专题12 分式与分式方程重难点题型分类-2022-2023学年八年级数学上册重难点题型期末复习热点题型（人教版）

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题型一 分式的定义
1．（2022·永州）在，，，，中分式的个数有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【详解】解：，，的分母中含有字母，都是分式，共有3个．
故选：B．
2．（2022·岳阳）下列代数式①，②，③，④中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】解：①和④分母中含有字母，是分式；②③分母中不含有字母，不是分式，
故选：B．
3．（2022·永州）有如下式子①；②；③；④，其中是分式的有（ ）
A．①③B．②③C．③④D．②④
【详解】解：①，是整式，不是分式，不符合题意；②，是分式，符合题意；
③，是整式，不符合题意；④，是分式，符合题意．所以②④是分式
故选：D．
题型二 分式有意义（分母不为0）
4．（2021·衡阳）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：要使分式有意义，必须x-1≠0，解得：x≠1，故选：C．
5．（2019·长沙）分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【详解】∵有意义，∴，解得：，故选：D．
6．（2018·望城）如果代数式有意义，那么的取值范围是__________
【详解】解：由题意得，x≥0且x-1≠0，解得且，
故填：且．
7.（2022··衡阳）如果式子有意义，那么的取值范围是______．
【详解】解：根据题意得： 解得且，故答案为：且．
题型三 分式值为0（分子=0且分母≠0）
8．（2022·洪江）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．4
【详解】解：∵分式的值为零，∴，且，解得．故选：A．
9.（博才）如果分式的值为0，那么的值为
A．B．
C．或D．以上答案都不对
【解答】解：由题意，知x(x-2)＝0且x-2≠0．解得x＝0．
故选：B．
10．（2022·长沙）若分式的值为，则______．
【详解】由题意得，，，，，即当时，分式的值是．
故答案为：．
11.（青竹湖）若分式的值为， 则的值为____________。
【解答】解：∵分式的值是0，∴且x+3≠0，解得：x＝3．
题型四 分式的性质
12．（2021·株洲）下列分式的变形正确的是（ ）
A．＝﹣B．＝x+y
C．D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；
C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
13．（2021·湖南）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【详解】==，故选：C．
14．（2020·邵阳）如果把分式中的和都扩大了3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．缩小6倍
【详解】，故分式的值缩小3倍．故选C．
题型五 整体代入法求分式值
15.（长郡郡维）若，则__________.
【解答】解：．
16.（青竹湖）已知，则__________.
【解答】解：∵，∴．
17.（长郡芙蓉）已知，则分式的值等于 ．
【解答】解：∵﹣＝2，∴x﹣y＝﹣2xy，∴原式＝＝＝
＝1．故答案为：1．
18.(中雅)已知，，求：
(1)(2)
【解答】解：（1）∵a+b＝2，ab＝﹣3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+6＝10，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝10+6＝16；
（2）＝＝＝﹣．
19.(一中)阅读下面的解题过程：已知：，求的值.
解：由，知，所以，即.
所以，故.
该题的解法叫做“倒数法”，请类似利用“倒数法”解决下面的题目：
(1)已知，求的值.
(2)已知，，，求的值.
【解答】解：（1）由＝，得到＝x+﹣1＝7，即x+＝8，
则原式＝＝＝＝；
（2）根据题意得：＝+＝，＝+＝，＝+＝，可得++＝1，
则原式＝＝1．
题型六 最简分式
20．（2022·衡阳）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：A.，故不符合题意；B.，故不符合题意；
C.是最简分式，故符合题意；D.，故不符合题意；故选：C．
21．（2022·湘潭）下列分式为最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】A. ，不是最简分式，故不符合题意；
B. 不能再化简，是最简分式，符合题意；
C. ，不是最简分式，故不符合题意；
D. ，不是最简分式，故不符合题意；
故选：B．
22．（2018·怀化）下列式子中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】A、分子、分母不含有公因式，所以不能够约分，是最简分式；
B、分子、分母含有公因式a，能够约分，不是最简分式；
C、分子、分母含有公因式a+b，能够约分，不是最简分式；
D、分子、分母含有公因式a，能够约分，不是最简分式；
故选：A．
题型七 分式的先化简后求值（不能把让原方程分母为0的值代进去！）
23．（2022·湖南永州）先化简再求值：若，求的值．
【详解】解：原式＝＝2a－2b；
∵，∴，，∴a＝2 ，b＝3
∴原式＝2a－2b＝4－6＝－2．
24．（2022·湖南湘西）先化简，再求值：，其中a＝3．
【详解】解：
，当a＝3时，原式＝3+4＝7．
25．（2022·永州）先化简，再求值：，其中x是这四个数中合适的数．
【详解】解：
，∵分母不能为0，∴且，∴．将代入，原式．
∴原式=，当时，原式．
26．（2022·湖南永州）先化简，再求值：，其中的正整数选一个合适的x的值代入求值．
【详解】解：原式，
因为的正整数，满足条件的，代入，原式．
27．（2022·涟源）先化简，再求值：，然后从，，中选一个合适的代入求值．
【详解】解：原式= == ．
∵x≠±1，．当时，
原式．
28.(一中)先化简，然后将、、、、中，所有你认为合适的数作为的值，代入求值.
【解答】解：（1）＝＝
＝＝，∵a2﹣1≠0，a≠0，∴a≠±1，0，当a＝2时，原式＝；
当a＝时，原式＝＝﹣1．
29.(中雅)化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值.
【解答】解：原式＝（﹣）＝•＝，
∵x≠±1且x≠0，∴在不等式x≤2的非负整数解中取x＝2，
则原式＝＝．
题型八 整数指数幂计算
30．（2022·永州）计算．
【详解】解：原式＝－1－1＋3＋4－3 ＝3＋4－1－1－3＝2．
31．（2022·衡阳）计算：．
【详解】解：原式．
32．（2022·长沙）计算：
【详解】解：（﹣1）2021+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1﹣|1﹣|＝-1+1﹣3﹣+1＝﹣2﹣．
题型九 解分式方程
33．（2022·长沙）解方程：．
【详解】解：，方程两边都乘，得，解得：，
检验：当时，，所以是增根，即原分式方程无解．
34．（2018·邵阳）解方程：=1．
【详解】解：方程两边同乘得:，整理，得，
解这个方程得，，经检验，是增根，舍去，所以，原方程的根是．
35．（2022·永州）解分式方程：．
【详解】解：即 去分母得：
解得：
检验：把代入中得 所以是原方程的根.
36．（2018·澧县）解分式方程：
（1）； （2）．
【详解】解：(1)方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得(x－2)(x－3)－3(x＋3)＝(x＋3)(x－3)，整理得－8x＝－6，解得x＝．经检验，x＝是原方程的根．
(2)原方程可化为－＝，方程两边同时乘x(x－2)，得2(x＋1)(x－2)－x(x＋2)＝x2－2，
整理得－4x＝2，解得x＝－．经检验，x＝－是原方程的解．
题型十 含参分式方程中参数的取值范围
37（2018·武冈）已知关于x的方式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≥1且a≠3C．a≥1且a≠9D．a≤1
【详解】解：3（3x﹣a）=x﹣3，9x﹣3a=x﹣3，8x=3a﹣3，
∴x=．由于该分式方程有解，令x=代入x﹣3≠0，∴a≠9．
∵该方程的解是非负数解，
∴≥0，∴a≥1，∴a的范围为：a≥1且a≠9．故选：C．
38.（中雅）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是( )
A．m≤﹣2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m≤﹣2且m≠﹣3
【解答】解：分式方程去分母得：m+3＝1﹣x，解得：x＝﹣m﹣2，
由方程的解为非负数，得到﹣m﹣2≥0，且﹣m﹣2≠1，解得：m≤﹣2且m≠﹣3．
故选：D．
39.（雅礼）若分式方程的解是负数，则a的取值范围是____________.
【解答】解：去分母得：a﹣x﹣2＝x，解得：x＝，∵分式方程﹣1＝的解是负数，
∴a﹣2＜0，解得：a＜2，当x＝＝﹣2时，a＝﹣2，此时分式方程无解，
故a＜2且a≠﹣2．
40.（一中）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________.
【解答】解：方程﹣1＝，（x+k）（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝k（x+1）
x2﹣x+kx﹣k﹣x2+1＝kx+k，x＝﹣2k+1，∵x≥0且x≠1，∴﹣2k+1≥0且﹣2k+1≠1
解得k≤且k≠0．
故答案为k≤且k≠0．
题型十一 分式方程的增根与无解问题
41．（2022·邵阳）若关于的分式方程有增根，那么的值是______．
【详解】解：，，
，，∵分式方程有增根，
∴，∴或，
当时，，
当时，，
综上，m的值为2或．
42.（雅礼）若关于的分式方程有增根，则的值为 。
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣2，得x+m﹣3m＝2（x﹣2），解得：x＝4﹣2m，
∵分式方程有增根，∴x＝2，∴4﹣2m＝2，∴m＝1，
故答案为1．
43.（青竹湖）若关于的方程无解，则__________。
【解答】解：分式方程化简，得3（x﹣1）+6x＝m（x+1）整理，得（9﹣m）x＝3+m
当x＝0时，m＝﹣3；当x＝1时，m＝3；当9﹣m＝0时，m＝9．
故答案为：3或﹣3或9．
44．（2021·师大附中）已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值；
【详解】解：（1）把m=4代入原方程得，
方程两边同时乘以，去分母并整理得，解得
经检验，是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以，去分母并整理得，
∵原分式方程有无解，∴或，当时，得；
当时，解得：或， 当时，得；
当时，得； 所以m的值可能为1、或6．
45. （长郡）若关于的方程无解，求的值；
【解答】解：去分母，得：x+3+k（x﹣3）＝3+k，即（1+k）x＝4k，∴k＝﹣1时，方程无解，
∵分式方程无解，即x2﹣9＝0，解得：x＝3或x＝﹣3，当x＝3时，3+3+0＝3+k，解得：k＝3；
当x＝﹣3时，﹣3+3﹣6k＝3+k，解得：k＝﹣．
故答案为：3或﹣或﹣1．