2022-2023人教版八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练 专题13.1 等腰（直角）三角形中的分类讨论问题 专项讲练（原卷+解析卷）

专题13.1 等腰（直角）三角形中的分类讨论问题 专项讲练

1、等腰三角形中的分类讨论：

【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。

1.无图需分类讨论

①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；

③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。

2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）

即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰

方法：两圆一线

具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）

②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）

③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）

例1．（2022·上虞市实验中学初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．

变式1．（2022·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（       ）

A．2个 B．4个 C．5个 D．7个

变式2．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（       ）

A．5 B．4 C．3 D．2

例2．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．

（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．

（3）等边三角形的巧妙点的个数有（       ）

A．2个        B．6个 C．10个        D．12个

变式3．（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，线段和射线有公共端点．

求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）

例3．（2022·江西宜春·八年级期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为______．

变式4．（2021·重庆市荣昌初级中学八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．

2、直角三角形中的分类讨论：

【解题技巧】

1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论。

2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）

即：如图：已知，两点是定点，找一点构成

方法：两线一圆

具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）

例1．（2022·重庆市·八年级课时练习）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．

变式1．（2021·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．

变式2.（2022·广东广州·八年级阶段练习）在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图，在中，，，若过顶点的一条直线交于点，且，则直线是的关于点的二分割线．如图，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线，则的度数为______．

例2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_____s时，是等腰三角形；当___s时，是直角三角形．

变式3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，是边长为的正三角形，动点从向以匀速运动，同时动点从向以匀速运动，当点到达点时，两点停止运动，设点的运动时间为秒，则当__________时，为直角三角形．

变式4．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．

（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝　 　秒；

②当△BPQ为直角三角形时，t＝　 　秒．（直接写出结果）

课后训练

1．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（       ）

A．6个    B．7个      C．8个    D．9个

2．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有____个．

3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．

4．（2022·河北承德·八年级期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，形状在发生变化，设点P的运动时间为t秒．

（1）当是直角三角形时，t的值为_________；

（2）当是钝角三角形时，t满足的条件是____________．

5．（2022·河南郑州·八年级期末）如图，在中，，在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（       ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

6．（2022·全国·八年级阶段练习）如图，在中，，，以C为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使为等腰三角形，符合条件的点M有__________个．

7．（2022·北京一七一中九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．（2022·湖南·长沙八年级阶段练习）如图，在中，，，在坐标轴上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有__________个.

10．（2022·广东中山·八年级期末）如图，中，厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．

(1)当且为直角三角形时，求t的值；(2)当t为何值，为等边三角形．

11．（2022·湖北荆州·八年级期中）如图，已知等边ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．（1）当时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；

（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？