP，∴AB=2BC=4BP，∴AP=AB-BP=4BP-BP=3BP，∴；②过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵CP平分∠BCA，∴PE=PF，∵∠A=30°，∠BCA=90°，∴∠B=180°-∠A-∠BCA=180°-30°-90°=60°，∴∠EPB=90°-∠B=30°，∴BE=，在Rt△BPE中，EP=，∴PF=PE=，∴AP=2PF=，∴；
（2）解：分三种情况如图CP分△ABC得两个三角形，CP=PB=BC，△CPB为等边三角形，和CP=PA的等腰三角形△CPA，∵∠A=30°，CP=PA，∴∠PCA=∠A=30°∵CP=PB=BC，△CPB为等边三角形，∴∠BCP=60°，∴∠BCA=∠BCP+∠PCA=60°+30°=90°，∴AB=BP+PA=2BC，∵，根据勾股定理，∴BC=，∴AB=2BC=；CP分△ABC为BP=CP的等腰三角形CPB和AC =AP=的等腰三角形CAP，过C作CM⊥AB于M，∵∠A=30°∴CM=，∴AM=，∴PM=AP-AM=-=1，∴CP=，∴AB=BP+AP=CP+AC=；CP分△ABC为BP=CP的等腰三角形CPB和CP=AC的等腰三角形CPA，过点C作CN⊥AB 于N，∵CP=AC，CN⊥AB，∠A=30°∴PN=AN，CN=∴AN=，∵BP=CP=，∴AB=AP+PN+AN=AC+2AN=，∴综合得AB的长为，，．
【点睛】本题考查30°直角三角形性质，勾股定理，线段的比，角平分线性质，等腰三角形性质，线段和差，掌握30°直角三角形性质，勾股定理，线段的比，角平分线性质，等腰三角形性质，线段和差是解题关键．
25．（2022·四川成都·八年级期末）如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=α，点D与点B关于直线l轴对称，连接CD交直线l于点E，连接BE．

(1)求证：∠ADC=∠ACD；
(2)求证：∠BEC=α；
(3)当α=60°时，连接BD交直线l于点F，若，求．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)．

【分析】（1）由轴对称的性质可得AD=AB=AC，可得结论；
（2）由SSS可证△ADE≌△ABE，可得∠ADC=∠ABE=∠ACD，由外角的性质可得结论；
（3）设BF=a，AF=5a，由直角三角形的性质分别求出EC，DE的长，即可求解．
（1）
证明：∵点D与点B关于直线l轴对称，
∴直线l是DB的垂直平分线，
∴AD=AB，DE=BE，
∵AB=AC，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD；
（2）
证明：如图，设AB与CD交于点O，

∵AD=AB，DE=BE，AE=AE，
∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠ADC=∠ACD，
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠AOD=∠ACD+∠BAC=∠ABE+∠BEC，
∴∠BEC=∠BAC=α；
（3）
解：如图，过点A作AH⊥CD于H，

∵∠BEC=α=60°，
∴∠DEB=120°，
∵DE=BE，EF⊥BD，
∴∠DEF=∠BEF=60°，
∴∠AEC=60°，∠EBF=30°，
∴BF=EF，BE=2EF，
∵5，
∴设BF=a，AF=5a，
∴EF=a，BE=a=DE，AE=AF-EF=5a-a，
∵∠AEH=60°，AH⊥DC，
∴∠EAH=30°，
∴EH=AE=-a，  
∴DH=DE+EH=+a，
∵AD=AC，AH⊥CD，
∴CH=DH=+a，
∴EC=5a+a，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，直角三角形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
26．（2022·山东·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点．

(1)求直线与直线的函数表达式；(2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若△BCD的面积为8，求D点的坐标；(3)如图3，过D作x轴垂线，与于点M．在x轴正半轴上是否存在点D使△BOM为等腰三角形？若存在，请直接写出D点坐标．
【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为；
(2)（-6，0）
(3)当D点坐标为（4，0）或（，0）或（5，0）时，△BOM是等腰三角形

【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点C的坐标，设直线的解析式为，直线与y轴交于点E，可以得到点E的坐标为（0，），，然后勾股与互相垂直，利用勾股定理求解即可；
（2）设点D的坐标为（m，0），根据进行求解即可；
（3）设点D的坐标为（n，0），则点M的坐标为（n，），则，，然后分当OB=OM，△BOM是等腰三角形时，当OB=BM，△BOM是等腰三角形时，当OM=BM，△BOM是等腰三角形时，三种情讨论求解即可．
（1）
解：∵，直线与过点和，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点C的坐标为（2，4），
设直线的解析式为，直线与y轴交于点E，
∴点E的坐标为（0，），，
∴，，
∵与互相垂直，
∴∠BCE=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；

（2）
解：设点D的坐标为（m，0），
∴OD=-m，
∵点A（10，0），
∴OA=10，
∴AD=10-m，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为（-6，0）；
（3）
解：设点D的坐标为（n，0），则点M的坐标为（n，），
∴，，
∵点B的坐标为（0，5），
∴OB=5，
当OB=OM，△BOM是等腰三角形时，
∴，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为（4，0）；
当OB=BM，△BOM是等腰三角形时，
∴，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为（，0）；
当OM=BM，△BOM是等腰三角形时，
∴，
解得，
∴点D的坐标为（5，0）；
综上所述，当D点坐标为（4，0）或（，0）或（5，0）时，△BOM是等腰三角形；
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的定义等等，熟知相关知识利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．